Poiseuille'i seadus ja voolamine torus

Määra raadius, pikkus ja rõhk, et näha, kui palju toru läbi laseb ja millal seadus enam sisemuses toimuvat ei kirjelda.

Näidisarvutus — Poiseuille'i seadus ja voolamine torus

Vooluhulk	120,4 L/min
Keskmine kiirus	39,9 m/s
Reynoldsi arv	318 404
Voolamisrežiim	Turbulentne
Hüdrauliline takistus	9,96 × 10⁷ Pa·s/m³
Vajalik raadius	3,3605 mm
Režiim selle raadiuse juures	Turbulentne

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Poiseuille'i seadus ja voolamine torus

Poiseuille'i seadus näitab, mida rõhkude vahe torus saavutab: Q = πΔp r⁴ / (8ηL). Kogu asja tuum peitub neljandas astmes. Sellel on korraga kaks põhjust. Laiemas torus on vedeliku transportimiseks suurem ristlõige ning toru keskel voolav vedelik asub kaugemal kõike pidurdavast seinast. Esimene annab r², teine aga veel ühe r².

Mida iga sümbol tähendab

Q: vooluhulk, torust igas sekundis väljuv maht
Δp: voolu tekitav rõhkude vahe
r: toru raadius, suurus, mis tõstetakse valemis neljandasse astmesse
L: toru pikkus, millega vooluhulk on lihtsalt pöördvõrdeline
η: vedeliku viskoossus

Ei kehti, kui: Vere puhul, mis on ometi näide, mille järele haaravad kõik. Veri ei ole Newtoni vedelik. Nihkel muutub see vedelamaks. Arter on pigem elastne kui jäik ning verevool on ühtlase asemel pulseeriv. Sellel lehel toodud 30% ahenemine annab vastusele küll õige kuju, kuid iga konkreetse patsiendi jaoks on see vale arv.

Kitsenda arterit 30% ja 76% vooluhulgast on kadunud 🖖

Vooluhulk ümaras torus on võrdeline raadiuse neljanda astmega. Poolita raadius ning vooluhulk ei kahane poole ega neljandiku võrra: see jaguneb 16-ga. Täpsemalt 16,0000-ga, mitte ligikaudu 16-ga, sest r⁴ on ainus raadiusest sõltuv liige valemis Q = πΔP·r⁴ / 8ηL ja miski muu pole valemis muutunud.

Vajuta Peenike toru – pool millimeetrit raadiust, meeter toru, 5000 Pa – ja vooluhulga real seisab 7,351 ml/min. Vajuta Pool raadiust ja näed 0,459 ml/min, mis on esimene arv jagatuna 16-ga ja seejärel ümardatud.

Väikeste muutuste mõju on arvatust suurem. Lõika raadiusest 10% maha ja sellega koos kaob 34,4% vooluhulgast. Võta 30% vähemaks ja alles jääb 24,0%. Just seda teevad tööriista kaks vere eelseadistust: 2 mm kahaneb 1,4 mm peale sama 200 Pa juures, tuues kaasa 76,0% suuruse kaotuse.

Katlakivi tõttu 10% ahenenud veetoru laseb ikka läbi ligikaudu kaks kolmandikku oma varasemast veest ja keegi ei helista kuhugi. 10% ahenenud arter allub täpselt samale matemaatikale, kuid seal ei ole kahte kolmandikku varuks. Poiseuille oli arst. Ta mõõtis neljandat astet 1840ndatel, surudes vedelikke läbi peenikeste torude, et mõista vere liikumist.

18,92% enam raadiust on väärt kahekordset rõhku 🖖

Q on võrdeline ΔP-ga ja r-i neljanda astmega. Vooluhulga kahekordistamiseks on seega kaks teed, mille hind on väga erinev.

Võtame laminaarse vee näite: 0,5 mm raadiust, 1 m toru, 5000 Pa. Vooluhulga real on 7,351 ml/min. Tõsta rõhk 10 000 Pa peale ja saad 14,703. Alternatiivina võid jätta rõhu samaks ja suurendada raadiust 0,5946 millimeetrini (18,92% enam) ning tulemuseks on 14,702. Puuduv tuhandik on üle jääv osa tehtest 2^1/4 = 1,1892071, mille sa nelja komakoha sisestamisega ära ümardasid.

Kumb lahendus valida, ei ole enam füüsika küsimus. Trassirõhk kuulub veefirmale ning süda, mis suudaks nõudmisel oma töö kahekordistada, ei oleks see, mille pärast sa muretsed.

Re 318 404: vooluhulk, millega see leht avaneb, on väljamõeldis 🖖

See leht avaneb veega 4 mm läbimõõduga torus, mille pikkus on 10 m ja mida lükkab 2 bar rõhku. Poiseuille'i seadus annab 120,4 l/min ning selle taga olevas matemaatikas ei ole kahtlust. Selline vooluhulk tähendaks keskmist kiirust 39,9 m/s ehk jämedalt 144 km/h liikuvat vett ning Reynoldsi arvu 318 404 – see on ligi 138 korda suurem kui 2300, millest allpool seadus tegelikult kehtib.

Sellest piirist kõrgemal ei ole voolamine enam laminaarne. Energia kaob nii pööristesse kui ka viskoossesse hõõrdesse. Reaalne toru laseb 2 bar juures läbi märksa vähem kui 120,4 l/min, ent valemis pole ühtegi liiget, mis seda märkaks.

Seetõttu lähevad vooluhulga, Reynoldsi arvu ja voolamisrežiimi read punaseks, samal ajal kui graafik varjutab rohelisest alast välja kõik, mis on laiem kui 0,7732 mm. Kitsenda toru 0,77 millimeetrini ja tööriist muutub taas roheliseks: Re 2271, laminaarne – seda vastust võid uskuda. Kõik teised selle lehe eelseadistused on juba seal.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mis hinda peab maksma süda 7 sammu
10 cm pikkune arter raadiusega 2 mm kannab 200 Pa rõhulanguse juures verd (η = 3,5 × 10⁻³ Pa·s, ρ = 1060 kg/m³). Naast ahendab valendikku 30% võrra 1,4 millimeetrini. Leia järelejäänud vooluhulk ja seejärel rõhulangus, mis lükkaks kitsenenud soonest läbi esialgse vooluhulga.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Alusta tervest veresoonest ja hoia kõik SI-süsteemis. Raadius 2 × 10⁻³ m, pikkus 0,1 m, rõhkude vahe 200 Pa, vere viskoossus 3,5 × 10⁻³ Pa·s. Raadiuse neljas aste on 1,6 × 10⁻¹¹ m⁴ ning kogu avaldise väärtuseks tuleb 3,590 × 10⁻⁶ m³/s ehk 0,2154 liitrit minutis.
  
  $Q_{0} = \frac{π Δ P r _{0}^{4}}{8 η L} = \frac{π \cdot 200 \cdot ( 2 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{4}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} m^{3} /s$
2. Nüüd kitsenda seda. Pikkus, rõhk ja veri jäävad samaks, seega kahe vooluhulga suhe sõltub ainult r⁴-st ja mitte millestki muust valemis. 1,4 jagatud 2-ga on 0,7 ning 0,7⁴ on 0,2401. Valendik, mis näeb silmale endiselt peaaegu õige välja, kannab 24,01% varasemast. Vooluhulga real on kirjas 51,723 ml/min.
  
  $\frac{Q _{1}}{Q _{0}} = (\frac{r _{1}}{r _{0}})^{4} = 0. 7^{4} = 0.2401 \Rightarrow Q_{1} = 8.621 \times 1 0^{- 7} m^{3} /s = 51.723 mL/min$
3. Keskmine kiirus on see vooluhulk jaotatuna üle valendiku ristlõike. Q jagamine πr²-ga taandab neli astet kaheks ja jätab järele v̄ = ΔP r²/(8ηL). Seega langeb kiirus ruudus, vooluhulk aga neljandas astmes. Siin tuleb tulemuseks täpselt 0,140 m/s ja keskmise kiiruse rida on sellega nõus.
  
  $\overset{v}{ˉ} = \frac{Q _{1}}{π r _{1}^{2}} = \frac{Δ P r _{1}^{2}}{8 η L} = \frac{200 \cdot ( 1.4 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 0.140 m/s$
4. Enne ühegi arvu usaldamist kontrolli, kas seadusel on üldse lubatud kaasa rääkida. Poiseuille'i tuletuskäik eeldab laminaarset voolamist. Selle kontrolliks on diameetril põhinev Reynoldsi arv: 119, vastukaaluks laele 2300 juures. Voolamisrežiimi real on kirjas Laminaarne. Pane tähele, mis suunas ahenemine seda nihutas. Pane raadiuse lahtrisse tagasi 2 ja Re on 346. Vooluhulga kägistamine muutis matemaatika seega pigem kindlamaks kui ebakindlamaks.
  
  $Re = \frac{ρ v ˉ D}{η} = \frac{1060 \cdot 0.140 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 118.7 < 2300$
5. Seesama neljas aste juhib takistust. R = 8ηL/πr⁴ on rõhk, mida soon nõuab vooluhulga ühiku kohta. Hüdraulilise takistuse real on kirjas 2,32 × 10⁸ Pa·s/m³, kus terves arteris oli 5,57 × 10⁷. Nende omavaheline suhe on 4,1649, mis on ümber pööratud 0,2401.
  
  $R = \frac{8 η L}{π r ^{4}} : R_{0} = 5.57 \times 1 0^{7}, R_{1} = 2.32 \times 1 0^{8} Pa s/ m^{3}, \frac{R _{1}}{R _{0}} = \frac{1}{0.2401} = 4.1649$
6. Q = ΔP/R on ümber seatud Poiseuille'i seadus ja vereringe peab just selle järgi elama. Hoides Q tasemel 3,590 × 10⁻⁶ m³/s läbi uue takistuse, läheb see maksma ΔP = Q₀R₁ = 833 Pa. Vooluhulk sõltub rõhust lineaarselt, mistõttu rõhulangus peab kasvama täpselt samas proportsioonis takistusega: 200 × (10/7)⁴ ja (10/7)⁴ on 10 000/2401.
  
  $Δ P_{1} = Q_{0} R_{1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} \cdot 2.320 \times 1 0^{8} = 833 Pa$
7. Kontrolli vastust tema enda eelduste vastu. 833 Pa juures on keskmine kiirus kitsenenud soones 0,583 m/s ja Reynoldsi arv 494. See on endiselt kindlalt alla 2300, seega numbri andnud seadus kehtib ka olekus, mida ta ennustab. Trüki rõhu lahtrisse 833, jättes raadiuseks 1,4 mm, ja vooluhulga rida naaseb 0,22 l/min juurde, kust terve arter alustas.
  
  $\overset{v}{ˉ}_{1} = 0.583 m/s, Re_{1} = \frac{1060 \cdot 0.583 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 494 < 2300$
Vastus

833 Pa, võrreldes 200 Pa-ga, mida vajas terve soon. Nelja ja kuuendiku kordne liikumapanev rõhk, et viia samad liitrid minutis läbi 0,6 mm kitsama valendiku. Tööriist annab sulle ka teistpidise lahenduse: sisesta 0,2154 soovitud vooluhulga kasti ning vajaliku raadiuse real seisab 1,9999 mm. See ongi uuesti terve arter – kirurgi, mitte südame lahendus. Lehel ei ole midagi, mis leiaks valemist rõhu, kuid rõhk on just see pool, mille keha peab kuskilt leidma.

$Δ P_{1} = Δ P_{0} (\frac{r _{0}}{r _{1}})^{4} = 200 \cdot \frac{1 0 ^{4}}{2401} = 833 Pa$

Allikad (1)

The measurements the fourth power came out of, made by a physician looking for how blood moves: J. L. M. Poiseuille, "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres." Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France 9, 1846, pp. 433–544.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.