Ujuvus ja Archimedese seadus

Paak, selles ujuv paat ja last, mis võib olla kas pardal või üle parda. Siin arvutatakse paadi süvis, veetase ning veetaseme muutus lasti paadist eemaldamisel.

Näidisarvutus — Ujuvus ja Archimedese seadus

Paadi kantav ujuv mass	160,0 kg
Paadi väljatõrjutud vedelik	160,29 L
Kerele mõjuv üleslükkejõud	1569,6 N
Paadi süvis	100,2 mm
Lasti kaudu kere väljatõrjutud vedelik	40,07 L
Veepinna kõrgus paagi põhjast	1,0267 m
Veetaseme muutus lasti üle parda tõstmisel	−5,83 mm
Paadi kerkimine lasti eemaldamisel	25,0 mm

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ujuvus ja Archimedese seadus

Archimedese seadus: täielikult või osaliselt vedelikku sukeldatud kehale mõjub ülespoole suunatud jõud, üleslükkejõud, mis võrdub keha väljatõrjutud vedeliku kaaluga, F_b = ρgV. Jõud tekib rõhkude erinevusest: vedelik surub keha põhjale tugevamalt kui ülaosale, sest põhi asub sügavamal. Keha ujub, kui selle sukeldunud osale mõjuv üleslükkejõud võrdub keha raskusega. Seetõttu tõrjub ujuv keha välja täpselt oma massiga võrdse massi vedelikku. Uppuv keha ei saa välja tõrjuda rohkem vedelikku kui oma ruumala jagu; see osa raskusest, mida üleslükkejõud ei tasakaalusta, jääb põhja kanda. Kõik selle lehe arvud tulenevad neist kahest põhimõttest.

Mida iga sümbol tähendab

ρ: vedeliku tihedus ühikutes kg/m³: mageveel temperatuuril 20 °C 998,2 ja mereveel 1 025
V: väljatõrjutud vedeliku ruumala ühikutes m³. Tuhat liitrit on üks kuupmeeter
F_b: üleslükkejõud ρgV njuutonites. Ujuva keha korral võrdub see keha raskusega
d: süvis ehk kere sukeldumissügavus: kere mass jagatud ρ ja põhjapindala korrutisega
A_t: paagi põhja pindala. Veepinna alla lisatud ruumala tõstab veetaset selle ruumala ja A_t jagatise võrra
A_b: kere põhjapindala ehk kere tasase põhja pindala

Eeldab: Paadi kere on lameda põhja ja püstiste külgedega risttahukas ning paagi küljed on püstised, nii et ruumala ja pindala jagatis annab kõrguse. Vedelik seisab, on kokkusurumatu ja kõikjal sama tihedusega. Uppunud plokk on kuup, mis lebab paagi põhjas kerest eemal ja täielikult vee all; kui vesi on selle katmiseks liiga madal, annab otsus sellest teada. Sulamisvee tihedus vastab magevee tihedusele temperatuuril 20 °C ning mereveega segunedes jääb selle ruumala samaks. Noerdlingeri ja Broweri tulemus on umbes 2,6%, siin saadakse 2,68%. Erinevus võib tulla kasutatud tihedustest ja segunemise käsitlusest, mida siin on lihtsustatud. Männi näidistihedus on 500 kg/m³; iga ujuva puidu korral on muutus ühtmoodi null.
Ei kehti, kui: Mudel ei kehti enam siis, kui kere pole risttahukas. Päris paadi veeliini pindala muutub sügavusega, mistõttu süvise leidmiseks tuleb kere kuju integreerida ja paadi kerkimist ei saa väljendada lihtsa suhtarvuga. Tiigi veetaseme muutus jääb samaks, sest see sõltub ainult ruumaladest. Väga väikesel skaalal, kui kere ümber jääb vaid millimeetri või kahe laiune pilu, muudab pindpinevus kitsa paagi järelduse kehtetuks. Kokkusurutavuse mõju on neil sügavustel tühine: mõni meeter vett surub vedelikku kokku palju vähem, kui ükski siin näidatav arv väljendab. Kui vesi voolab üle parda, ei püsi paat enam veepinnal. Kere sügavuse ületamisel teatab leht seetõttu, et paat on vett täis, ega arvuta uppumist edasi.

Ankur läheb üle parda ja tiigi veetase langeb 🖖

Vajuta esmalt Ankur paadis ja seejärel Ankur põhjas. Paadis ujub ankur koos kerega ning iga ujuv keha tõrjub välja oma massiga võrdse massi vett: 40 kg ankru korral 40,07 liitrit. Põhjas tõrjub ankur välja ainult oma ruumala. Raua tiheduse 7 874 kg/m³ korral on see 5,08 liitrit. Puudujääv 35 liitrit jaotub 6 m² suurusele tiigile ning veepind langeb 5,83 mm. Samal ajal kerkib paat 25,0 mm ja pilk jälgib just paadi kerkimist. Tulemuste all olev tabel näitab sama 40 kg lasti kuuest materjalist. Mänd ja jää ei muuda veetaset; kõige tihedam materjal kuld langetab seda 6,33 mm. See on lähedal 6,68 mm-le, mis vastaks kogu 40,07 liitri kadumisele.

Sulav jää jätab veeklaasi taseme samaks, kuid tõstab meretaset 🖖

Magevees ujuv jää tõrjub välja oma massiga võrdse massi vett. Sulades jää muutubki samaks veemassiks, mistõttu veetase ei muutu: rakendus näitab iga suurusega ploki korral 0,000 mm. Merevees need ruumalad enam ei ühti. Jää merevees näites tõrjub 200 kg ujuvat jääd välja 195,12 liitrit merevett. Sulades saab sellest 200 kg magevett, mis on mereveest hõredam ja võtab 2,68% rohkem ruumi. Veetase tõuseb 0,873 mm. Jää tihedust pole selles arvutuses tarvis, loevad ainult kahe vee tihedused. Noerdlinger ja Brower tegid ookeanide kohta sama arvutuse 2007. aastal. Nende tulemuse järgi oli ruumala ülejääk umbes 2,6% ning kogu merejää ja ujuvate šelfiliustike sulamine tõstaks meretaset ligikaudu 4 cm.

Tonnine paat ujub 50 kg vees 🖖

Kerele mõjuv üleslükkejõud võrdub kerealuse rõhu ja põhja pindala korrutisega. Rõhk kere all on ρgh: see sõltub paadi süvisest, mitte paadi ümber oleva vee kogusest. Vett peab olema ainult nii palju, et kere ümber olev pilu täituks süviseni. Näites Tonn kitsas paagis asetatakse 1 000 kg paat, mille kere põhjapindala on 2 m², 2,1 m² põhjapindalaga paaki. Vähim paati ujutav veekogus on 50,00 kg. Selle ja paadi massi suhe on 5,0%. Sama tulemuse annab pilu pindala ja kere põhjapindala suhe 0,1 ÷ 2, sest nii tihedus kui ka raskus taanduvad välja. Rõhk sügavusel käsitleb sama nähtust altpoolt: põhjale mõjuva jõu määrab selle kohal oleva vee sügavus ning peenikeses torus olev vesi surub põhjale peaaegu kümme korda oma raskusest suurema jõuga.

Ülesanne täielikult lahendatud

Lase ankur köiega alla. Millal tiigi veetase langeb? 5 sammu
Esimese näite sõudepaat kaalub 120 kg ja selles on 40 kg raudankur. Paat ujub 6 m² suurusel tiigil. Ankru viskamise asemel lased selle köiega vette, kuni see ripub täielikult vee all, kuid ei puuduta põhja. Seejärel lased ankrul põhja vajuda. Kas veetase muutub ankru rippumise ajal ja kui palju muutub see põhja puudutamisel? Otsusta enne, kui edasi loed.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Algul on kõik pardal. Paadi kanda on 160 kg, seega tõrjub see välja 160 kg vett:
  
  $V_{1} = \frac{120 + 40}{998 . 2} = 0.16029 m^{3} = 160.29 L$
2. Ankru enda ruumala ja sellele vee all mõjuv üleslükkejõud, mis võrdub 5,07 kg vee kaaluga:
  
  $V_{a} = \frac{40}{7874} = 0.00508 m^{3} ρ V_{a} = 998.2 \times 0.00508 = 5.07 kg$
3. Köie otsas rippuvat ankrut hoiavad üleval nii vesi kui ka köis. Ülejäänud raskus jääb köie kanda:
  
  $T = (40 - 5.07) g = 34.93 kg \times 9.81 = 342.65 N$
4. Köie tõmme mõjub paadile allapoole, mistõttu on paadi kanda nüüd 154,93 kg. Liida kere ja selle kõrval oleva ankru väljatõrjutud veekogused:
  
  $V_{2} = \frac{120 + 34 . 93}{998 . 2} + 0.00508 = 0.15521 + 0.00508 = 0.16029 m^{3} = V_{1}$
5. Kogusumma langeb täpselt kokku pardal olnud lasti tulemusega. Lase nüüd ankrul põhja vajuda. Põhi võtab enda kanda 34,93 kg, mida seni hoidis köis, paat kannab ainult oma 120 kg ja vesi vabaneb sellest koormuse osast:
  
  $V_{3} = \frac{120}{998 . 2} + 0.00508 = 0.12530 m^{3} Δ h = \frac{V _{3} - V _{1}}{A _{t}} = \frac{0 . 12530 - 0 . 16029}{6} = - 5.83 mm$
Vastus

Ankru rippumise ajal ei liigu veetase üldse. Vesi kannab endiselt kogu 160 kg, osalt kere ja osalt ankru kaudu, täpselt nagu siis, kui ankur oli pardal. Hetkel, mil ankur puudutab põhja, langeb veetase 5,83 mm, sest sellest alates kannab põhi 34,93 kg, mida seni kandis vesi. Veetaseme määrab see, millele raskus toetub; ankru üle parda minek iseenesest ei põhjusta muutust.

$V_{2} = V_{1} \Rightarrow Δ h = 0 V_{3} < V_{1} \Rightarrow Δ h = - 5.83 mm$

Allikad (3)

The principle in Archimedes' own two halves: Proposition 5, a floating solid sinks until it displaces its own weight of fluid, and Proposition 7, a solid heavier than the fluid goes to the bottom and weighs less there by the weight of the fluid it displaces: T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes. Cambridge University Press, 1897. On Floating Bodies, Book I, Propositions 5-7, pp. 257-258.
Why melting floating ice raises the sea, and by about how much: meltwater takes up about 2.6% more room than the seawater the ice displaced, and melting all sea ice and floating ice shelves would raise sea level about 4 cm: P. D. Noerdlinger and K. R. Brower, "The melting of floating ice raises the ocean level." Geophysical Journal International 170(1), 2007, pp. 145-150. DOI 10.1111/j.1365-246X.2007.03472.x
The density of ice, 916.72 kg/m³ at its normal melting point, from the international equation of state for ordinary ice: International Association for the Properties of Water and Steam, Revised Release on the Equation of State 2006 for H2O Ice Ih, IAPWS R10-06(2009). Doorwerth, The Netherlands, September 2009. Table 6.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.