Darcy seadus ja põhjavee voolamine

Vali materjal ja piesomeetrilise taseme erinevus. Siis näed, kui palju vett materjali läbib, kui kiiresti see tegelikult liigub ja kus seadus enam ei kehti.

Näidisarvutus — Darcy seadus ja põhjavee voolamine

Hüdrauliline gradient	0,0010
Filtratsioonikiirus	1,000 × 10⁻⁸ m/s
Vooluhulk	1,000 × 10⁻⁸ m³/s
Kiirus poorides	2,857 × 10⁻⁸ m/s
Vesi edestab filtratsiooni	2,86×
Voolutee läbimise aeg	1109 aastat
Pooride Reynoldsi arv	1,4949 × 10⁻⁶
Suurim gradient, kus Re ≤ 1	668,9374

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Darcy seadus ja põhjavee voolamine

Darcy seadus ütleb, et vooluhulk läbi poorse keskkonna on võrdeline sellel kaotatud taseme languga ja pöördvõrdeline vahemaaga, mille jooksul see kaob: Q = K A Δh/L. Konstant K on filtratsioonimoodul, mis kuulub keskkonnale ja vedelikule ühiselt, mitte kivimile endale. Kui vedelik avaldisega k = Kμ/(ρg) tagasi välja taandada, jääb järele absoluutne läbitavus – puhtalt pooride geomeetria omadus. Seepärast tsiteeribki hüdrogeoloog sama liivakivi mõõtühikus m/s, naftainsener aga darcydes: nad mõõdavad samu poore neis voolavate erinevate vedelikega.

Eeldab: Küllastunud, stabiilne, laminaarne voolamine läbi keskkonna, mis on voolutee pikkuse skaalas ühtlane. Siinsed kuus filtratsioonimoodulit on pigem esinduslikud ümmargused numbrid kui konkreetsed mõõtmistulemused. Iga siin toodud materjal katab avaldatud tabelites vähemalt kahe suurusjärgu suuruse ulatuse, sest liiv on terasuuruse, mitte kivimi nimetus. Toodud poorsused on kogupoorsused, mis teeb arvutatud kiiruse poorides väikseimaks, mida andmed lubavad – transport järgib seotud poorsust ning see osa on palju väiksem.

324 päeva läbi kruusa, 634 miljonit aastat läbi graniidi 🖖

Vajuta nupule Liivane veekiht: üks meeter taseme langu üle ühe kilomeetri peeneteralist liiva ning läbimisaja rida näitab 1 109 aastat. Nüüd klõpsa materjalide nuppe ja jäta kõik muu samaks. Kruusas kulub sama kilomeetri läbimiseks 324,1 päeva. Aleuriit vajab 1,426 × 10⁵ aastat, savi 1,584 × 10⁷ ning pragudeta graniit 6,338 × 10⁸ aastat.

Seda kõike teeb vaid üksainus veerg. Filtratsioonimoodul ulatub kruusa 10⁻² m/s väärtusest kuni graniidi 10⁻¹² m/s väärtuseni, kattes kümme suurusjärku. Filtratsioonikiirus, tegelik kiirus poorides, läbimisaeg ja Reynoldsi arv tulenevad otseselt sellest. Henry Darcy ei otsinud seaduspära leides uut seadust. Ta ehitas Dijoni linna veevärki ja vajas teadmist, kui kiiresti tema liivafiltrid töötavad. Tulemus pandi 1856. aasta linna purskkaevude aruande lisasse.

See ulatus ongi põhjus, miks prügilainsener ja kaevupuurija kasutavad sama võrrandit, kuid ei pea omavahel kunagi rääkima. Üks neist maksab selle eest, et saada K tihendamise abil võimalikult madalaks. Teine maksab selle eest, et leida suurim K, milleni on võimalik puurida.

Vesi on filtratsioonist 2 060 aastat ees 🖖

Vajuta uuesti nupule Liivane veekiht. Läbimisaeg näitab 1 109 aastat. Selle kohal asuv Filtratsioonikiirus näitab 1,000 × 10⁻⁸ m/s ning kilomeeter jagatuna sellega annab 3 169 aastat. Mõlemad arvutused on korrektsed, aga vaid üks neist on tõeline läbimisaeg.

Filtratsioonikiirus leitakse jagades vooluhulga kogu ristlõikega, kaasa arvatud terad, seega on tegemist vooluga pinnaühiku kohta, mitte millegi tegeliku kiirusega. Suurem osa sellest ristlõikest on kvarts. Kui suruda sama vooluhulk läbi 35% suuruse pooriruumi, liigub vesi 1/n korda kiiremini. Just seda näitabki rida Vesi edestab filtratsiooni. See ütleb siin 2,86 ja 2,86 on täpselt nende kahe läbimisaja suhe.

Suurim erinevus ei teki seal, kus võiksid arvata. Kruusal on viiest settest madalaim poorsus 0,28, seega liigub vesi seal filtratsioonist 3,57 korda kiiremini. Savi, mis mahutab enim vett poorsusega 0,50, kiirendab liikumist vaid kaks korda. Äärmuslik näide on graniit, kus 2% poorsus paneb selle vähese vee liikuma viiskümmend korda kiiremini, kui filtratsioonikiirus eeldab.

Siin esitatud läbimisaeg on meelega hiline hinnang. Ainete transport järgib ühendatud pooriruumi, mitte kogupoorsust. Savis on suur osa veest seotud mineraalide pindadega ega liigu kunagi. Nesorbeeruv märgistusaine, näiteks kloriid, jõuab pärale varem, kui siinne leht väidab. Savi külge kleepuva ainega võib minna aastakümneid kauem ning kumbagi parandust pole siin arvutatud.

Kruusadreen, mille lang on üks kahekümnele, jääb seaduse alt juba välja 🖖

Vajuta nupule Kruusadreen: üks meeter langu kahekümne meetri puhta kruusa kohta, mis iseloomustab täiesti tavalist dreeni. Reynoldsi rida näitab 4,9830 lubatud piiri 1 vastu ning parempoolne paneel varjutab kõik alad peale gradiendi, kus see lagi langeb.

Darcy seadus on lineaarne ja selle lineaarsuse eeldusel on oma hind. Asendades q = Ki avaldisse Re = ρqd/μ, saame Re(i) = ρKdi/μ, mis on i suhtes lineaarne. Seega saab gradiendi, mille juures mis tahes piirini jõutakse, kohe kirja panna, mitte seda otsida: i_max = Re_maxμ/(ρKd). Selle kruusa kohta ütleb rida 0,0100 ehk langu üks meeter saja kohta. Lase samal meetril langusel mõjuda 100 m peal ja Re on 0,9966, püsides napilt piirides. Üle 20 m on see 4,9830. Üle 1 m aga 99,6605.

Kruus on kuuest materjalist ainus, mille lagi asub gradiendil, mida päriselt ka ehitatakse. Jämedateraline liiv jõuab piirini Re = 1 gradiendi 2,0068 juures, mida kohtab pigem laborikolonnis kui veekihis; peeneteraline liiv väärtusel 668,9374 ning savi 5,0170 × 10⁸ juures. Viimase ainsaks mõistlikuks tõlgenduseks on tõsiasi, et savi puhul kehtib Darcy seadus alati.

Pärast lae ületamist kasvab vooluhulk koos gradiendiga edasi, kuid enam mitte võrdeliselt, sest inerts poorides hakkab survet enda kanda võtma — sama survet, mis seni kulus vaid viskoossele takistusele. Seega on siinsel lehel kruusadreeni kohta toodud vooluhulk liiga suur. Forchheimeri võrrand lisab Darcy lineaarliikmele ruutliikme ning just seda kuivendusinsener tegelikult kasutab.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mis pääseb läbi prügila saviekraani 7 sammu
Prügilal on 600 mm tihendatud saviekraan: filtratsioonimoodul on 10⁻⁹ m/s, poorsus 0,50. Kogumissüsteem hoiab selle peal 300 mm nõrgvett ning ekraani aluspõhi dreenib vabalt. Leia, kui kaua võtab veel aega savi läbimine, ja seejärel leia, kui palju vett väljub ühelt hektarilt kolmekümneaastase eluea jooksul.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Lahendus sõltub gradiendi õigest leidmisest. Piesomeetriline tase on kõrguse ja rõhu summa, seega mõõda mõlemat ekraani aluspõhjast. Nõrgvee ülapind asub nulltasemest 0,6 m savi pluss 0,3 m vedeliku võrra kõrgemal, mis teeb tasemeks 0,9 m. Aluspõhi dreenib vabalt atmosfäärirõhul, mis tähendab nulli. Seega kaob 0,6 m pikkusel teekonnal 0,9 m rõhulangu. Kui kirjutad selle asemel 0,3 jagatuna 0,6-ga, oled arvestanud vaid vedelikku ja visanud minema savis endas seisva vee kaalu, mis aga moodustab liikumapanevast jõust kaks kolmandikku.
  
  $i = \frac{Δ h}{L} = \frac{0 . 3 + 0 . 6}{0 . 6} = \frac{0 . 9 m}{0 . 6 m} = 1.5$
2. Darcy seadus filtratsioonikiiruse kujul: korruta filtratsioonimoodul gradiendiga. Filtratsioonikiirus näitab 1,500 × 10⁻⁹ m/s. See on arv, mida keegi ei suuda ette kujutada, seega teisenda see aastatesse. Korrutades väärtusega 3,15576 × 10⁷ sekundit, saame igalt ruutmeetrilt 0,047336 m vett aastas ehk 47,34 liitrit ruutmeetri kohta aastas. Järelevalveasutus paneb nõuded kirja filtratsioonimoodulina; siin on näha, mida need nõuded tegelikkuses tähendavad.
  
  $q = K i = 1 0^{- 9} \cdot 1.5 = 1.500 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1} ⟹ q \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 0.047336 m y r^{- 1} = 47.34 L m^{- 2} y r^{- 1}$
3. See filtratsioonikiirus pole tegelik kiirus. Vooluhulk on jagatud kogu ruutmeetriga, kaasa arvatud tahke osaga, ning pool nii poorsest savist on tahkis. Vesi surutakse läbi poore täitva poole ja see liigub filtratsioonist kaks korda kiiremini. Kiirus poorides näitab 3,000 × 10⁻⁹ m/s ning selle all olev rida näitab 2,00×. Savil on see tegur siinse lehe materjalidest väikseim, sest sellel on kõige rohkem pooriruumi, millele sama vooluhulk jaotub.
  
  $v = \frac{q}{n} = \frac{1 . 500 \times 1 0 ^{- 9}}{0 . 50} = 3.000 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1}, \frac{v}{q} = \frac{1}{n} = 2.00$
4. Nüüd läbimine. Kuussada millimeetrit kiirusega 3 × 10⁻⁹ m sekundis on 2 × 10⁸ sekundit ning Voolutee läbimise aeg muudab selle väärtuseks 6,34 aastat. Kui kasutad kiiruse poorides asemel filtratsioonikiirust, saad vastuseks 12,68 aastat. See on täpselt sama viga mis varem ja annab täpselt kahekordse vastuse.
  
  $t = \frac{L}{v} = \frac{0 . 6}{3 . 000 \times 1 0 ^{- 9}} = 2.000 \times 1 0^{8} s = 6.34 yr$
5. Küsi, kas seadusel oli õigus vastata, sest vastuse annab see niikuinii. Pooride Reynoldsi arv põhineb filtratsioonikiirusel ja tüüpilisel tera läbimõõdul, mis savi puhul on 2 × 10⁻⁶ m. Tulemuseks on 2,9898 × 10⁻⁹, piiranguks on aga 1. Gradient, mis selle laeni jõuaks, on 5,0170 × 10⁸: viissada miljonit meetrit langu ühe meetri ekraani kohta. Mitte miski, mida siin lehel saad saviga teha, ei vii seda Darcy seaduse alt välja.
  
  $Re = \frac{ρ q d}{μ} = \frac{998 . 2 \cdot 1 . 500 \times 1 0 ^{- 9} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6}}{1 . 0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.9898 \times 1 0^{- 9} ≪ 1$
6. Vaheta täitematerjali ja jäta kõik muu samaks. Sama 600 mm sama 0,9 m taseme langu all, täidetuna iga lehel pakutava materjaliga, annab alltoodud veeru. Aleuriit on savist ühe astme võrra jämedam, kuid siiski ei nimetaks keegi seda hästi läbitavaks, ning vesi läbib selle kolme nädalaga. Nende kahe filtratsioonimooduli suhe on täpselt sada. Läbimisaja suhe on 111, lisanduv kümnendik tuleneb sellest, et savi hoiab kuupmeetri kohta rohkem vett, mida tuleb läbi suruda. Kruus saab hakkama üheteistkümne sekundiga, tehes seda väärtusel Re = 149,49, kus see number enam midagi ei tähenda.
  
  $fill gravel coarse sand fine sand silt clay granite q (m s^{- 1}) 1.50 \times 1 0^{- 2} 7.50 \times 1 0^{- 4} 1.50 \times 1 0^{- 5} 1.50 \times 1 0^{- 7} 1.50 \times 1 0^{- 9} 1.50 \times 1 0^{- 12} t 11.2 s 4.3 min 3.9 h 20.8 d 6.34 yr 254 yr Re 149.49 0.747 2.24 \times 1 0^{- 3} 2.99 \times 1 0^{- 6} 2.99 \times 1 0^{- 9} 1.49 \times 1 0^{- 12}$
7. Leht on nüüdseks öelnud kõik, mida suudab, kuid projekteerijal pole ikka veel numbrit. Filtratsioonikiirus on antud ruutmeetri kohta, aga prügila ei koosne ühest ruutmeetrist. Üks hektar seda ekraani on 10⁴ m², seega läbib seda 1,5 × 10⁻⁵ m³ vett igas sekundis, 473,4 m³ aastas ja 14 200 m³ kolmekümneaastase eluea jooksul. See on peaaegu kuus olümpiabasseini täit nõrgvett, mis saabub läbi täpselt nõuete kohaselt toimiva ekraani.
  
  $V = q A t = 1.500 \times 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{4} \cdot 30 \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 1.42 \times 1 0^{4} m^{3}$
Vastus

Vesi läbib 600 mm ekraani 6,34 aastaga ning ühelt hektarilt eraldub kolmekümne aasta jooksul 14 200 m³ vett. Kumbki arv ei tähenda läbikukkumist. Ekraan vastab viimse kui numbrini oma nõuetele ning 47 liitrit ruutmeetri kohta aastas on see, mida antud nõue tegelikult tähendab, kui keegi selle inimesele hoomatavasse ühikusse teisendab.

Küll aga ei pea arvutused vastu taseme langu muutmisele. Pane ekraanile 0,3 m asemel 3 m nõrgvett, nagu juhtub ummistunud kogumiskihi korral, ja gradient kasvab 1,5 pealt 6 peale. Filtratsioonikiirus on gradiendiga lineaarne, seega iga eeltoodud arv korrutub neljaga: 6,34 aastast saab 1,58 ning kolmekümne aasta mahuks kujuneb 56 800 m³. Regulatsioonis nõutud 300 mm piirang polegi tegelikult käsk ekraani enda kohta. Kui savi on juba maas, on taseme lang ainus tegur võrrandis, mida kellelgi on veel võimalik muuta.

$Δ h : 0.9 \to 3.6 m ⟹ i : 1.5 \to 6, t = \frac{6 . 34}{4} = 1.58 yr, V = 4 V_{0} = 5.68 \times 1 0^{4} m^{3}$

Allikad (3)

The experiment itself, in an appendix to a report about a city's water supply: H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris, 1856.
Where the conductivity and porosity ranges for real materials are compiled: R. A. Freeze and J. A. Cherry, Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1979.
The Reynolds-number convention used here, and where the linear law stops: J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York, 1972. Reprinted by Dover, 1988.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.