Polünoomijagamise treener

Sisesta kordajad kõrgeimast astmest alustades, komadega eraldatuna.

Näidisarvutus — Polünoomijagamise treener

Jagatis	2x²+x+6
Jääk	7
Jagatav	2

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Jagamine avaldisega x − r ei vaja üldse x-i 🖖

Kui jagaja on x − r, kokkub kogu jagamisskeem üheks ainsaks reaks aritmeetikat kordajatega: too üks alla, korruta r-iga, liida, korda. See on Horneri skeem ja see on täpselt seesama menetlus nagu Horneri meetod polünoomi väärtuse arvutamiseks — just seepärast on viimane arv, mille kirjutad, ühtaegu jääk ja polünoomi väärtus kohal r. Tõhusus on tegelik, mitte kosmeetiline: 10. astme polünoom vajab nii 10 korrutamist, samas kui iga astme eraldi arvutamisel kuluks 19. Just nii arvutavad numbrilised teegid polünoome päriselt, sest vähem tehteid tähendab ka vähem kogunevat ümardamisviga.

Jääk on peidetud väärtus 🖖

Polünoomide jagamine käib täpselt nagu täisarvude jagamine, mida sa juba tunned: eemalda üks liige korraga ja lahuta. Huvitav tulemus ilmneb, kui jagad lihtsa teguriga nagu (x - c) — allesjääv jääk on täpselt p(c), polünoom kohal c. Seega tähendab nulljääk, et c on nullkoht, ja said selle teada arvu asendamata.

Sellega kontrollitakse su faile 🖖

Iga CRC-kontrollsumma — salvestatud faili, ZIP-arhiivi või Etherneti-paketi veakontroll — on maskeeritud polünoomide jagamine. Andmebitid saavad hiiglasliku polünoomi kordajateks üle korpuse GF(2), kus arvutatakse mooduli 2 järgi ja liitmine on lihtsalt XOR. See polünoom jagatakse kindla generaatorpolünoomiga ja jääk ongi kontrollsumma. Sama algoritm, mida see treener käsitsi läbib, töötab võrguriistvaras miljardeid kordi sekundis.

Ülesanne täielikult lahendatud

2x³ − 3x² + 4x − 5 jagamine avaldisega x − 2 5 sammu
Polünoomi 2x³ − 3x² + 4x − 5 jagamisel binoomiga x − 2 on jääk 7. Jõua selleni sünteetilise jagamise abil ning seejärel saa sama 7 ilma üldse jagamata.
1. Sünteetiline jagamine on kirjalik jagamine ilma liigse arvepidamiseta. Olulised on vaid koefitsiendid ning jagamine binoomiga x − r tähendab, et korrutajaks on r.
  
  $\frac{2 x ^{3} - 3 x ^{2} + 4 x - 5}{x - 2} : synthetic division with r = 2$
2. Too 2 alla, korruta 2-ga ja liida arvule −3, et saada 1, korruta 2-ga ja liida arvule 4, et saada 6, korruta 2-ga ja liida arvule −5, et saada 7. Esimesed kolm moodustavad jagatise; viimane on jääk.
  
  $22 - 34 - 5 ⟶ 2, 1, 6 remainder 7$
3. Lahtikirjutatult on see polünoomide jagamise algoritm — ning samasus kehtib iga x korral, mitte ainult mugavate väärtuste puhul.
  
  $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 = (x - 2) (2 x^{2} + x + 6) + 7$
4. Seega asenda x = 2. Tegur (x − 2) muudab kogu jagatise nulliks, mis ta ka parajasti poleks, ning samasus taandub kujule P(2) = jääk.
  
  $P (2) = 2 (8) - 3 (4) + 4 (2) - 5 = 16 - 12 + 8 - 5 = 7$
5. P(2) otsene arvutamine annab 7, mis ühtib jagamise tulemusega ilma ühtegi jagamistehet tegemata.
  
  $P (2) = 7 \neq = 0 ⟹ (x - 2) is not a factor$
Vastus

Tööriist väljastab jagatise 2x² + x + 6 ja jäägi 7. Jäägiteoreem ongi see, mida samm 4 tõestab, ning see on väärtuslikum kui selle pakutav otsetee: kuna jääk on P(r), on küsimus, kas (x − r) jagab polünoomi, samaväärne küsimusega, kas P(r) = 0. Siin on see 7, seega ei jaga. See samaväärsus muudab tegurite otsimise väärtuse arvutamiseks — proovi jagaja väärtusi, kuni jääk on 0, ning oled sama sammuga leidnud juure ja tegurdanud polünoomi.

$P (x) = (x - r) Q (x) + P (r) : the remainder IS P (r)$

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Viib edasi Ratsionaalfunktsioonid teguriteoreemi, mis töötab mõlemas suunas.

Allikad (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-06-09

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Kuupfunktsioon jagatuna lineaarsega - Jagatis 2x² + x + 6 ja jääk 7 — jagaja ei ole tegur.
Jäägi kontroll - Jäägiteoreemi tüüpi ülesanne kohal x=2.
Kuupfunktsioon teadaolevate nullkohtadega - Teadaoleva nullkohaga kuuppolünoom jagatud teguriga (x-1), jääk null.