Bernoulli ja Venturi efekt

Tee toru kitsamaks ning vaata, kuidas kiirus kasvab ja rõhk langeb, kuni vesi jõuab punkti, kus ta hakkab hoopis keema.

Näidisarvutus — Bernoulli ja Venturi efekt

Kiiruste suhe	4,00×
Kitsuskoha kiirus	8,00 m/s
Rõhu muutus	−29,95 kPa
Kitsuskoha absoluutne rõhk	71,38 kPa
Kitsuskoha Machi arv	0,005
Vooluhulk	3,93 L/s
Kaviteerub alla selle kitsuse	18,75 mm
Kaviteerub üle selle kiiruse	3,64 m/s

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Bernoulli ja Venturi efekt

Kaks väidet toru kohta, millest järeldub kõik siin lehel olev. Pidevus: mis sisse läheb, see ka välja tuleb, seega A₁v₁ = A₂v₂ ning kitsam ristlõige tähendab kiiremat vett. Bernoulli: piki voolujoont on rõhu ja ruumalaühiku kineetilise energia summa jääv, seega p + ½ρv² = constant ning kiirem vesi peab olema madalama rõhu all. Mitte et miski vett sinna suruks — energia on juba kiirusele kulunud.

Mida iga sümbol tähendab

A: toru ristlõige
v: sellest läbivoolava vedeliku kiirus
ρ: vedeliku tihedus

Eeldab: Kokkusurumatu, viskoossuseta ja statsionaarne vool piki üht voolujoont. Viskoossus on siinkohal kõige olulisem: reaalne Venturi toru ei taasta allavoolu kogu oma rõhku ning see vahe on hõõrdumise tõttu jäädavalt kaotsi läinud rõhk — just see ongi mõõtja töös hoidmise hind.

Kiirus on suhte ruut, rõhk on kiiruse ruut 🖖

Määra sisendiks 50 mm ja kitsuskohaks 25 mm, vesi liigub kiirusega 2 m/s. Kitsuskoha kiiruse rida näitab 8,00 m/s ja rõhu muutus on −29,95 kPa. Esimene neist tuleneb pidevuse seadusest: sama ruumala peab läbi neljandiku pindala liikuma neli korda kiiremini. Kiiruste suhte rida näitab 4,00×, mis on 50/25 ruut. Ülejäänu eest hoolitseb Bernoulli ja selle kineetiline liige sisaldab v² elementi, seega neljakordne kiirus tähendab kuueteistkordset kineetilist rõhku.

Kirjuta nüüd kitsuskoha kasti 10. Kiiruste suhe on 25,00×, kitsuskoha kiirus 50,00 m/s, rõhu muutus −1245,75 kPa. Sisend on kitsuskohast varasema kahe korra asemel viis korda laiem ja langus on 41,6 korda suurem sellest, mida sa just lugesid. Teises paneelis on see kõik pigem visuaalne kui aritmeetiline. See hoiab sisendi ja vedeliku paigal ning varieerib ainult kitsuskohta, mis paremale liikudes kitseneb, ning laiade kitsuskohtade kohal püsib kõver peaaegu tasasena, enne kui see järsult langeb.

Kus aritmeetika jätkub, aga vesi mitte 🖖

See −1245,75 kPa lahutatakse ümbritsevast 101,325 kPa rõhust, mis teeb kitsuskoha absoluutseks rõhuks −1144,43 kPa. Ükski vedelik ei saa eksisteerida negatiivse absoluutse rõhu juures ning vesi annab alla juba ammu enne nulli. Temperatuuril 20 °C keeb vesi 2339 Pa juures ja mõlema paneeli allosas olev varjutatud riba on tõmmatud täpselt sellele joonele. Jälgi, kuidas rõhukõver seda läbib ja punaseks muutub.

Rida kuvab tulemuse sellegipoolest, märkides selle ebafüüsikaliseks, sest see arv ongi õppetund. Tööriist lahendab piiri ka teiselt poolt. 50 mm sisendi, merepinna ümbritseva rõhu ja 2 m/s kiirusega vee korral näitab Kaviteerub alla selle kitsuse rida 18,75 mm. Kui sellest rohkem kitsendada, siis vedelik pigem rebeneb kui õheneb. Kirjuta kitsuskoha kasti 19 ja seejärel 18 ning tulemus pöördubki nende kahe vahel.

Kümme meetrit vett maksab peaaegu terve atmosfääri 🖖

Kümme meetrit kõrgust maksab peaaegu kogu atmosfääri ja see maksab seda sõltumata sellest, kas midagi kitseneb või mitte. Määra mõlema läbimõõduks 50 mm ja lohista kõrguse liugur, mis määrab kitsuskoha kõrguse sisendist, väärtusele +10,0 m. Rõhu muutuse rida näitab −97,92 kPa ning iga osa sellest on ρgh: vesi tihedusega 998,2 kg/m³, g = 9,81 m/s², kümme meetrit. Arvestades atmosfääri pakutavat 101,325 kPa, on ainuüksi kõrgus kulutanud sellest 96,6%, kusjuures toru on endiselt täiesti sirge. Kitsuskoha absoluutse rõhu rida näitab 3,40 kPa, mis on umbes üks kilopaskal üle aurujoone.

Liugur peatub 10 m juures ja vesi peatub 10,11 m juures, kus ρgh võtab viimase, mis veel jäänud on. Imipump ei tõsta tegelikult midagi. See langetab rõhku vee kohal ja laseb atmosfääril veesammast üles lükata. Madalaim rõhk, mille pump suudab endast maha jätta, on kaks lõiku tagasi mainitud 2339 Pa, kus vesi hakkab kõrgemale tõusmise asemel hoopis keema. Seega kümme meetrit on kogu eelarve ning testitakse hoopis midagi muud kui pumba kvaliteeti.

Ülesanne täielikult lahendatud

Venturi voolumõõtjalt vooluhulga lugemine ja vooluhulk, mida see kunagi lugeda ei suuda 8 sammu
50 mm veetorustikus on Venturi vahetükk, mille kitsuskoht on 25 mm. Seadistuse rakendamiseks vajuta nupule Klassikaline Venturi. Kahe mõõtepunkti vaheline diferentsiaalmanomeeter näitab 29,95 kPa. Milline on vooluhulk ja milline on suurim vooluhulk, mida see arvesti eales suudab näidata?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Mis tahes ruumala igas sekundis sisendi läbib, läbib ka kitsuskohta. Seega seal, kus pindala väheneb, kiirus suureneb, et hoida korrutis konstantsena. Pindala muutub võrdeliselt läbimõõdu ruuduga, mistõttu toru poole kitsamaks tegemine ei kahekordista kiirust, vaid neljakordistab selle. Kiiruste suhe näitab 4,00× ja kitsuskoha kiirus 8,00 m/s.
  
  $\frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = (\frac{50}{25})^{2} = 4.00 v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = 2 \times 4.00 = 8.00 m s^{- 1}$
2. Bernoulli võrrand maksab selle kiiruse kinni rõhu arvelt. Toru on horisontaalne, seega kaks ρgh liiget taanduvad välja ja alles jäävad vaid kineetilised liikmed. Kineetiline liige sisaldab v² elementi, seega neljakordne kiirus maksab kuusteist korda sisendi dünaamilist rõhku, millest üks oli juba eelnevalt kulutatud. Langus on viisteist korda ½ρv₁² ning siin on ½ρv₁² väärtuseks 1996,4 Pa. Rõhu muutus näitab −29,95 kPa.
  
  $Δ p = \frac{1}{2} ρ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = \frac{1}{2} (998.2) (2^{2} - 8^{2}) = - 29, 946 Pa$
3. Lahuta see sisendi juures atmosfäärist ja kitsuskoha absoluutne rõhk on 71,38 kPa. Ruumi veel on. Temperatuuril 20 °C keeb vesi 2339 Pa juures, seega 69 kPa varu on alles. Kitsuskoha Machi arv näitab 0,005, mis on teine eeldus Bernoulli võrrandis ja annab tunnistust, et ka seda pole veel piirini viidud.
  
  $p_{2} = p_{amb} + Δ p \Rightarrow 101.325 - 29.946 = 71.379 kPa M = \frac{v _{2}}{c} = \frac{8.00}{1481} = 0.005$
4. Venturi mõõtja ei tee aga midagi eelnimetatust. Mõõtjal pole kiiruse liugurit. Sel on kaks mõõtepunkti ja diferentsiaalmanomeeter ning vooluhulk on see tundmatu, mille leidmiseks seade ehitati. Nii et lahenda sama võrrand teistpidi: Δp on teada ja v₁ on otsitav. Sisesta manomeetri 29,95 kPa tagasi ja sisendi kiiruseks tuleb 2,000 m/s, mis ongi täpselt see algne seadistus.
  
  $Δ p = - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{d _{1}}{d _{2}})^{4} - 1] \Rightarrow v_{1} = \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 29 , 950 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 4.0005 = 2.000 m s^{- 1}$
5. Korruta sisendi pindalaga, π(0,050)²/4 = 1,9635×10⁻³ m², ja vooluhulga rea 3,93 L/s ongi saadud kiiruse asemel hoopis rõhunäidust. Mõõtja andmeleht kirjutab need kaks sammu ühe võrrandina, kus läbimõõtude suhe d₂/d₁ on tähistatud tähega β, mille väärtus on siin 0,5. See võrrand on seadme eksisteerimise põhjus ja ühtlasi ainus asi sellel lehel, mida tööriist ei arvuta.
  
  $Q = v_{1} A_{1} = 2.000 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 3.927 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} Q = A_{2} \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ ( 1 - β ^{4} )} β = \frac{d _{2}}{d _{1}} = 0.5$
6. Igal mõõtjal on ülempiir ning siinkohal seab piirid vesi, mitte manomeeter. Kitsenda ava ja rõhk langeb seal võrdeliselt läbimõõtude suhte neljanda astmega, kuni jõuab 2339 Pa juurde, mil vedelik kiirenemise asemel hoopis keeb. Leia kitsuskoht, kus see tänase vooluhulga juures juhtub: sulgude väärtuseks tuleb 50,582, selle neljas juur on 2,6669 ning rida Kaviteerub alla selle kitsuse näitab 18,75 mm. Vahetüki 25 mm kitsuskoht on sellest kolmandiku võrra laiem.
  
  $d_{2}^{*} = d_{1} [1 + \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ v _{1}^{2}}]^{- 1/4} = d_{1} (50.582)^{- 1/4} \frac{50}{2.6669} = 18.75 mm$
7. Sama piir teiselt poolt vaadatuna, kus kitsuskoht on hoitud 25 mm peal. Vedelikul on kulutada ümbritsev rõhk miinus aururõhk ehk 98 986 Pa ning seda kulutab ρ[(d₁/d₂)⁴ − 1]. Rida Kaviteerub üle selle kiiruse näitab 3,64 m/s.
  
  $v_{1}^{m a x} = \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 98 , 986 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 13.222 = 3.636 m s^{- 1}$
8. Ükski rida ei muuda seda kiirust vooluhulgaks, seega arvuta see ise. 3,636 m/s läbi 50 mm toru on 7,14×10⁻³ m³/s, mis on 7,14 L/s. Mõõtja skaala tipp on 1,82 korda suurem praegu näidatavast vooluhulgast ning suurim diferentsiaal, mida see eales toodab, on 98,99 kPa: ümbritsev rõhk miinus aururõhk, millest edasi pole enam midagi saada. Suru kõvemini ja kitsuskoht täitub auruga. Diferentsiaal lakkab vooluhulga jälgimisest ning manomeeter mõõdab lihtsalt keevat taskut.
  
  $Q_{m a x} = v_{1}^{m a x} A_{1} = 3.636 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 7.14 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} \frac{7.14}{3.927} = 1.818$
Vastus

Praegu 3,93 L/s ja eales mitte üle 7,14 L/s. Tööriist ei kuva kumbagi, ometi määrab just viimane disaini.

Kitsuskoha 40 mm peale avamiseks vajuta nupule Lauge kitsenemine. Kaviteerub üle selle kiiruse tõuseb 3,64 pealt 11,73 m/s peale, mis teeb 23,0 L/s, samas kui rõhu muutus variseb −29,95 kPa pealt −2,88 kPa peale. Mõlemad arvud tulenevad samast sulust (d₁/d₂)⁴ − 1, mis asub ühe lugejas ja teise nimetajas ruutjuure all. Seega ulatust saab laiendada ainult loovutatud signaali pöördruutjuurena: kümme korda väiksem diferentsiaal ostab 3,2 korda suurema vooluhulga. Väärtuse β valik ongi see kompromiss ning piisavalt lai kitsuskoht, mis ei kaviteeru kunagi, nõuab manomeetrilt vaid mõnesaja paskali lahendamist.

$Q_{m a x} = A_{1} \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]}$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.