Rõhk sügavusel

Vali anum, sügavus ja vedelik. Leht arvutab välja rõhu anuma põhjas, sellest tuleneva jõu ning võrdleb seda jõudu anumas oleva vedeliku kaaluga.

Näidisarvutus — Rõhk sügavusel

Vedeliku tihedus	998 kg/m³
Rõhk anuma põhjas	4,896 kPa
Põhja pindala	0,0314 m²
Vedeliku survejõud põhjale	153,8 N
Anuma maht	15,708 L
Vedeliku kaal	153,8 N
Jõud põhjale ÷ vedeliku kaal	1,000
Jõud seinale meetri kohta	1224,0 N/m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Rõhk sügavusel

Rõhk on pinnale jaotunud jõud, p = F/A, mida mõõdetakse paskalites. Üks paskal on üks njuuton ühele ruutmeetrile. Paigalseisva vedeliku pinna all sügavusel h on rõhk p = ρgh, kus ρ on vedeliku tihedus ja g on 9,81 m/s². Uuri valemit ja vaata, mis sealt puudub. Seal pole pindala, ruumala ega midagi anuma kohta. Kõik kolm selle lehe väidet tulenevad just nende muutujate puudumisest. Iga siin toodud rõhk on ülerõhk, mis tähistab seda osa, mille vedelik lisab pinnale juba niigi mõjuvale rõhule.

Mida iga sümbol tähendab

p: rõhk paskalites. 1 Pa = 1 N/m² ja üks kilopaskal on tuhat paskalit
ρ: vedeliku tihedus ühikuga kg/m³. See on vedeliku ainus omadus, mida sellel lehel kohtab
h: sügavus vedeliku pinnast meetrites. Sügavus, mitte anuma kõrgus ja mitte vedeliku kogus
A: surutav pindala ühikuga m². Rõhk korrutatuna pindalaga annab jõu
g: 9,81 m/s², et ρgh vastus tuleks paskalites

Eeldab: Eeldatakse, et vedelik seisab paigal ja selle tihedus on kõikjal sama. Mõlemad peavad paika paagis oleva vee puhul, kuid ei sobi atmosfääri kirjeldamiseks. Seepärast ongi siin lehel tegemist vedelike, mitte gaasidega. Õhurõhk on kõikidest arvutustest välja jäetud, kuna see taandub välja. Õhk surub nii vedeliku pinnale kui ka anuma põhja alla sama 101 kPa rõhuga ja seetõttu ei avaldu see põhja kandvas jõus. Basseini sügavusmõõdik näitab täpselt samamoodi ning seepärast on siinsed arvud just need, mida ka päriselt mõõdaksid.
Ei kehti, kui: Mudel kaotab kehtivuse niipea, kui vedelik hakkab liikuma. Voolava vedelikuga toru allub pigem Bernoulli seadusele. Liikuva vedeliku kiiruse tõttu kaotatud rõhk arvutatakse lahti peatükis Bernoulli ja Venturi efekt. Kokkusurutavad vedelikud rikuvad teist eeldust, kuna õhu tihedus väheneb poole võrra iga 5,5 km järel. Seetõttu on konstantse ρ-ga valem ρgh vale enam kui mõnekümne meetri paksuse atmosfäärikihi puhul. Samuti ei toimi see väga väikeste anumate korral. Umbes millimeetrise läbimõõduga torus tõmbab pindpinevus vedeliku üles või alla kõrgusele, mida see leht üldse ei modelleeri. Lisaks on siinne seinale mõjuv jõud antud sirge vertikaalse seina iga meetri kohta. Kumer tamm kannab oma koormust osaliselt oru nõlvadele toetudes. See on aga hoopis teine arvutus ja ühtlasi põhjus, miks kaarktammid saavad olla õhukesed.

Neli anumat, nelikümmend kaks korda rohkem vett, üks näit 🖖

Vajuta Laienev, 68 liitrit ja seejärel Toru kettal, 1,6 liitrit. Sama põhi, sama pool meetrit vett, aga ruumala muutub 42 korda. Rõhk on mõlemal korral 4,896 kPa ja põhjale mõjuv jõud on 153,8 N. Valemis p = ρgh on ainult sügavus ja tihedus ning kumbki neist ei tea seintest midagi. Allolev tabel esitab kõik neli anumat korraga. Nii saad jälgida, kuidas kaks veergu püsivad paigal, samal ajal kui ülejäänud muutuvad.

Põhi kannab vedeliku kaalust rohkem 🖖

Toru kettal mahutab 1,606 liitrit ehk umbes 1,6 kg, ent selle põhi kannab 153,8 N, mis vastab 15,7 kg kaalule. See on 9,78 korda rohkem kui sellel asetsev vesi. Laienev anum on aga 0,231 kordajaga peegelpilt. Midagi ei teki eimillestki. Kaldus seinad suruvad kitsenevas anumas vedelikku alla ja laienevas anumas tõstavad seda üles ning see vahe ongi täpselt see, mida põhi tunneb. Pascali nime kandev katse viib selle äärmuseni. Vaid paarsada grammi vett pikas peenikeses torus lõhestab all oleva vaadi. Allpool lahendatud ülesanne ongi sellesama vaadi näide koos arvudega.

Kaks korda sügavam tähendab seinale neli korda suuremat koormust 🖖

Rõhk tammi seinale ei ole üks konstantne arv, kuna see kasvab pinnal olevast nullist kuni ρgh-ni põhjas. Seina keskmine rõhk on pool maksimumist. Kuna ka märja pinna ulatus kasvab koos sügavusega, on jõud seina laiuse iga meetri kohta ½ρgh² ehk ruutväärtus. Suurenda veehoidla sügavust 1 m pealt 2 m peale ja seina koormus kasvab 4896 njuutonilt 19 585 njuutonini meetri kohta, mis on neljakordne kasv. See on ka põhjus, miks tamm on alt paks ja ülevalt õhuke. Jõudude resultant mõjub kolmandiku kõrgusel põhjast, mitte poole peal.

Ülesanne täielikult lahendatud

Pascali vaat: kui suurt jõudu avaldab pooleliitrine veekogus kaanele? 6 sammu
Suletud vaadil on kaas läbimõõduga 0,60 m. Kaane sisse on paigaldatud peenike toru raadiusega 5 mm ja see on täidetud veega 5 m kõrguseni. Enne edasi lugemist arvuta välja jõud, mida vesi kaanele avaldab, ja võrdle seda torus oleva vee kaaluga. Vajuta Toru kettal, 1,6 liitrit, et näha sedasama olukorda kümme korda väiksemas mõõtkavas.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Toru lisab rõhku ainult oma kõrguse kaudu ja ei millegi muu. Viis meetrit vett:
  
  $p = ρ g h = 998.2 \cdot 9.81 \cdot 5 = 48, 962 Pa$
2. See rõhk mõjub kogu kaanele, mis on 0,30 m raadiusega ketas:
  
  $A_{lid} = π R^{2} = π \cdot 0.3 0^{2} = 0.28274 m^{2}$
3. Jõud on rõhu ja pindala korrutis. Massina väljendatult on seda lihtsam ette kujutada, sest kaas kannab lausa umbes 1,4 tonni.
  
  $F = p A_{lid} = 48, 962 \cdot 0.28274 = 13, 844 N (\frac{13 , 844}{9 . 81} = 1, 411 kg)$
4. Vaatame nüüd vett, mis selle põhjustas. Toru siseläbimõõt on 5 mm, seega on selle ristlõige tilluke:
  
  $bore radius cross-section π r^{2} volume π r^{2} h mass ρ V weight ρ V g 0.005 m 7.854 \times 1 0^{- 5} m^{2} 3.927 \times 1 0^{- 4} m^{3} = 0.3927 L 0.392 kg 3.85 N$
5. Jaga üks teisega. Kolmsada üheksakümmend grammi vett surub kaanele jõuga 13 844 N:
  
  $\frac{F}{W} = \frac{13 , 844}{3 . 85} = 3, 600$
6. Ja siin ongi see osa, mida tasub meeles pidada. Kirjuta suhe sümbolites välja ja kõrgus taandub, kuna see esineb nii rõhus kui ka ruumalas. Samuti taanduvad tihedus ja g. Jõu võimendus tuleneb puhtalt kahe pindala suhtest. Täpselt samamoodi tõstab hüdrauliline tungraud autot.
  
  $\frac{F}{W} = \frac{ρ g h A _{lid}}{ρ g A _{pipe} h} = \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = (\frac{0 . 30}{0 . 005})^{2} = 6 0^{2} = 3, 600$
Vastus

13 844 N kaanele, mille põhjustas 3,85 N vett. See tähendab 3600-kordset võimendust. See näitaja on (0,30 ÷ 0,005)² ja oleks täpselt sama iga kõrgusega toru ja mistahes tihedusega vedeliku puhul. Pascalil polnud tarvis palju vett, ta vajas peenikest toru. Vaat ei purune mitte selle tõttu, mis on torus, vaid toru ja kaane ristlõigete suhte tõttu.

$13, 844 N from 3.85 N \Rightarrow \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = 3, 600$

Allikad (3)

How the result on this page was arrived at, and by whom. Stevin had the paradox in 1586, half a century before Pascal, and the paper follows what each of them actually added: A. F. Chalmers, "Qualitative novelty in seventeenth-century science: Hydrostatics from Stevin to Pascal." Studies in History and Philosophy of Science Part A 51, 2015, pp. 1-10. DOI 10.1016/j.shpsa.2015.01.001
Stevin's own hydrostatics, where the force on the base was first separated from the weight of the liquid: E. J. Dijksterhuis, "Hydrostatics." In Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Springer Netherlands, 1970, pp. 64-69. DOI 10.1007/978-94-010-3207-0_5
The paradox had a name and a readership long before it had a syllabus. This is the 1869 note it carried in Scientific American: "The Hydrostatic Paradox." Scientific American 21, 1869, p. 249. DOI 10.1038/scientificamerican10161869-249

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.