Fermat' printsiip: vetelpäästja probleem

Aseta vetelpäästja liivale ja ujuja vette. Määra vetelpäästja jooksu- ja ujumiskiirus ning vali vette sisenemise koht. Kolm teekonda stardivad koos: sinu rada, sirgjoon ja kiireim rada, mille leht suudab leida. Lohista oranži punkti piki veepiiri ja jälgi, kuidas aeg muutub ning kui vähe see kõvera põhja lähedal muutub.

Näidisarvutus — Fermat' printsiip: vetelpäästja probleem

Sinu teekond: jookse, siis uju	22,90 s
Kiireim sisenemispunkt	36,18 m
Kiireim aeg	19,48 s
Sinu sisenemispunkti ajakadu	3,417 s
Selle ajakao hinnang parabooli põhjal	4,242 s
Sirgjoon vetelpäästjast ujujani	22,90 s
Sirgjoon on kiireimast aeglasem	17,54%
Sirgjoone ja kiireima teekonna pikkus	56,57 m ja 61,70 m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Fermat' printsiip: vetelpäästja probleem

Fermat' printsiip: valgus levib kahe punkti vahel mööda teekonda, mille läbimise aeg on statsionaarne. See tähendab, et väike muutus teekonnas ei põhjusta ajas esimest järku muutust. Vetelpäästja puhul, kes jookseb kiirusega v₁ ja ujub kiirusega v₂, on x sisenemispunkti kaudu liikumise koguaeg T(x) = √(x² + a²)/v₁ + √((L − x)² + b²)/v₂. Selle miinimum asub seal, kus sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂. Nurgad mõõdetakse veepiiriga risti olevast sirgest. Valguse puhul muudab v = c/n selle Snelli seaduseks, n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂.

Mida iga sümbol tähendab

x: koht piki veepiiri, kus teekond seda lõikab
v_1: kiirus liival
v_2: kiirus vees
θ: nurk teekonna lõigu ja veepiiriga risti oleva sirge vahel
T″: aja teine tuletis parimas punktis; Δ suurune möödalask maksab umbes ½T″Δ²

Eeldab: Sirgjoonelised jooksud püsiva kiirusega mõlemal pool teravat veepiiri. Pööramisel ega vette sisenemisel ei kaotata aega ning ujuja püsib paigal. Pennings loetleb Elvise jaoks samad eeldused. Ta lisab, et lained hägustavad piiri ja korgi jookseb enne ujumist natuke maad vette.

Lühim teekond on aeglane ja ilmne alternatiiv on peaaegu täiuslik 🖖

Vajuta nupule Otse ujuja poole. Sirgjoon on 56,57 m pikk ja võtab 22,90 s, sest pool sellest ujutakse kiirusega 1,5 m/s. Kiireim teekond on 5,13 m pikem ja võtab 19,48 s. See läbib 41,34 m liival ja vaid 20,36 m vees. Nüüd vajuta Uju nii vähe kui saab. Jooksmine ujujale lähima punktini ja otse välja ujumine võtab 19,72 s. See jääb kiireimast rajast 0,242 s maha. Seda reeglit suudab igaüks järgida ilma arvutusteta. See toimib antud juhul, sest see vetelpäästja jookseb 4,7 korda kiiremini kui ujub. Sea kaks kiirust võrdseks ja sama reegel kaotab sirgjoonele 5,435 s.

Parima punkti lähedal aeg peaaegu ei muutu 🖖

Lohista oranži punkti ja jälgi teist paneeli. Selle põhi on lame. Kui siseneda parimast punktist 1 m varem, on ajakadu 16,1 ms, 2 m varem 63,6 ms ja 10 m varem 1,43 s. Punktist möödudes on ajakadu vastavalt 16,3 ms ja 1,67 s. Kümnekordne eksimus tähendab 89 kuni 102 korda suuremat ajakadu. Aeg kasvab ju võrdeliselt eksimuse ruuduga ning lineaarliige puudub. Katkendliku joonega tähistatud parabool, ½T″Δ², ongi see ruut ning graafiku põhja lähedal kattub ta tõelise kõveraga. Just nii sõnastavad füüsikud Fermat' printsiibi. Valgus valib teekonna, mille väikesel muutmisel esimese järgu muutust liikumisajas ei teki. Parim sisenemispunkt asub seal, kus tõus dT/dx on null. See taandub kujule sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂ ning tulemuste tabelis langevad sin θ₁ / sin θ₂ ja v₁ / v₂ nelja komakoha täpsusega kokku. Asendades kiirused murdumisnäitajatega, saamegi Snelli seaduse.

Mõõdetud korgi Michigani järvel 🖖

Aastal 2003 mõõtis matemaatik Tim Pennings oma kõmri korgi Elvise jooksukiiruseks 6,40 m/s ja ujumiskiiruseks 0,910 m/s. Loopides kolme tunni jooksul Michigani järve palli, registreeris ta 35 toomist. Iga kord märkis ta üles koha, kus koer vette hüppas. Kui lugeda alguseks veepiiri, asub kiireim sisenemispunkt palliga kohakuti olevast punktist 0,144 palli kaldakauguse võrra varem. Seda tingimusel, et pall asub piki randa vähemalt sama kaugel. Kolmas paneel kõrvutab 35 toomist selle sirgega. Neist 23 asuvad sirgest kõrgemal. Seega oli Elvisel kalduvus hüpata vette pisut liiga vara ja neile punktidele sobitatud sirge tõus on 0,171. Neli punkti asuvad sirgest tunduvalt kõrgemal. Penningsi sõnul jätaksid mõned lugejad need hälvetena kõrvale. Vaata nüüd varjutatud ala. See tähistab kõiki sisenemispunkte, mille ajakadu on alla kümnendiku sekundi. Kõik 35 asuvad selle sees. 15 m distantsil tekitas halvim vise 94,4 ms ning mediaanvise 5,7 ms ajakao. Pennings järeldas, et Elvis ei tunne matemaatilist analüüsi. Seda polnudki vaja, sest põhi on lame.

Ülesanne täielikult lahendatud

Rand pehme liiva ribaga 5 sammu
Esimese eelseadistuse vetelpäästjal on nüüd ületada 10 m pehmet kuiva liiva, kus ta jookseb vaid 4 m/s. Sellele järgneb 10 m kõva liiva kiirusega 7 m/s ja seejärel vesi. Ujuja asub endiselt 20 m kaugusel vees ja 40 m piki randa ning ujumise kiirus on ikka 1,5 m/s. Milline on nüüd kiireim aeg ja millise ajakao toob kaasa vana teekonna läbimine uuel rannal? Vajuta nupule Otse ujuja poole, et kontrollida esimest sammu.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Ilma pehme ribata leiab leht parima sisenemispunkti ja parima aja:
  
  $x^{*} = 36.18 m, T^{*} = \frac{41 . 34}{7} + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 19.48 s$
2. Kolme riba korral paindub kiireim teekond mõlemal piiril. Tõusu tingimusest saab üks iga riba jaoks ühine arv, c = sin θ / v. Iga h sügavusega riba läbitakse piki randa vahemaa h tan θ võrra ning need kolm ületust peavad andma kokku 40 m piki randa. Lahendades c suhtes:
  
  $i \sum h_{i} tan θ_{i} = 10 tan θ_{s} + 10 tan θ_{f} + 20 tan θ_{w} = 40, sin θ_{i} = c v_{i} \Rightarrow c = 0.13526 s/m$
3. See annab nurga igas ribas, mõõdetuna piiridega risti olevast sirgest:
  
  $θ_{s} = arcsin (4 c) = 32.7 5^{\circ}, θ_{f} = arcsin (7 c) = 71.2 3^{\circ}, θ_{w} = arcsin (1.5 c) = 11.7 1^{\circ}$
4. Iga lõik on pikkusega h / cos θ ja selle aeg on pikkuse ja kiiruse jagatis:
  
  $T = \frac{11 . 89}{4} + \frac{31 . 08}{7} + \frac{20 . 425}{1 . 5} = 2.97 + 4.44 + 13.62 = 21.03 s$
5. Vana teekond läbib endise sisenemispunkti 36,18 m peal sirge jooksuga üle mõlemat tüüpi liiva ning veedab poole jooksust pehmel ribal:
  
  $T_{0} = \frac{41 . 34}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{7}) + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 21.69 s$
Vastus

Kiireim teekond võtab 21,03 s. See läbib pehme liiva järsult, risti suunast 32,75° nurga all, läbib suurema osa teest kõval liival 71,23° nurga all ning siseneb vette 35,86 m peal. Vana teekond võtab uuel rannal 21,69 s. Pehme riba eiramine maksab seega 0,67 s, mis on palju rohkem kui ühemeetrise möödalasu 16 ms vanal rannal. Sirgjoon võtab nüüd 24,41 s. Reegel, mis kogu töö ära teeb, on sama, mida järgib valgus klaasikihte läbides: sin θ / v on igas kihis sama.

$T^{*} = 21.03 s, x^{*} = 40 - 4.14 = 35.86 m; T_{0} - T^{*} = 0.67 s; T_{s} = 24.41 s$

Õpitee

Vähim aeg, vähim mõju

Allikad (2)

Elvis the corgi: his running and swimming speeds, the optimal entry point y = x/√((r/s)² − 1) that does not depend on the distance along the beach, and the 35 measured retrieves this page plots: T. J. Pennings, "Do Dogs Know Calculus?", The College Mathematics Journal 34(3), 178–182 (2003).
Fermat's principle in its modern form, that a small change in the path makes no first-order change in the time; the lifeguard as Feynman's illustration of it; and why the stationary path is the one the light takes, from the phases of neighbouring paths: M. Fowler, "Fermat's Principle of Least Time", lecture 3 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.