Lõppkiirus ja Stokesi seadus

Määra raadius, materjal ja voolis, et näha kera langemise kiirust ning suurust, mille juures valem enam ei kehti.

Näidisarvutus — Lõppkiirus ja Stokesi seadus

Suund	langeb
Stokesi seadus ennustab	0,8985 m/s
Kera Reynoldsi arv	895,4
Ruuttakistuse ennustus	0,2146 m/s
Suurim raadius Stokesi alal	5,19 × 10⁻⁵ m
Selle lõppkiirus	0,009671 m/s

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Lõppkiirus ja Stokesi seadus

Piirkiirus saavutatakse, kui langev kera lakkab kiirendamast, kuna takistusjõud on kasvanud võrdseks selle kaaluga vedelikus. See kaal on raskusjõu ja üleslükkejõu vahe. Seega pole määrav mitte kera tihedus, vaid tiheduste erinevus. Rakendatav takistusseadus sõltub otseselt kera senisest kiirusest. Stokesi seadus, mille kohaselt on takistus kiirusega võrdeline, kehtib vaid seni, kuni voolamine ümber kera püsib laminaarne.

Mida iga sümbol tähendab

Δρ: kera tihedus miinus vedeliku tihedus
μ: vedeliku dünaamiline viskoossus

Eeldab: Sile ja jäik kera, täiesti üksi lõputus vedelikus. Mõõtesilindris ei pea aga ükski neist eeldustest paika. Anuma seinad aeglustavad vajumist, naaberosakesed muudavad voolamist teineteise ümber ning liivatera ei ole kera.

Reynoldsi arv on 895,4; Stokesi seadus nõuab Re ≤ 1 🖖

Vajuta nupule 1 mm liivatera vees. Stokesi seadus ennustab kiiruseks 0,8985 m/s ja esmapilgul paistab kõik õige. Liiv vajub ning umbes meeter sekundis langev säärase suurusega tera on just see suurusjärk, mida võikski oletada. Alumine rida näitab aga 895,4. See on sellesama liivatera Reynoldsi arv äsja leitud kiirusel. Stokesi seadus tuletati hiiliva voolamise jaoks ning annab mõneprotsendise veaga tulemusi vaid juhul, kui Re jääb alla ühe. Kera taga tekib vooluse irdumine juba Re = 20 paiku. Niisiis veab antud liivatera endaga kaasas pööriste jälge.

Valemis v = 2r²Δρg / (9η) ei leidu ainsatki liiget, mis võiks ebakõlast märku anda, seega vastab see võrdse rahuga nii juhul Re = 895 kui ka Re = 0,001. Ruuttakistuse rida pakub sama tera kiiruseks 0,2146 m/s. See on neli korda aeglasem, kuid paraku mitte põrmugi usaldusväärsem: väärtus Re = 895 langeb täpselt kahe seaduse vahelisse alasse, kus kumbki valem ei kehti ja analüütiline lahend lihtsalt puudub.

Piir on kuupjuur ja graafikul on see varjutatud 🖖

Stokesi kiiruse asendamisel tagasi Reynoldsi arvu avaldisse taandub see raadiuse astmefunktsiooniks: Re(r) = 4gρ_fΔρr³ / (9η²). Võrdsustades selle ühega, saab raadiuse avaldada kujul r³ = 9η² / (4gρ_fΔρ). Kuna Re kasvab r-i suurenedes monotoonselt, leidub siin täpselt üks positiivne juur ning numbrilist otsingut pole tarvis. Kvartsi ja vee puhul on see 5,19 × 10⁻⁵ m ja tera langeb kiirusega 0,009671 m/s. Vajuta Liiv piiril Re = 1 ja Reynoldsi rida näitabki 1,0000. Stokes tuletas siin aluseks oleva takistusjõu 1851. aastal, kui uuris, miks pendel võngub õhus teisiti kui vaakumis; kera oli vaid kõrvaltulemus.

Graafikul märgib seda raadiust punane joon ning kogu sellest paremale jääv ala on varjutatud. Mõlemad ennustused katavad tervet määramispiirkonda ja topeltlogaritmilisel teljestikul on nende tõusud erinevad: Stokesi seadusel 2, ruuttakistusel aga ½. Kaks sirget lõikuvad täpselt korra ning eemalduvad teineteisest mõlemas suunas. Kui muuta voolis meeks, nihkub punane piir väärtusele 0,02360 m. Kujutle 2,4 cm raadiusega liivapalli: see langeb endiselt hiiliva voolamise režiimis, sest mee viskoossus on veest neli suurusjärku suurem.

Kiirus kasvab kui r², Reynoldsi arv kui r³ 🖖

Vaata kahe valemi r-i astmeid. Stokesi kiiruses sisaldub r², mistõttu kümme korda laiem tera langeb sada korda kiiremini. Reynoldsi arv korrutab selle kiiruse veelkord diameetriga, mis tõstab sõltuvuse r³ peale: kümme korda laiem tera annab tuhat korda suurema Reynoldsi arvu. Liiguta liugurit ja jälgi mõlemat rida. Vees langeva 5 µm raadiusega liivatera kiirus on 8,98 × 10⁻⁵ m/s ja Re = 8,95 × 10⁻⁴. Raadiuse 50 µm juures langeb see aga kiirusega 0,008985 m/s, kusjuures Re = 0,8954.

Kuupsõltuvus selgitabki, miks kasulik aken nii ruttu sulgub. Liiv vees väljub Stokesi seaduse kehtivusalast raadiusel 5,19 × 10⁻⁵ m ja jõuab Newtoni režiimi väärtusel 5,19 × 10⁻⁴ m. See juhtub täpselt ühe dekaadi jooksul, kuna 1000 on teatavasti 10³. Diameetrites teeb see 0,104 mm ja 1,04 mm. Wentworthi skaalal katab see vahemiku väga peenest liivast väga jämedani. Kogu üleminekuala mahub liuguril üheainsa dekaadi sisse.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui kaua võtab kvartsiteral aega, et langeda läbi 2 m seisva vee 7 sammu
Vajuta nupule 1 mm liivatera vees. Stokesi seadus annab vastuseks 0,8985 m/s ja on valmis pakkuma tulemuse mistahes terale. Kas tal on selleks õigus? Kui ei, siis leia kõige jämedam tera, mille kohta see valem veel midagi öelda tohib, ja arvuta, kui kaua kulub sellel 2 m kõrguse veesamba läbimiseks.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kõik järgnev põhineb ühelainsal lahutamisel. Kvartsi tihedus on 2650 kg/m³ ja 20 °C vee tihedus on 998,2. Tera kaalub rohkem kui tema poolt väljatõrjutud vesi ning seetõttu näitab Suuna rida 'langeb'. Langemist ei põhjusta aga mitte tera tihedus ise, vaid tiheduste vahe. Kui asetada sama tera glütserooli tihedusega 1261 kg/m³, langeb liikumapanev jõud näitajalt 1651,8 väärtusele 1389. Stokesi seadus on selle vahega võrdeline. Allpool asuv ruuttakistuse valem sõltub aga selle ruutjuurest.
  
  $Δ ρ = ρ_{s} - ρ_{f} \Rightarrow 2650 - 998.2 = 1651.8 kg m^{- 3}$
2. Lõppkiirusel on resultantjõud null, mis tähendab, et raskusjõud miinus üleslükkejõud võrdub takistusjõuga. Stokesi seaduse kohaselt on see takistus 6πηrv ning avaldades siit v, saame rea 'Stokesi seadus ennustab'. Kuna valem nõuab raadiust, läheb 1 mm läbimõõduga tera arvesse väärtusena 5×10⁻⁴ m. Tööriist väljastab 0,8985 m/s.
  
  $v = \frac{2 r ^{2} Δ ρ g}{9 η} = \frac{2 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.8985 m s^{- 1}$
3. Nüüd uuri, kas valemil oli üldse õigust vastata. Stokes tuletas selle hiiliva voolamise tarbeks ning voolamise iseloomu määrab tera Reynoldsi arv, mis leitakse äsja arvutatud kiiruse põhjal. Valemi pikkusmõõt on diameeter ehk 2r, ja just siin kipub kordaja kaks sageli kaduma. Rida 'Kera Reynoldsi arv' kuvab näitu 895,4, ehkki lubatud ülempiir on 1. Režiimi rida nimetab ala, kuhu lahend sattus: Üleminekuvoolamine (1 < Re ≤ 1000). Seal ei toimi täpselt ükski analüütiline lahend ning insenerid peavad toetuma empiirilistele seostele.
  
  $R e = \frac{ρ _{f} v ( 2 r )}{η} = \frac{( 998.2 ) ( 0.8985 ) ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} )}{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 895.4 \Rightarrow 1 < R e \leq 1000$
4. Teine õpikutes leiduv valem kirjeldab ruuttakistust, kus sileda kera korral C_d ≈ 0,47. See on täpne Re = 1000 kuni ligikaudu 2×10⁵ juures. Rida 'Ruuttakistuse ennustus' annab 0,2146 m/s. Üks tera, kaks valemit ja nende vastuste vahel on 4,19-kordne erinevus. Tera ise jääb aga mõlema kehtivusalast välja. Kumbki number ei ole 1 mm liivatera tegelik langemiskiirus.
  
  $v_{N} = \frac{8 r g ∣ Δ ρ ∣}{3 C _{d} ρ _{f}} = \frac{8 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ( 9.80665 ) ( 1651.8 )}{3 ( 0.47 ) ( 998.2 )} = 0.046035 = 0.2146 m s^{- 1} \frac{0.8985}{0.2146} = 4.187$
5. Otsime siis tera, mille kohta leht suudab vastuse anda. Kui asendada Stokesi v tagasi Reynoldsi arvu avaldisse, jääb järele vaid raadiusest sõltuv funktsioon. Kuna see on võrdeline r³-ga ja seega rangelt kasvav, on võrrandil Re = 1 täpselt üks positiivne juur. Selle saab lihtsalt kirja panna, otsimata väärtust katse-eksituse meetodil. Rida 'Suurim raadius Stokesi alal' annab 5,19×10⁻⁵ m. See on 0,104 mm läbimõõduga tera ehk kõige peenem terake, mida veel liivaks saab nimetada.
  
  $R e (r) = \frac{4 g ρ _{f} Δ ρ r ^{3}}{9 η ^{2}} = 1 \Rightarrow r_{m a x} = 3 \frac{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4 ( 9.80665 ) ( 998.2 ) ( 1651.8 )} = 3 1.3960 \times 1 0^{- 13} = 5.1875 \times 1 0^{- 5} m$
6. Selle lõppkiirus on 0,009671 m/s. Kanna ümardamata juur sellele reale: 51,8 µm korral on vastuseks 0,009643 m/s ning raadius ja kiirus ei asetseks siis enam samal kõveral. Piiril olev tera langeb 93 korda aeglasemalt, kui Stokesi seadus 1 mm tera jaoks ennustas, ja siinkohal tööriista võimalused lõpevad. Jagades 2 m selle kiirusega, selgub, et teral kulub 206,8 sekundit, seega kolm minutit ja kakskümmend seitse sekundit. Ükski rida sellel lehel aega ei väljasta.
  
  $v (r_{m a x}) = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.009671 m s^{- 1} t = \frac{2}{0.009671} = 206.8 s$
7. See jagamistehe eeldas, et lahtilaskmise hetkel oli tera kiirus juba 0,009671 m/s. Kui langemine lineariseerida, m·dv/dt = W_b − 6πηrv, selgub, et lõppkiirusele lähenemine on eksponentsiaalne. Ajakonstant on τ = m/(6πηr), mis massi lahtikirjutamise järel on 2r²ρ_s/(9η). Arvestades vaid tera enda inertsi, saame tulemuseks 1,582 millisekundit. Kiirendamisel kaotatud teepikkus vτ on 15,3 µm, mis moodustab sambast alla kaheksa miljondiku. Väljatõrjutud vee inertsi kaasamine tõstab τ väärtuseni 1,88 ms ega muuda paigast midagi, mida kellegi stopper tabada suudaks.
  
  $τ = \frac{2 r _{m a x}^{2} ρ _{s}}{9 η} = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 2650 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 1.582 \times 1 0^{- 3} s v τ = 0.009671 \times 1.582 \times 1 0^{- 3} = 1.530 \times 1 0^{- 5} m$
Vastus

Stokesi seadus kehtib kvartsi langemisel vees kuni raadiuseni 51,9 µm ja see tera läbib 2 m 3 minuti ja 27 sekundiga. Sinu algse 1 mm tera jaoks ei leidu siin aga ainsatki vastust. Kaks valemit pakuvad 2,2 sekundit ja 9,3 sekundit, kuid lehel pole vähimatki vihjet selle kohta, kumba neist uskuda.

Need 206,8 sekundit muudavadki sadestumissamba päris mõõteriistaks. Sega mudaproov seisvasse vette, võta fikseeritud aja möödudes kindlalt sügavuselt pipetiga proov ja Stokesi seadus muudab kellaaja terasuuruseks. Seda tuntakse pipetikoondise meetodina, millega määratakse mulla muda ja savi osakaalu tänapäevani. Analüüs toimib, kuni Re püsib alla 1, mis kvartsi puhul vees tähendab ligikaudu 52 µm raadiust. Sellest suuremate osakeste puhul on ajavõtt endiselt piinlikult täpne, ent valemi pakutav suurus on lihtsalt vale.

$t = \frac{h}{v} = \frac{9 η h}{2 r ^{2} Δ ρ g}$

Allikad (1)

Where the drag on a slow-moving sphere comes from — a paper about pendulums: G. G. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 1851, pp. 8–106.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.