Vähima mõju printsiip

Vali visatud pall või vedru otsas olev mass, määra liikumise kestus ning painuta tegelikku liikumist kahe liuguriga, hoides algus- ja lõpp-punkti paigal. See leht arvutab kokku mõju, mis on kineetilise ja potentsiaalse energia vahe ajas, nii tegeliku kui ka painutatud liikumise jaoks ning näitab, kumb on väiksem.

Näidisarvutus — Vähima mõju printsiip

Tegeliku liikumise mõju	67,9432 J·s
Painutatud liikumise mõju	67,9432 J·s
Paindest tingitud muutus	0,0000 J·s
Sama muutus valemist Σ cₙaₙ²	0,0000 J·s
Ühe küüruga painde kulu ruutmeetri kohta, c₁	1,2337 J·s/m²
Kahe küüruga painde kulu ruutmeetri kohta, c₂	4,9348 J·s/m²
Sirgjoone mõju samade otspunktide vahel	100,0000 J·s
Tegeliku kaare kõrgus haripunktis	4,903 m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Vähima mõju printsiip

Liikumise q(t) mõju fikseeritud otspunktide ja fikseeritud aegade vahel on S = ∫ (K − V) dt, ehk kineetiline energia miinus potentsiaalne energia ajas kokku liidetuna. Hamiltoni printsiip ütleb, et tegelik liikumine on see, mille puhul S on statsionaarne, nii et igasugune väike muutus liikumises, kui otspunktid on fikseeritud, ei tekita S-is esimest järku muutust. Kui massile m mõjub paine a sin(nπt/T) ja V = ½mω²q², siis on muutus täpselt (mT/4)((nπ/T)² − ω²) a². Ühtlase gravitatsiooni puhul, V = mgq, on see sama tingimusel ω = 0: potentsiaal, mis on q suhtes lineaarne, ei lisa sinna midagi.

Mida iga sümbol tähendab

S: mõju, ∫(K − V) dt, džaul-sekundites
aₙ: n küüruga painde suurus, aₙ sin(nπt/T)
cₙ: selle painde kulu ruutmeetri kohta, (mT/4)((nπ/T)² − ω²)
ω: vedru nurksagedus, 2π/P; ühtlase gravitatsiooni korral null

Palli kaarel on väiksem mõju kui sirgjoonel 🖖

Vajuta nupule 20 m visatud pall. Mõju on kineetilise energia ja potentsiaalse energia vahe, mis on lennu jooksul kokku liidetud: tegeliku kaare korral 67,9432 J·s. Sirgjoon samade otspunktide vahel, mis püsib kogu aeg samal kõrgusel, annab tulemuseks rohkem: 100,0000 J·s. Vajuta nupule Sama, painutatud 1 m üles: kõrgemale tõusmine lisab potentsiaalse energia osale ∫V dt täiendavalt 12,4862 J·s, kuid piisavalt kiiresti liikumine, et 2 s jooksul sinna ja tagasi jõuda, lisab kineetilisele osale ∫K dt veel 13,7199 J·s ning mõju ehk nende kahe vahe kasvab 1,2337 J·s võrra. Kui seadistada paindeks −1, on mõju taas 69,1769 J·s, suurenedes täpselt sama palju. Ükski selle muutuse osa ei ole esimest järku: see on täpselt 1,2337 korda painde ruut, nii et tegelik kaar asub kausi põhjas, täpselt nagu vetelpäästja ristumispunkt. Füüsikud nimetavad seda Hamiltoni printsiibiks ja ühtlases gravitatsioonis ei pöördu see kauss kunagi kummuli: tabelist on näha, kuidas iga paine suurendab mõju, sõltumata viske kestusest.

Vedru puhul kestab vähim mõju vaid poole perioodist 🖖

Mine üle vedrule ja vajuta Vedru 1,5 s, üks küür. Vedru periood on 2 s, seega liikumine kestab kauem kui pool perioodi. Nüüd vähendab ühe küüruga paine mõju: kui paine on 0,2 m, langeb see 0,0000 pealt tasemele −0,0822 J·s ja c₁ on −2,0562. Vajuta Vedru 1,5 s, kaks küüru ning nüüd mõju hoopis tõuseb väärtuseni 0,1151 J·s. Tegelik liikumine on madalamal kui mõned selle naabrid ja kõrgemal kui teised: tegu on sadulaga, mis on sama kujuga nagu miraažikiir kuumal maanteel. Isegi sirgjoon samade otspunktide vahel annab tulemuseks −2,1341 J·s, jäädes palju alla tegelikule liikumisele. Selle põhjuseks on tõmme tagasi keskpunkti: n küüruga painde kulu on (mT/4)((nπ/T)² − ω²) ning kui T ületab poole perioodi, langeb π/T allapoole ω-d ja esimene paine pöördub kummuli. Gray ja Taylori selleteemalise artikli pealkiri on igati asjakohaselt "Kui mõju ei ole vähim"; nad näitavad, et piisavalt lühikeste liikumiste korral on see miinimum ja mitte kunagi tõeline maksimum. Põhimõte, mis kehtib iga kestuse puhul, ütleb, et mõju on statsionaarne.

Täpselt poole perioodi juures ei maksa paine midagi 🖖

Vajuta Vedru pool perioodi. Mass liigub asukohast 1 m kaugusel asukohani 1 m teisel pool täpselt 1 s jooksul. Painuta seda ühe küüruga 0,2 m võrra ja mõju ei muutu üldse, jäädes tasemele 0,0000 J·s, ning sama kehtib igas suuruses painde korral: teises paneelis on parabool täiesti tasane. Painutatud liikumine ei ole tegeliku liikumise lähendus. See ongi tegelik liikumine: sellel vedrul 1 m kauguselt tõukega lahti lastud mass jõuab poole perioodi pärast asukohta −1 m, hoolimata tõuke tugevusest, sest periood ei sõltu võnke amplituudist. Iga taoline liikumine ühendab samad kaks otspunkti sama ajaga ja sama mõjuga. Gray ja Taylor nimetavad teist otspunkti esimese kineetiliseks fookuseks; sellest edasi, nagu näitasid 1,5 s eelhäälestused, on mõju sadul.

Ülesanne täielikult lahendatud

Läbi Maa kukkumine 4 sammu
Puuritakse sirge auk läbi ühtlase tihedusega Maa ja visatakse pall sisse. Sisemuses on gravitatsioon võrdeline kaugusega keskpunktist, mistõttu liigub pall nagu mass vedrul, kus ω² = g/R ja R = 6 371 km. Kui pika reisi korral on palli mõju veel miinimum ja kus pall sel hetkel asub? Esimese sammu kontrollimiseks vajuta Vedru 1,5 s, üks küür.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Selle lehe 2 s vedru puhul vähendab ühe küüruga paine mõju kohe, kui pool perioodi on möödunud:
  
  $P = 2 s, T = 1.5 s : c_{1} = \frac{m T}{4} (\frac{π ^{2}}{T ^{2}} - ω^{2}) = - 2.0562 J s/ m^{2}$
2. c₁ muudab märki seal, kus π/T = ω ehk poole perioodi juures:
  
  $c_{1} = 0 ⟺ \frac{π}{T} = ω ⟺ T = \frac{π}{ω} = \frac{P}{2}$
3. Tunneli jaoks, kus g = 9,80665 m/s²:
  
  $ω = \frac{g}{R} = \frac{9 . 80665}{6 , 371 , 000} = 1.2407 \times 1 0^{- 3} s^{- 1}, P = \frac{2 π}{ω} = 5064 s = 84.41 min$
4. Pool sellest on:
  
  $\frac{P}{2} = 42.20 min, x (\frac{P}{2}) = R cos π = - R$
Vastus

Palli mõju on miinimum iga reisi puhul, mis on lühem kui 42,20 minutit, ja 42,20 minutit on täpselt see aeg, mis kulub Maa ühelt küljelt teisele kukkumiseks: x = R cos ωt jõuab poole perioodi möödudes väärtuseni −R. Reisid, mis lõppevad vastasküljel, asuvad kineetilises fookuses ja pikemad tagasiteel olevad reisid on sadulad. Pall läbib keskpunkti kiirusega ωR = 7,90 km/s.

$T < 42.20 min ⟺ c_{1} > 0, v_{m a x} = ω R = 7.90 km/s$

Õpitee

Vähim aeg, vähim mõju

Allikad (2)

Whether the action of a true motion is a minimum: a minimum for short enough motions, a trough at the kinetic focus, a saddle beyond it and never a true maximum; the harmonic oscillator's kinetic focus at half a period, the formula for the change made by each Fourier bend, and no kinetic focus in uniform gravity: C. G. Gray and E. F. Taylor, "When action is not least", American Journal of Physics 75(5), 434–458 (2007).
Hamilton's principle derived from Newton's laws for a particle moving in one dimension in a given time, with the footnote that strictly the path need only be stationary: M. Fowler, "Hamilton's Least Action Principle and Noether's Theorem", lecture 4 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.