Brahhistokroon: kiireim laskumine

Valige, kui kaugel ja kui sügaval asub sihtpunkt, ning lohistage oranži pidemet, et joonistada oma kaldpind. Neli helmest lastakse korraga lahti: sirgel kaldpinnal, Galilei ringjoonel, tsükloidil ja teie kõveral. Hõõrdumist ei ole. Jälgige, milline neist jõuab esimesena kohale, ja lugege altpoolt, miks see nii on.

Näidisarvutus — Brahhistokroon: kiireim laskumine

Sirge kaldpind: aeg	0,6387 s
Tsükloidi veereva ringi raadius	0,5729 m
Tsükloid: aeg	0,5830 s
Galilei kaar (madalaim punkt sihil): aeg	0,5921 s
Teie kõver: aeg	0,5847 s
Kaldpind on tsükloidist aeglasem	9,55%
Kui palju langeb tsükloid sihtpunktist allapoole	0,000 m
Piki tsükloidi on sin θ / v kõikjal	0,2109 s/m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Brahhistokroon: kiireim laskumine

Brahhistokroon (kreeka keeles lühim aeg) on kõver, mida pidi hõõrdevabalt raskusjõu mõjul paigalt libisev helmes jõuab ühest punktist madalamasse kõige kiiremini. See on tsükloid x = R(φ − sin φ), y = R(1 − cos φ) (y on mõõdetud allapoole). See on stardijoonel veereva ja sihtpunkti läbiva ringi (raadiusega R) servapunkti trajektoor. Selle aeg on φ_B √(R/g) ja piki seda kehtib sin θ / v = 1/(2√(gR)).

Mida iga sümbol tähendab

φ: kui kaugele on veerev ring pöördunud, radiaanides; sihtpunktis φ_B
R: veereva ringi raadius
θ: kaldenurk vertikaalist
v: helme kiirus, sügavusel y suvalisel hõõrdevabal rajal √(2gy)

Pikem liug võidab 🖖

Vajutage 1 m edasi, 1 m alla ja jälgige nelja helmest. Sirge kaldpind on lühim rada (1,414 m), kuid see jääb ajaga 0,6387 s viimaseks. Tsükloid on 0,060 m pikem ja jõuab kohale esimesena (0,5830 s), sest see langeb alguses järsult ning helmes liigub ülejäänud tee kiiresti. Iga helmes jõuab kohale sama kiirusega, milleks on 4,429 m/s. See on kiirus, mille 1 m langus annab igal hõõrdevabal rajal. Kuju määrab vaid selle, kui ruttu kohale jõutakse. Johann Bernoulli sõnastas selle oma 1696. aasta juuni väljakutses. Sirgjoon on küll lühim vahemaa, "kuid mitte see, mis läbitakse lühima ajaga". Galilei oli juba 1638. aastal näidanud, et ringjoone kaar edestab sirget kõõlu, ja uskus, et vastus võiks olla ring. Tema veerandring võidab siin kaldpinda, kuid mitte tsükloidi: 0,5921 s, kaotus 1,56%. Pange tähele oma oranži kõverat. See järgib tsükloidi vaid ligikaudu ja on 0,29% aeglasem. Parima teekonna lähedal muutub aeg vaevu, nagu see oli ka vetelpäästja puhul.

Piisavalt kaugel langeb kiireim tee sihtpunktist allapoole 🖖

Vajutage 4 m edasi, 1 m alla. Sihtpunkti jõudev tsükloid sukeldub nüüd 0,504 m sellest allapoole ja tõuseb siis tagasi, kuid võidab endiselt. Tsükloidi aeg on 1,2117 s, kaldpinna 1,8620 s ja Galilei kaarel 1,4847 s. Vajalikust sügavamale laskumine tundub raiskamisena, kuid sügavus annab pika külgsuunalise liikumise jaoks kiiruse. Viimase poole meetri tõusmine võtab vähem aega kui lauget nõlva pidi roomamine. Tsükloid langeb allapoole alati, kui sihtpunkti kaugus on sügavusest üle π/2 = 1,5708 korra suurem, sest ainult siis on selle veerev ring sihtpunkti jõudmise ajaks teinud enam kui pool pööret. Valiku 10 m edasi, 1 m alla korral läheb see 2,312 m sihtpunktist madalamale ja kaldpinnal kulub 115,71% rohkem aega. Sussmann ja Willems toovad välja, et Bernoulli enda 1697. aasta arutluskäigus on just siin lünk, nimelt sügavaimas punktis. Selle lünga täidab hilisem optimaalse juhtimise teooria.

Helmes allub Snelli seadusele 🖖

Bernoulli mais 1697 avaldatud lahendus ei käsitlenud helmest kui helmest. Selle kiirus sügavusel y on √(2gy) sõltumata rajast. Seetõttu kujutas ta ette valgust levimas läbi õhukesteks kihtideks jagatud keskkonna, kus kiirus kasvab sügavusega täpselt samamoodi. Kihte läbiv valgus hoiab sin θ / v igaühes samana (Snelli seadus kiiruste kaudu). Selle valguse vähima aja tee on ka helme vähima aja tee. Teine paneel kontrollib seda helme enda peal. Piki tsükloidi püsib sin θ / v ülevalt alla väärtusel 0,211 s/m. Sirgel kaldpinnal, mille nurk kunagi ei muutu, langeb see aga helme kiirenedes. Kümnendikul teekonnast on see 0,505 s/m ja üheksal kümnendikul 0,168 s/m. Reegel, mis saatis vetelpäästja vette 36,18 m juures, on sama, mis joonistab tsükloidi.

Ülesanne täielikult lahendatud

Olgu sihtpunkt nii sügaval kui soovite 4 sammu
Sihtpunkt on 4 m kaugusel, kuid selle sügavuse võite valida vabalt. Kui sügaval peaks see olema, et helmes läbiks 4 m külgsuunas vähima ajaga? Kui palju kiirem on see võrreldes 1 m sügavusel asuva sihtpunktiga? Esimese sammu kontrollimiseks vajutage 4 m edasi, 1 m alla.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kui sihtpunkt on 1 m sügavusel, annab lehekülg tsükloidi ajaks:
  
  $H = 1 m : T = φ_{B} R / g = 1.2117 s$
2. Kui sügavus on vaba, on parim sihtpunkt seal, kus tsükloid ise kulgeb horisontaalselt, ehk oma kaare põhjas. Nii läbib helmes sihtjoone otse külgsuunas liikudes. See vastab veereva ringi poolele pöördele:
  
  $\frac{d y}{d x}_{B} = 0 \Rightarrow φ_{B} = π$
3. Pool pööret veeretab ringi edasi πR võrra. Seega saame R väärtuse 4 m põhjal ning langus on ringi diameeter:
  
  $π R = 4 \Rightarrow R = \frac{4}{π} = 1.2732 m, H = 2 R = 2.5465 m$
4. ja aeg on φ_B √(R/g):
  
  $T = π \frac{1 . 2732}{9 . 80665} = \frac{4 π}{9 . 80665} = 1.1320 s$
Vastus

Pange sihtpunkt 2,5465 m sügavusele, senisest 1,5465 m sügavamale. Helmes läbib 4 m ajaga 1,1320 s. See on 0,0797 s kiirem kui 1,2117 s, mis kulus 1 m sügavusel asuva sihtpunktini jõudmiseks. Sisestage sügavuse lahtrisse 2,5465 ja lehekülg kinnitab seda: φ_B on 180,00° ning tsükloidil kulub 1,1320 s. Fowleri loengukonspektid jõuavad üldjuhul sama kujuni. Kiireim kõver antud kauguseni on horisontaalselt saabuv pooltsükloid ja selle aeg on √(πL/g).

$H = 2.5465 m, T = 1.1320 s, 1.2117 - 1.1320 = 0.0797 s$

Õpitee

Vähim aeg, vähim mõju

Allikad (2)

The history and the mathematics: Bernoulli's challenge of June 1696 and its wording, Galileo's circular arc of 1638, the solutions of 1697, Bernoulli's own solution by Snell's law in thin layers, and the gap in it where the cycloid dips below the finish: H. J. Sussmann and J. C. Willems, "300 years of optimal control: from the brachystochrone to the maximum principle", IEEE Control Systems 17(3), 32–44 (1997).
The brachistochrone derived by the calculus of variations, and the fastest curve to a given horizontal distance when the drop is free, a half-cycloid that arrives level: M. Fowler, "The Calculus of Variations", lecture 2 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.