Laetud osakesed magnetväljas

Vali osake, seda kiirendanud pinge ning magnetvälja tugevus. See leht arvutab välja osakese trajektoori, relatiivsusest tuleneva tegeliku ringiaja ja näitab, kuidas samad tingimused mõjutavad viit muud osakest.

Näidisarvutus — Laetud osakesed magnetväljas

Seisuenergia	938,272 MeV
Kineetiline energia pingest	10,00 keV
Lorentzi tegur γ	1,000011
Kiirus	1,384×10⁶ m/s
Impulss	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Ringjoone raadius	9,633 mm
Ringiaeg relatiivsuseta	43,73 ns
Ringiaeg	43,73 ns

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Laetud osakesed magnetväljas

Kiirusega v magnetväljas B liikuv laeng q tunneb Lorentzi jõu magnetilist osa F = q v × B. See on alati risti nii kiiruse kui ka väljaga. Kui need kaks on risti, on jõu suurus qvB. Liikumisega alati risti olev jõud tööd ei tee. Kiirus jääb seega muutumatuks, muutub vaid suund ning trajektoor on ringjoon. Selle raadius r = p/(|q|B) on impulsi suhe laengu ja välja korrutisse ning üks ring võtab aega T = 2πγm/(|q|B). Valguse kiirusest palju aeglasematel osakestel on γ väärtuseks 1 pika komakohtade reani ja ringiaeg ei sõltu kiirusest üldse. Selle pöördväärtus qB/(2πm) on tsüklotroni sagedus.

Mida iga sümbol tähendab

q: osakese laeng kulonites. See on täisarv elementaarlaenguid e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Laengu märk määrab tiirlemise suuna
B: magnetväli teslades, osakese teekonnal igal pool ühesugune
r: ringjoone raadius. Selle määrab impulss, mitte ainuüksi kiirus või energia
T_0: ringiaeg ilma relatiivsuseta, 2πm/(|q|B)
γ: Lorentzi tegur, 1 + K/(mc²). Tegelik ringiaeg on γT₀

Eeldab: Väli on ühtlane ja püsiv ning osake liigub sellega täpselt risti. Välja sihiga paralleelset kiiruskomponenti väli ei mõjuta ja siis saaks ringist heeliks. Valitseb vaakum ja miski ei pidurda osakest. Eeldatakse, et osake ei kiirga energiat, kuigi tiirlev laeng seda teeb. Elektroni eelseadistuse korral jääb ühe ringi kiiratud energia alla miljondiku elektronvoldi. Tugevas väljas ja gigaelektronvoltides mõõdetavate energiate juures muutub see aga tõsiseks kadumiks. Seetõttu peavad elektronide sünkrotronid energiat pidevalt juurde andma. Uraani ioonid on ühekordselt laetud aatomid, mille mass võrdub aatommassiga miinus ühe elektroni mass.
Ei kehti, kui: Relatiivsus on sisse ehitatud ja kiire osake ei tee lehte katki. Probleem tekib hoopis magnetiga. Tõeline väli nõrgeneb servade suunas. Tsüklotronis tuleb välja kujundada nii kiire fokuseerimiseks kui ka resonantsi hoidmiseks. Just see oli Rose'i 1938. aasta artikli teema. Töötavas tsüklotronis lisab pilus olev elektriväli energiat iga poole ringi tagant, mistõttu tegelik trajektoor ei ole üksik ring, vaid kasvava raadiusega poolringidest koosnev spiraal. Suur hulk ioone samas kimpus tõukuvad üksteisest eemale ja hajutavad kiirt. See probleem oli piisavalt tõsine, et jõuda William Parkinsi sõjaaegse kalutroni ülevaate pealkirja.

Kaks korda kiirem, kaks korda suurem ring, ikka seesama 43,73 ns 🖖

Vajuta Prooton, 10 kV ja seejärel Prooton, 40 kV. Neli korda suurema energia korral kiirus kahekordistub ning koos sellega ka ringi raadius: 9,633 mm asemel 19,27 mm. Täisring võtab mõlemal juhul 43,73 ns. Kiirus taandub välja: raadius on mv/(qB) ja tiirlemisperiood 2πr/v, seega jääb järele 2πm/(qB), milles v enam ei esine. Sellele taandumisele tugineb Ernest Lawrence'i ja Stanley Livingstoni 1932. aasta artikkel tsüklotronist. Et kiirem prooton ei läbi poolringi lühema ajaga, saab kahe õõneselektroodi vahelisele pilule rakendada ühe kindla sagedusega kõrgsageduspinget. Nii saab prooton iga kord õigel hetkel uue tõuke ja liigub spiraalselt väljapoole. Lawrence ja Livingston tekitasid sel viisil 1,22 MeV prootoneid torus, millele rakendati kõige rohkem 4 000 V. Kolme orbiidiga paneelil tähistavad täpid iga klassikalise tiirlemisperioodi veerandit. Nende energiate juures asuvad kõigi kolme ringi täpid samal neljal kiirel.

20 MeV prooton hilineb 2,132% ning püsiv sagedus ei suuda sellega sammu pidada 🖖

Täpne ringiaeg on 2πγm/(qB) ja γ kasvab koos energiaga. Eelseadistusel Prooton, 20 MV on γ = 1,021316. Seega kulub ringiks 43,73 asemel 44,66 ns, ent osakest kiirendav raadiosagedus on endiselt häälestatud aeglasele prootonile. Iga ringiga jõuab see pilusse veidi hiljem. Viivitus koguneb, kuni prooton saabub hetkel, mil väli on suunatud valepidi. Elektroni puhul on see kasulik vahemik imeväike. Vali pingeks 20 kV ja selle ringiaeg on juba 3,914% pikem. Valik Elektron, 1 MV annab γ = 2,956951, mis teeb ringiaja peaaegu kolm korda pikemaks algväärtusest. Teine joonis näitab nelja osakese suhet T ÷ T₀. Iga kõver pöörab üles, kui kineetiline energia jõuab mõne protsendini seisuenergiast. Elektroni jaoks on see kümnetes kiloelektronvoltides ja prootonile kümnetes megaelektronvoltides. M. E. Rose arvutas 1938. aastal välja, et 50 kV elektroodipinge ja hoolikalt kujundatud magnetväljaga suudaks püsiva sagedusega tsüklotron kiirendada prootonid 13,9 MeV tasemeni. Keerukama väljaga ulatuks piir 14,9 MeV juurde. Allpool toodud lahendatud ülesanne hindab seda piiri lihtsamalt ja näitab, miks see kasvab vaid võrdeliselt pinge ruutjuurega.

Uraan-238 on 1,28% raskem ja selle ring vaid 0,638% laiem 🖖

Sama pinge läbinud osakesed saavad laenguühiku kohta võrdse energia. Aeglase osakese impulss on √(2mK). Sama laengu korral sõltub raadius seega massi ruutjuurest. Uraan-235, 35 kV tiirleb 1,2145 m raadiusel. Kõrvalasuvas tabelis teeb uraan-238 massiga 238,0502 u (võrreldes 235,0434 u) ringi 1,2223 m raadiusel. Mass on 1,28% suurem, raadius 1,00638 korda laiem. Seadmes, mis painutab kiire poolringi kujuliselt kogujasse, maanduvad kaks isotoopi teineteisest 15,5 mm kaugusel. See vahemaa on kahekordne raadiuste erinevus. Just nii väikese eraldatuse magnet neil seadistustel annabki. Samal meetodil töötasid sõjaaegsed kalutronid uraan-235 eraldamisel.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui kaugele suudab püsiva sagedusega tsüklotron prootoni kiirendada? 6 sammu
Tsüklotronil on 1,5 T magnet ning 0,5 m raadiusega õõnsad elektroodid ja iga ring annab prootonile 100 keV. Leia vajalik raadiosagedus ja servani jõudva prootoni energia. Uuri välja, kas püsiv sagedus viib osakese nii kaugele. Esimese sammu kontrollimiseks vajuta Prooton, 10 kV.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Sagedus on aeglase prootoni tsüklotronsagedus, mille leht kuvab 10 kV juures:
  
  $f_{0} = \frac{q B}{2 π m} = \frac{1 . 602177 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 . 5}{2 π \times 1 . 672622 \times 1 0 ^{- 27}} = 22.87 MHz T_{0} = 43.73 ns$
2. Servas on raadius 0,5 m ja seega on impulss qBR. Kujul pc kirjapanduna on see energia:
  
  $p c = q B R c = 1.602177 \times 1 0^{- 19} \times 1.5 \times 0.5 \times 2.997925 \times 1 0^{8} J = 224.84 MeV$
3. Kineetiline energia on koguenergia miinus seisuenergia. Relatiivsuse arvestamata jätmine annaks 26,94 MeV, mis on 1,4% liiga palju:
  
  $K = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2} - m c^{2} = 224.8 4^{2} + 938.2 7^{2} - 938.27 = 26.56 MeV \frac{( p c ) ^{2}}{2 m c ^{2}} = 26.94 MeV$
4. Selle energia juures on γ väärtus 1,028312. Ring servas võtab 2,83% kauem aega kui keskel:
  
  $γ = 1 + \frac{26 . 56}{938 . 27} = 1.028312 \Rightarrow T_{rim} = 1.028312 T_{0}$
5. Iga ringiga 100 keV kogudes vajab prooton sinna jõudmiseks 266 ringi. Ringil k on hilinemine γ − 1 = kΔE/mc² väljendatuna ringiaja osana. Need viivitused liituvad. Servani jõudmise ajaks teeks see kokku 3,78 raadiosageduse täistsüklit:
  
  $n = \frac{26 . 56}{0 . 1} \approx 266 k = 1 \sum n \frac{k Δ E}{m c ^{2}} = \frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{0 . 1}{938 . 27} \times \frac{266 \times 267}{2} = 3.78$
6. Osakest lükatakse edasi vaid siis, kui pilu väli osutab õigesse suunda. See kestab pool iga tsükli ajast. Seega lõppeb energia kogunemine siis, kui hilinemine ulatub poole tsüklini ehk faasini π:
  
  $\frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow n (n + 1) = \frac{938 . 27}{0 . 1} = 9383 \Rightarrow n = 97, K = 9.7 MeV \approx m c^{2} Δ E = 9.69 MeV$
Vastus

Magnet suudab hoida servas 26,56 MeV prootonit. Püsiv sagedus kiirendab osakese 100 keV sammuga ligikaudu 9,7 MeV tasemeni, kusjuures seejärel läheb prooton rütmist välja. Neljakordistades ringil antava energia 400 keV peale, kasvab piir vaid kahekordseks 19,2 MeV juurde. Põhjuseks on ruutjuureline sõltuvus √(mc²·ΔE). Selline hinnang annab igale ringile täies mahus 100 keV, mis on pigem helde. Rose'i 1938. aasta arvutus saavutas kujundatud väljas 50 kV elektroodipingega 13,9 MeV, toetudes samale ruutjuure seadusele. Kaugemale jõudnud masinad langetavad prootoni energia kasvades sagedust. See samm toob tagasi püsiva sageduse poolt välja jäetud teguri γ.

$K_{m a x} \approx m c^{2} Δ E : Δ E = 100 keV \Rightarrow 9.7 MeV, Δ E = 400 keV \Rightarrow 19.2 MeV$

Allikad (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.