Miks mõõdetakse nurki radiaanides

Määra raadius ja nurk ning muuda allpool ühikut. Kaare pikkus, siinuse tõus ja väikese nurga lähendus muutuvad koos, sest need kujutavad üht definitsiooni kolmel erineval moel.

Näidisarvutus — Miks mõõdetakse nurki radiaanides

Kaare pikkus s	1
Siinuse tõus kohal θ	0,540302
sin θ	0,841471
Viga lähenduses sin θ ≈ θ	18,840%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kaare pikkuse valem on definitsioon, mitte järeldus 🖖

Vajuta nupule Üks radiaan, üks raadius. Raadius 1 pööratuna ühe radiaani võrra lõikab välja täpselt 1 pikkuse kaare ja just seda see ühik tähendabki: nurka, mis teeb kaare pikkuse võrdseks raadiusega. Seega ei ole s = rθ radiaanide kohta käiv teoreem. See on lause, mille tõestamiseks radiaanid üldse leiutati. Muuda ühik kraadideks ning sama kaar vajab korrutamist r × θ × π/180. Jäta see tegur ära ja vastus on kordajaga 57,3 valesti. See ei ole samuti juhuslik konstant, vaid üks radiaan kraadides, mis tähendab, et kogu teisendus vaatab sulle otsa.

Siinuse tuletis on koosinus ainult radiaanides 🖖

Vajuta Tõusu arvutus sõltub ühikust. Kui θ = 0, on siinuse tõus radiaanides täpselt 1. Vaheta nüüd ühikut: sama kõvera samas punktis on tõus 0,017453, sest kraad on radiaanist väiksem samm ja siinuse väärtus kasvab ühe sammu kohta võrdeliselt vähem. Puhas reegel d/dx sin x = cos x kehtib seega ainult radiaanides. Sama puudutab siinuse rida, kõiki Fourier’ liikmeid ja allpool toodud väikese nurga tulemust. Kraadidel põhinev diferentsiaal- ja integraalarvutus on täiesti võimalik, kuid tegur ei kao kuhugi: esimese tuletisega kaasneb π/180, teisega selle ruut, integraaliga pöördväärtus. Seepärast ei rajata arvutust kraadidele.

Lähendus peab vastu palju kauem, kui võiks arvata 🖖

Väikese nurga korral on sin θ ≈ θ. Rea järgmine liige on −θ³/6. Suhteline viga kasvab seega proportsioonis θ²/6 ehk võrdeliselt nurga ruudu ja mitte nurgaga endaga. Just seetõttu lähendus kestabki. 1° juures eksib see 0,005%, 5° juures 0,127% ja isegi 10° juures on viga vaid 0,510%. Jätka 30° peale ja seal see viimaks 4,720% juures puruneb. Pendel töötab täpselt samal eeldusel. Selle liikumine on lihtne harmooniline võnkumine ainult seetõttu, et sin θ on asendatud nurgaga θ. Pendel hoiab väikeste võngete korral täpselt aega ning hakkab seda suurte võngete puhul tasapisi kaotama. Punkt, kus kell hakkab valetama, asubki seal, kus see veerg ei ole enam väike.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kuu läbimõõt, mis katab 384 400 km kauguselt 0,5181° taevast 6 sammu
Kuu katab taevast 0,5181° ja asub 384 400 km kaugusel. Arvuta selle läbimõõt ja uuri, mis juhtub, kui unustad ühiku.
1. Väikese kauge objekti suuruse valem on suurus = kaugus × nurk. See on otseselt s = rθ, kus Kuu kaugus on raadius. Valem eeldab nurka θ radiaanides.
  
  $s = r θ (θ in radians)$
2. Teisenda: 0,5181 × π/180 = 0,0090426 radiaani.
  
  $0.518 1^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.0090426$
3. Korruta. 384 400 × 0,0090426 = 3 476 km, samas kui mõõdetud keskmine läbimõõt on 3 474,8 km.
  
  $384, 400 \times 0.0090426 = 3, 476 km$
4. Nüüd jäta teisendus tegemata ja korruta algse väärtusega 0,5181. Tulemuseks on 199 158 km. See annab Kuu läbimõõduks peaaegu teise Maa ja Kuu vahelise kauguse.
  
  $384, 400 \times 0.5181 = 199, 158 km$
5. Nende kahe vastuse suhe on 57,30, mis on 180/π. Iga ununenud sedalaadi teisendus eksib täpselt nii paljuga, olenemata konkreetsetest arvudest.
  
  $\frac{199 , 158}{3 , 476} = 57.30 = \frac{180}{π}$
6. Üks kontroll enne vastuse usaldamist. Valem käsitleb Kuu läbimõõtu kaare, mitte sirgjoonena selle sees. Selle nurga juures erinevad need kaks 3 476 kilomeetri peale 12 meetrit, mis teeb veaks 3 osa miljonist. Seega ei ole lähendus see, mis tulemuse täpsust piirab.
  
  $arc - chord = 12 m in 3, 476 km$
Vastus

3 476 km, kuid radiaanide unustamine tekitab 57,3-kordse vea. Neljanda numbri täpsust ei piira geomeetria, vaid lähteandmete kokkusobivus. Kuu kaugus muutub kuu jooksul ligikaudu 363 300 km-st 405 500 km-ni ehk 11% ning koos sellega muutub ka tema nurkläbimõõt. Isegi keskmise nurga ja keskmise kauguse kasutamisel tekib 1,2 km suurune erinevus: ülal saadud 3 476 ja mõõdetud 3 474,8 ei lange kokku, sest nurkläbimõõt sõltub kaugusest kujul 1/d ning pöördväärtuste keskmine ei võrdu keskmise pöördväärtusega. Kui siduda keskmine nurk hoopis tänase kaugusega, on tulemus perigees 190 km võrra vale, kuigi arvutus ise on algusest lõpuni laitmatu. Võrrand ei näita, et sellesse sisestatud kaks arvu pärinevad eri hetkedest.
θ on siinuse ja tangensi vahel, aga mitte keskel 6 sammu
10° juures trükib paneel kaare 0,174533, siinuse 0,173648 ja vea 0,510%. Arvuta, kuhu jääb sama nurga tangens, ja otsusta, kas 0,510% on parim, mida need kaks arvu suudavad.
1. Kümme kraadi on 10 × π/180 = 0,174533 radiaani, ja raadiusega 1 ringjoonel on kaar võrdne nurgaga. See ongi kogu seose s = rθ sisu.
  
  $θ = 1 0^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.174533 rad, s = r θ = θ (r = 1)$
2. Siinus jääb pisut lühikeseks, 0,173648. Paneel jagab puudujäägi siinusega ja näitab 0,510%.
  
  $sin θ = 0.173648, \frac{θ - sin θ}{sin θ} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.510%$
3. Puudujäägil on suurus, mida saab ette ennustada. sin θ = θ − θ³/6 + …, seega peaks θ − sin θ olema umbes θ³/6 = 0,000886, mõõdetud 0,000885 vastu.
  
  $sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots ⟹ θ - sin θ \approx \frac{θ ^{3}}{6} = 0.000886$
4. Tangens läheb üle sama laadi liikmega, mille kordaja on kaks korda suurem: tan θ = θ + θ³/3 + …, andes tan θ − θ = 0,001794. Kokku sin θ < θ < tan θ. See kahe vahele surumine ongi tõestus, et siinuse tõus nullis on radiaanides täpselt 1, ja leht trükib sellest ainult alumise poole.
  
  $tan θ = θ + \frac{θ ^{3}}{3} + \dots = 0.176327 ⟹ tan θ - θ = 0.001794 \approx \frac{θ ^{3}}{3}$
5. Vahemik ei ole sümmeetriline. Tangens läheb üle 2,03 korda nii kaugele, kui siinus alla jääb, seega asub θ siinuselt tangensi poole liikudes kolmandiku peal, mitte poole peal.
  
  $sin θ < θ < tan θ, \frac{tan θ - θ}{θ - sin θ} = 2.03 ⟹ θ lies one third of the way up$
6. Kaalu neid selles suhtes ja kuupliikmed taanduvad täielikult, sest 2(−⅙) + ⅓ = 0. (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411, mööda 8,2 × 10⁻⁶ ehk 0,0047% võrra — üle saja korra lähemal kui siinus üksi, samast kahest arvust.
  
  $2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = 0 : \frac{2 sin θ + tan θ}{3} = 0.1745411, out by 8.2 \times 1 0^{- 6} = 0.0047%$
Vastus

Tangens maandub 0,176327 peal, kaare teisel pool, ja 0,510% on parimast pikalt maas. Sellel kaalumisel on pikk ajalugu teise nime all: ringjoone sisse joonistatud korrapärase hulknurga ümbermõõt on 2n sin(π/n) ja ümberjoonistatul 2n tan(π/n), seesama siinus ja tangens nurgal θ = π/n, ning diameetriga jagades saadakse klassikalised π rajad. 96 külje juures on need 3,14103195 ja 3,14271460, mis omaette annavad π-le 3,14; ühendatuna kujul (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3 annavad nad 3,14159283 tõelise 3,14159265 vastu. Tangens on tööriista enda mudelis kogu aeg olemas olnud; kaardi saab ainult siinus, sest väikese nurga reegel on see, mida füüsikakursus küsib.

$n = 96 : \frac{2 ( 3.14103195 ) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 (π = 3.14159265)$

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

Viib edasi Piirväärtused nurgamõõdu, mille korral kehtib väikese θ puhul sin θ ≈ θ ning siinuse tuletis on täpselt koosinus.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Üks radiaan, üks raadius - Raadius 1 ja ühe radiaani suurune nurk lõikavad välja täpselt 1 pikkuse kaare. See ei ole radiaanide omadus, vaid see, milleks ühik loodi, ja iga teine valem siin lehel on selle tagajärg.
Tuletisarvutuse alus - Kui θ = 0, on siinuse tõus radiaanides täpselt 1. Kraadides on sama tõus 0,017453, sest siinuse väärtus kasvab nurgaühiku kohta nüüd 57,3 korda aeglasemalt. Kõik tuttavad tuletisvalemid eeldavad esimest väärtust.
Kus sin θ ≈ θ lakkab - Nurga 10° juures eksib lähendus sin θ ≈ θ 0,510%. 5° juures on viga 0,127% ja 1° juures 0,005%, sest viga kasvab võrdeliselt nurga ruudu, mitte nurgaga.
Kuu nurksuuruse järgi - Kuu katab taevast 0,5181° keskmisel kaugusel 384 400 km. Radiaanides on see nurk 0,0090426 ning korrutamine annab läbimõõduks 3 476 km, võrreldes mõõdetud 3 474,8 kilomeetriga. Jäta teisendus tegemata ja vastuseks on 199 158 km.