Navier–Stokes: voolamine ümber silindri

Määra Reynoldsi arv ja leht lahendab sinu silme all Navier–Stokesi võrrandid voolamisele ümber silindri, kus värv näitab vedeliku pöörlemise suunda. Pildi all olev graafik kujutab külgsuunalist kiirust kolme diameetri kaugusel allavoolu. See ütleb sulle läve lähedal seda, mida pilt ei suuda: kas voolujälg rahuneb, vaibub või jääbki võnguma.

Näidisarvutus — Navier–Stokes: voolamine ümber silindri

Viskoossus võreühikutes	0,01000
Relaksatsiooniaeg τ	0,5300
Võnge, millel jälg rahuneb	0,636 U
Strouhali arv võnkeperioodist	0,1690
Takistustegur, ajaline keskm.	1,489
Sellest rõhu osa	1,157
Pindahõõrdumise osa takistuses	22%
Strouhali arv tuuletunnelis	0,1671

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Navier–Stokes: voolamine ümber silindri

Navier–Stokesi võrrandid on Newtoni teine seadus vedeliku jaoks: iga väike osake kiirendab sellele mõjuva rõhu ja naabrite viskoosse takistuse all. Vedeliku puhul, mida ei saa kokku suruda, on need kujul ∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p/ρ + ν∇²u ja ∇·u = 0, kus u on kiirus, p on rõhk, ρ on tihedus ja ν on kinemaatiline viskoossus.

Mida iga sümbol tähendab

Re: Reynoldsi arv UD/ν, mis tuleneb voolukiirusest U, silindri diameetrist D ja kinemaatilisest viskoossusest ν. Samm 1 näitab, et see on ainus võrranditesse jäänud konstant
St: Strouhali arv fD/U, eraldumissagedus f ühikutes U/D
C_D: takistustegur: silindri ühikupikkusele mõjuv takistus jagatud avaldisega ½ρU²D
A: võnkeamplituud: pool külgsuunalise kiiruse tipust tipuni väärtusest kolm diameetrit silindri taga, murdosana kiirusest U
ω: pöörisus ∂v/∂x − ∂u/∂y, kahekordne kiirus, millega vedelikuosake pöörleb. Seda tähistab pildil värv

Kust valem tuleb

Miks piisab ühest liugurist. Mõõda pikkusi diameetrites, kiirusi ühikutes U ja aega ühikutes D/U: aseta u = U u′, x = D x′, t = (D/U) t′ ning p = ρU² p′. Iga liige liikumisvõrrandi vasakul poolel sisaldab siis tegurit U²/D ja seda teeb ka rõhuliige; viskoosne liige sisaldab tegurit νU/D². Jaga läbi teguriga U²/D ja võrrand on samasugune nagu varem, kirjutatuna priimiga suurustes, välja arvatud see, et ν asemele on tulnud ν/(UD) = 1/Re. Kaks sama Re-ga voolu on üks ja sama vool erinevate suuruste ja kiiruste juures, seega vajab leht ühte juhtnuppu, mitte nelja.
Kuidas leht eristab rahunemist vaibumisest. Nimetame võnkeamplituudi A. Kuni see on väike, kasvab või kahaneb see eksponentsiaalselt, dA/dt = σA, kusjuures σ on lävest kõrgemal positiivne ja madalamal negatiivne ning läve lähedal on σ võrdeline suurusega Re − Re_c. Kasv ei saa kesta lõputult ja esimene liige, mis suudab selle peatada alt üles pööratuna samasuguse võnke puhul, on kuup-liige: dA/dt = σA − ℓA³, Landau võrrand. Jagatuna A-ga moodustab see sirge A² suhtes, d ln A/dt = σ − ℓA². Leht sobitab selle sirge iga käivituse tsüklitele ja loeb sealt välja σ, mistõttu teab see Re 48 juures, et kahanev võnge hoopis rahuneb, mitte ei vaibu. Seades dA/dt = 0 saame võnke, millel voolujälg rahuneb, A∞² = σ/ℓ: sirge Re suhtes, mis jõuab nulli punktis Re_c. See on sirge teisel paneelil.
Nulltakistus ilma viskoossuseta. Ilma viskoossuseta on voolamine ümber raadiusega R silindri ψ = U(r − R²/r) sin θ ja pinnal on selle kiirus 2U sin θ: null esi- ja tagaküljel ning kahekordne vaba voolu kiirus külgedel. Bernoulli seadus, p + ½ρv² on voolujoone ulatuses konstantne, muudab selle rõhuks kujul C_p = (p − p∞)/(½ρU²) = 1 − 4 sin²θ. Takistus on pinnale lükkav rõhk, mis on kokku liidetud kogu ringi ulatuses: C_D = ∫₀^π C_p cos θ dθ = ∫₀^π cos θ dθ − 4∫₀^π sin²θ cos θ dθ = 0 − [4 sin³θ/3]₀^π = 0. Esimene ja tagumine pool tühistavad teineteise täielikult. Leht integreerib lahendaja enda rõhu samal viisil ning trükib selle välja takistuse rõhuosana.
Sagedus. Skaleerituna nagu sammus 1, muutub eraldumissagedus f kujule St = fD/U ning sarnaselt kõigele muule skaleeritud võrrandites saab see sõltuda ainult arvust Re ja mitte millestki muust. Kui St on mingi Reynoldsi arvu juures teada, siis f = St·U/D mis tahes vedeliku, kiiruse ja diameetri jaoks, mis seda jagavad. Roshko sobitas oma tuuletunneli mõõtmistulemustega vahemikus Re 50 kuni 150 avaldise St = 0.212(1 − 21.2/Re); selle lahendaja St on väärtusel Re 55 sellest 4% kõrgemal, kahanedes Re 100 juures väärtuseni 1%.

Eeldab: Kahte mõõdet: lõpmatult pikk silinder, mille ulatuses miski ei muutu. Kokkusurumatut vedelikku, mida lahendaja lähendab, töötades umbes kuuendikul omaenese helikiirusest. Kahekümne diameetri laiust kanalit, mille ülaosa on ühendatud alaosaga, nii et silindril on naabrid kahekümne diameetri kaugusel, mis lisab takistusele ja sagedusele mõne protsendi.
Ei kehti, kui: Väärtusest Re 188,5 ülevalpool tekitab reaalne voolujälg silindri pikisuunas laineid (Barkley ja Henderson, 1996) ning 2D lahendus lakkab seda kirjeldamast. Läve lähedal aeglustub kõik: väärtusel Re 47 on võnge pärast 300 D/U endiselt vaibumas ja vajaks hääbumiseks veel enam kui 2000 D/U, mistõttu loeb leht ootamise asemel trendi Landau võrrandi abil.

Umbes väärtusest Re 47 allpool voolujälg rahuneb; sellest ülevalpool võnguvad samad võrrandid lõputult 🖖

Vajuta Re 44 ja seejärel Re 48. Silinder on sümmeetriline, selleni jõudev vool on sümmeetriline ja mõlema Reynoldsi arvu puhul on võrranditel sümmeetriline lahend: kaks peegelpildis pöörist, mis püsivad paigal. Väärtusel 44 naaseb tõuke saanud voolujälg selle juurde. Väärtusel 48 ei tee see seda kunagi. Sümmeetriline lahend eksisteerib endiselt, kuid on muutunud ebastabiilseks ja vool hälbib sellest vähimagi ettekäändega. Siin on ettekäändeks leht ise: külgsuunaline müks sissevoolus pärast iga muutust ja silinder, mis on nihutatud kolmandiku raku võrra võre keskjoonest kõrvale. Veekanalis on selleks mis tahes vibratsioon. Camicheli rühm Toulouse'is mõõtis läveks 47. Selle lahendaja kasvukiirus muudab märki 47 ja 48 vahel, umbes 47,4 juures, ning teise paneeli sobitus annab tulemuseks 47,5.

Ilma viskoossuseta ei tunneks silinder mingit takistust 🖖

Eemalda võrranditest viskoossus ja voolamist ümber silindri saab lahendada pliiatsiga (allpool asuv samm 3). Tagumise poole rõhk osutub esipoole rõhu peegelpildiks, tõuke- ja tõmbejõud tühistavad teineteist ning takistus on täpselt null. d'Alembert avaldas selle 1752. aastal ja seda on sestsaadik nimetatud paradoksiks, sest iga reaalne keha tunneb takistust. Esimene paneel näitab, kus see viltu läheb. Väärtusel Re 100 tõuseb hõõrdevaba rõhk silindri tagaküljel tagasi +1-ni; lahendaja oma peatub väärtusel −0,94, sest vool eraldub pinnalt enne, kui see suudab taastuda. See puuduv rõhk moodustab enam kui kolm neljandikku takistusest. Ülejäänu on vedeliku haare pinnaga: 22% takistusest Re 100 juures, 40% Re 20 juures.

Traadi lauldav noot ei ole kindel arv 🖖

St = fD/U on eraldumissagedus ühikutes, mis näitavad aega, mis kulub voolul ühe diameetri läbimiseks. Seda ümardatakse sageli väärtuseni 0,2. Sellel lehel tõuseb see väärtuselt 0,128 Re 50 juures väärtuseni 0,169 Re 100 juures ja 0,192-ni 180 juures ning Roshko tuuletunneli sobitus, roheline joon, tõuseb koos sellega: 0,167 Re 100 juures. See 0,2 kuulub kiirematele vooludele. Roshko sobitus vahemikus Re 300 kuni 2000 annab 0,203 kuni 0,211 ja seal on voolujälg kolmemõõtmeline, mida 2D lahendaja ei suuda jälgida. Reaalne voolujälg muutub kolmemõõtmeliseks Re 188,5 juures, mis on ka põhjus, miks liugur peatub 180 juures.

Ülesanne täielikult lahendatud

Millist nooti laulab traat tuules? 4 sammu
Pingul traat paksusega 3 mm asub 8 m/s puhuvas tuules. Pöörised eralduvad kordamööda selle kummaltki küljelt ning traat undab eraldumissagedusel. Millisel sagedusel? Õhu viskoossus 20 °C juures on 1,813×10⁻⁵ Pa·s ja tihedus on 1,204 kg/m³.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kõigepealt Reynoldsi arv kinemaatilisest viskoossusest ν = η/ρ:
  
  $ν = \frac{η}{ρ} = \frac{1 . 813 \times 1 0 ^{- 5} Pa s}{1 . 204 kg/ m ^{3}} = 1.506 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s, Re = \frac{U D}{ν} = \frac{8 m/s \times 0 . 003 m}{1 . 506 \times 1 0 ^{- 5} m ^{2} /s} = 1, 594$
2. See on kaugele üle väärtusest 188,5, kus reaalne voolujälg muutub kolmemõõtmeliseks, seega ei suuda selle lehe lahendaja vastust anda. Roshko mõõtis eraldumissagedust täpselt selles vahemikus ja sobitas selle:
  
  $St = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{Re}) = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{1 , 594}) = 0.2103 (300 < Re < 2, 000)$
3. Seejärel järeldub f St definitsioonist:
  
  $f = \frac{St U}{D} = \frac{0 . 2103 \times 8 m/s}{0 . 003 m} = 561 Hz$
4. Lahendaja õigustab oma kohta väärtusest Re 150 allpool, kus seda ja sama tuuletunnelit saab otseselt võrrelda. Vajuta Re 100 ja loe mõlemad tulemuste tabelist:
  
  $Re = 100 : St_{solver} = 0.1690, St_{Roshko} = 0.212 (1 - \frac{21 . 2}{100}) = 0.1671$
Vastus

Traat laulab sagedusel umbes 561 Hz. Poolita selle paksus ja sagedus muutub 1113 Hz-ni: napilt vähem kui kahekordistub, sest ka Re väheneb poole võrra ning St langeb väärtuselt 0,2103 väärtuseni 0,2086.

$f \approx 561 Hz; D = 1.5 mm : Re = 797, St = 0.2086, f = 1, 113 Hz$

Allikad (5)

Wind-tunnel shedding frequencies behind circular cylinders from Re 40 to 10,000, and the two fits this page plots and the worked problem uses: S = 0.212(1 − 21.2/R) for 50 < R < 150 and S = 0.212(1 − 12.7/R) for 300 < R < 2,000: A. Roshko, "On the Development of Turbulent Wakes from Vortex Streets", NACA Report 1191, National Advisory Committee for Aeronautics, 1954.
Where a two-dimensional solver stops describing a real wake: the periodic 2D wake becomes unstable to three-dimensional disturbances at Re = 188.5 ± 1.0, which is where this page's slider stops: D. Barkley and R. D. Henderson, "Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder", Journal of Fluid Mechanics 322, 215–241 (1996).
The history of the instability: Bénard's experiments, the threshold Re_c = 47 that Camichel's group in Toulouse measured with circular cylinders, and Mathis, Provansal and Boyer's 1984 measurement that the oscillation's amplitude grows as (Re − Re_c)^½, the Landau law this page fits: J. E. Wesfreid, "Henri Bénard: Thermal convection and vortex shedding", Comptes Rendus Mécanique 345, 446–466 (2017).
The method this page solves the equations with: a lattice-Boltzmann fluid with a curved wall placed on the true circle by interpolating along each lattice link, and the drag from the momentum each link exchanges with the wall: M. Bouzidi, M. Firdaouss and P. Lallemand, "Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries", Physics of Fluids 13, 3452–3459 (2001).
Steady flow past a cylinder computed up to Re 100, with the drag, the surface pressure and the separation bubble, which first appears just below Re 7: S. C. R. Dennis and G.-Z. Chang, "Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100", Journal of Fluid Mechanics 42, 471–489 (1970).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.