Lorenzi atraktor

Käivita 1963. aasta võrrandid kaks korda peaaegu samast punktist. Jälgi, kus arvutused lahknevad ja milles nad ikkagi kokku langevad.

Näidisarvutus — Lorenzi atraktor

Valitud kuumutamine	28,000
Stabiilsete rullide piir	24,7368
Kas stabiilne rull püsib?	ei
Parempoolne stabiilne rull	(8,485, 8,485, 27,000)
Ruumala kahanemise kiirus	−13,6667
Säilinud ruumala 60 ühiku järel	7,6 × 10⁻³⁵⁷
Algne vahe kaksikute vahel	1,0 × 10⁻⁹
Lõplik vahe kaksikute vahel	16,211

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Lorenzi atraktor

Edward Lorenz taandas konvektsiooni 1963. aastal kolmele arvule ja kolmele võrrandile: ẋ = σ(y − x), ẏ = x(ρ − z) − y, ż = xy − βz. Siin tähistab x vedelikurulli pöörlemise kiirust, y temperatuuride erinevust tõusva ja langeva külje vahel ning z vertikaalse temperatuuriprofiili hälvet sirgjoonest. Konstandid σ = 10 ja β = 8/3 pärinevad temalt; ρ tähistab kuumutamist, mida saab siinsel lehel ka ise muuta. Atraktor on hulk, milleni arvutus pärast siirdeperioodi hääbumist jõuab. Väärtusest ρ = 24,7368 allpool võib selleks olla üksik punkt – püsiva kiirusega pöörlev stabiilne rull. Sellest kõrgemal aga ei stabiliseeru arvutus kunagi ning tekkival hulgal on omadused, mida ühelgi punktil ega pinnal ei leidu.

Mida iga sümbol tähendab

σ: Prandtli arv, fikseeritud väärtusele 10. See näitab, kuidas suhestuvad impulsi ja soojuse levimise kiirused vedelikus
ρ: kuumutamine, mida saab siin ise muuta. Rayleigh' arv jagatuna selle kriitilise väärtusega – nii märgib ρ = 1 punkti, kus vedelik üldse liikuma hakkab
β: fikseeritud väärtusele 8/3. Selle määras Lorenzi eeldatud konvektsioonirullide kuju
∇·F: ruumala kahanemise kiirus, −σ − 1 − β. See on kõikjal sama ja selgitab, miks atraktoril ruumala puudub
λ₁: suurim Ljapunovi eksponent, mida mõõdetakse siin teise punkti eemaletõukamise ja renormaliseerimise teel. Positiivne väärtus tähendab, et naaberolekud kaugenevad

Eeldab: Eeldust, et kolm arvu suudavad tähistada vedelikku. Tegelikult ei suuda ja Lorenz teadis seda väga hästi. Süsteem on konvektsiooni kärbitud variant, kus on säilinud vaid kolm võnkemoodi. Seetõttu on tegemist mudeli mudeliga. Kärpimisest on aga alles jäänud venitamise ja voltimise aritmeetika. Just seetõttu vääribki see pilt uurimist ka ammu pärast seda, kui konvektsioon ise on ununenud. Integreerimisel on kasutatud meetodit RK4 fikseeritud sammuga 0,005. Samm on meelega valitud fikseeritud, mitte adaptiivne. Nii on kindel, et arvutuste ainus erinevus on see, mille sa ise seadistasid.
Ei kehti, kui: Ilmastiku kirjeldusena puruneb mudel peaaegu kohe. Tõelisel konvektsioonil on piirid, niiskus ja võnkemoodide pidev spekter. Siinsed arvud ei ole ühegi mõõdetava ühikuga temperatuurid ega kiirused. Ajatelg kasutab süsteemi enda ühikuid ja selle tõlkimine päevadeks oleks pigem tõlgendus kui matemaatiline tulemus. Seetõttu siinsel lehel seda valikut ei tehta. Ljapunovi eksponent näitab terve atraktori keskmist, ent lokaalselt varieerub selle väärtus tohutult. Just sel põhjusel on rahulikul päeval tehtud ilmaprognoos väärtuslikum, kui keskmine eksponent arvata lubaks – ja täpselt seda hindab ilma ansambelprognoos. Kui viia kuumutamine üle piiri ρ = 31, muutub pilt taas. Kaootilise ulatuse sees avanevad ja sulguvad perioodilised aknad, mille tulemusena võib arvutus maanduda täielikult suletud tsüklil.

Kaks trajektoori lahknevad, kuid joonistavad ikkagi sedasama 🖖

Vajuta nupule Kõvera täitumiseni ja uuri teist paneeli. Tööriist salvestab z-i iga maksimumi ning joonestab selle eelneva maksimumi suhtes. Arvutus A annab 268 sellist punkti ja arvutus B 266, kusjuures kõik 534 asuvad ühel kõveral. Seda 17,75 ühiku laiust graafikut mõõtes näeme, et pooled B-punktid jäävad naabruses asuvaid A-punkte läbivast joonest kõigest 0,011 kaugusele. Arvutused langesid viimati kokku hetkel t = 24,78 ning on lõpuks teineteisest 11,9 ühiku kaugusel. Kuna kogu atraktori laius on 38 ühikut, asuvad need punktid lihtsalt täiesti eri kohtades. Prognoosija ei oska öelda, kus trajektoor parajasti asub. Paneelil nähtav kõver on aga osa, milles ei saanud kordagi kahelda.

Sel puudub ruumala, kuid see pole ka pind 🖖

Voo kolme diagonaalelemendi liitmisel saame ∇·F = −σ − 1 − β = −13,6667. See väärtus on igas punktis ja iga ρ korral täpselt sama. Seega säilitab algolekute kogum ühe ajaühiku möödudes miljondiku oma ruumalast ning kuuekümne ühiku pärast 7,6 × 10⁻³⁵⁷ osa. Millele trajektoor lõpuks ka ei koonduks, on selle ruumala null. Punktiks see kahaneda ei saa, sest alates väärtusest ρ = 24,7368 on mõlemad tasakaaluolekud ebastabiilsed ja trajektoor paisatakse neist eemale. Samuti pole tegu pinnaga. Sileda voo kaks trajektoori ei lõiku ju kunagi, ent sedasi keerdumiseks tuleks just pinda läbida. Alles jääbki ebatavaline moodustis nende kahe vahepealt, mille mõõtme väärtuseks tuleb 2,0622.

Väärtusest ρ = 24,7368 allpool säilitavad võrrandid mõlemad lahendid 🖖

Kaks eelseadistust väärtusel ρ = 24,4 erinevad vaid ühe parameetri poolest. Kui alustada punktist (1, 1, 20), kasvab kaksikute vahekaugus väärtuselt 10⁻⁹ kuni 8,889 ja trajektoor vahetab 96 korda tiiba. Alustades aga parempoolse tasakaaluoleku kõrvalt, kerivad samad võrrandid mõlemad lahendid sinna sisse. Nende vahekaugus on lõpuks 1,4 × 10⁻¹⁰ ehk vaid seitsmendik esialgsest. Süsteemis on korraga olemas nii tasakaaluolek kui ka veider atraktor. Kummani neist sa jõuad, otsustab alguspunkt, mitte soojendamise tugevus. Füüsikud nimetavad bifurkatsiooni punktis 24,7368 subkriitiliseks. Just seda nähtust antud termin kirjeldabki.

Ülesanne täielikult lahendatud

Olek on teada küljepikkusega 1 kuubi täpsusega. Milline on see kuup kümne ajaühiku pärast? 6 sammu
Oletame, et olek on kuskil atraktoril teada vaid küljepikkusega 1 (seega ruumalaga 1) kuubi täpsusega. Süsteemil lastakse seejärel kümme ajaühikut edasi areneda. Enne lugemise jätkamist arvuta välja, millise kuju kuup on võtnud ning kui suur on selle ruumala. Tööriistas ρ = 28 seadmiseks vajuta Klassikaline käivitus.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Ljapunovi eksponente on kolm, üks iga suuna jaoks, ja neist vaid üht on tarvis mõõta. Voo sihis ei toimu mingit venitamist ega kokkusurumist, mistõttu λ₂ = 0. Tulemuste tabelis esitatud renormaliseerimine annab λ₁ = 0,9059. Kolmandat eksponenti ei mõõdeta üldse. Nende kolme summa peab võrduma ruumala kahanemise kiirusega, mis on aga juba täpselt teada.
  
  $λ_{2} = 0, λ_{1} = ⟨ \frac{1}{τ} ln \frac{d ( τ )}{d _{0}} ⟩ = 0.9059$
2. Seega λ₃ = ∇·F − λ₁ = −13,6667 − 0,9059 = −14,5726. Pane tähele, kui ebasümmeetriline see on. Kokkusuruv suund on venitamissuunast kuusteist korda tugevam. See ongi peamine põhjus, miks klomp muutub lõpuks lamedaks, mitte ei jää ümaraks.
  
  $λ_{3} = \nabla \cdot F - λ_{1} = - 13.6667 - 0.9059 = - 14.5726$
3. Asendame nüüd iga suuna puhul t = 10. Kuubi iga külge korrutatakse teguriga e^(λt):
  
  $direction stretching along the flow squeezing λ + 0.9059 0 - 14.5726 e^{λ t}, t = 10 8, 594 1 5.15 \times 1 0^{- 64}$
4. Korruta need kolm tegurit omavahel ja saadki ruumala: 8594 × 1 × 5,15 × 10⁻⁶⁴ = 4,43 × 10⁻⁶⁰. Kahanemise kiirus annab aga täpselt sama vastuse ilma kolme suunda kordagi mainimata: e^(−13,6667 × 10) = 4,43 × 10⁻⁶⁰. Kahe teineteisest sõltumatu arvutuskäigu kokkulangemine tõestabki eksponentide õigsust.
  
  $8, 594 \cdot 1 \cdot 5.15 \times 1 0^{- 64} = 4.43 \times 1 0^{- 60} and e^{- 13.6667 \cdot 10} = 4.43 \times 1 0^{- 60}$
5. Arvutused sunnivad meile siin peale ühe paratamatuse. Atraktor on x-telje sihis ligikaudu 38 ühikut lai ja z-telje sihis 46 ühikut kõrge. Algsest kuubist on aga saanud 8594 ühikut pikk lint – see on 226 korda laiem kui kast, millesse ta ära peab mahtuma. Järelikult volditakse lint igal tiirul aina uuesti kokku. Iga selline volt laotab varasematele kihtidele veel ühe uue.
  
  $\frac{8 , 594}{38} \approx 226$
6. Sellistest kihtidest koosnev objekt on pinnast paksem, aga ruumilisest kehast õhem. Dimensionaalsus ütleb meile täpselt, kui palju: D = 2 + λ₁/|λ₃| = 2 + 0,9059/14,5726 = 2,0622. Täisarv 2 tähistab lehte. Murdosa 0,0622 vastab selle voltimisele.
  
  $D = 2 + \frac{λ _{1}}{∣ λ _{3} ∣} = 2 + \frac{0 . 9059}{14 . 5726} = 2.0622$
Vastus

8594 ühikut pikk, 1 ühik lai ja 5,15 × 10⁻⁶⁴ paks lint ruumalaga 4,43 × 10⁻⁶⁰, mis on 38 ühiku laiusesse kasti lakkamatult kokku volditud. Just see voltimine muudab atraktori lameduse asemel 2,0622-mõõtmeliseks. Ühtlasi on see põhjus, miks pole võimalik öelda, millisel kihil sa parajasti asud. See on aga sisuliselt sama, mis teadmatus trajektoori täpse asukoha suhtes.

$8, 594 \times 1 \times 5.15 \times 1 0^{- 64} in a box 38 across \Rightarrow D = 2.0622$

Õpitee

Kuidas sünnib ilmaprognoos

Allikad (4)

The paper itself. Section 5 works out the volume contraction, and the successive-maxima plot this page's second panel draws is his Figure 4: E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow." Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, pp. 130-141. DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
Where the bifurcation structure is set out in full, including the subcritical Hopf at 24.7368 that the page's last two presets sit either side of: C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, Springer New York, 1982. DOI 10.1007/978-1-4612-5767-7
That the attractor exists at all was an open question for thirty-six years. It is Smale's fourteenth problem, and this is the computer-assisted proof that settled it: W. Tucker, "A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem." Foundations of Computational Mathematics 2, 2002, pp. 53-117. DOI 10.1007/s002080010018
The dimension formula the results table uses, D = 2 + lambda_1/|lambda_3| for a three-dimensional flow: J. L. Kaplan and J. A. Yorke, "Chaotic behavior of multidimensional difference equations." In Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 1979, pp. 204-227. DOI 10.1007/BFb0064319

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.