Regressioon keskmise poole

Igal inimesel on püsiv tegelik oskus, millele iga tulemus lisab juhusliku osa. Määra, kui suure osa hajuvusest annavad oskus ja juhus, vali ühe tulemuse põhjal rühm ning vaata, kuidas läheb sel rühmal järgmisel mõõtmisel. Leht arvutab täpse oodatava muutuse ja näitab seda populatsiooni simulatsiooniga. Graafikualusest tabelist näeb arvutuskäiku.

Näidisarvutus — Regressioon keskmise poole

Usaldusväärsus	0,50
Hajuvus kummalgi mõõtmisel	14,14
Lävend standardühikutes	1,2816
Lävend	118,1
Tihedus lävendil	0,1755
Millsi pöördsuhe	1,7550
Rühma keskmine valiku alusel x̄1	124,8
Rühma oodatav teine keskmine x̄2	112,4

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Regressioon keskmise poole

Kui mõõtmistulemus koosneb tegelikust oskusest ja sõltumatust juhuslikust osast, on samade inimeste kahe mõõtmise korrelatsioon r = σ_S² ÷ (σ_S² + σ_L²) ehk oskuse osa kogudispersioonist. Ühe mõõtmise äärmuslike tulemuste järgi valitud rühma oodatav tulemus teisel mõõtmisel on μ + r(x̄ − μ): rühma kaugus keskmisest korrutatakse r-iga. Seda nimetatakse regressiooniks keskmise poole. Selleks pole vaja mingit põhjust ning see toimib mõlemas suunas. Populatsiooni hajuvus ei pea vähenema ja siin jääbki see samaks.

Mida iga sümbol tähendab

r: kahe mõõtmise korrelatsioon ehk oskuse osa kogudispersioonist. 1 tähendab, et juhusel pole osa; 0 tähendab, et kõik sõltub juhusest
σ_S: tegeliku oskuse hajuvus populatsioonis
σ_L: juhusliku osa hajuvus ühel mõõtmisel
μ: populatsiooni keskmine, mille poole rühma tulemus taandub
λ: Millsi pöördsuhe: valitud rühma keskmine asub μ-st λ standardhälbe kaugusel, seega on ülemise rühma keskmine μ + σλ

Parimatel läheb järgmisel korral kehvemini, kuigi keegi ei halvenenud 🖖

Vajuta Parimad 10%, r = 0,5. Esimesel korral parima tulemuse saanud inimeste keskmine on 124,8, teisel korral aga oodatavalt 112,4. Kellegi oskus ei vähenenud. Parim 10% oli keskmiselt teistest nii osavam kui ka õnnelikum. Teisel mõõtmisel jääb oskus alles, juhuslik osa tekib uuesti. Teise tulemuse oodatav väärtus on μ + r(x̄ − μ): kui r = 0,5, säilib pool kaugusest keskmiseni. Vajuta Täielik usaldusväärsus. Siis pole juhuslikku edu, mis võiks kaduda, ja tulemus ei nihku. Valikuga Pelgalt juhus pole aga oskust, mis võiks püsida, ning rühm langeb tagasi 100-ni.

Toimeta ravi näib halvimate puhul toimivat 🖖

Vajuta Halvimad 10% ravitud. Kõige madalama tulemuse saanutel rakendatakse ravi, mille mõju on täpselt null. Järgmisel mõõtmisel on nende tulemus paranenud 12,4 punkti. Kui õpetaja, ravivõte või uus juht hakkab tegelema just nendega, kellel läks eelmisel korral kõige halvemini, näib tema mõju kontrollrühma puudumisel ligikaudu selle võrra tegelikust suurem. Daniel Kahneman kirjeldab lennuõpetajaid, kes uskusid, et kadeti peale karjumine pärast halba maandumist aitas, kiitus pärast head maandumist aga tegi tulemuse kehvemaks. Mõlemal juhul liikusid tulemused tagasi keskmise poole. Vajuta Kontrollrühmaga. Pool halvimatest saab ravi ja pool mitte. Mõlema poole tulemus paraneb umbes 12 punkti ning ravi ainus aus mõõt, rühmade erinevus, on oodatavalt null.

See toimib ka ajas tagasi, kuid keegi ei koondu keskmise juurde 🖖

Vajuta Vanema ja lapse pikkus: pikima 10% vanemate keskmine pikkus on 187,4 cm, nende laste oodatav keskmine aga 181,2. Francis Galton avaldas selle tulemuse 1886. aastal, uurides vanemate ja nende täiskasvanud laste pikkust, ning nimetas nähtust regressiooniks keskpärasuse poole. Nüüd vajuta Pikkused vastupidi ja vali pikimad lapsed. Mudelis, kus mõlema põlvkonna pikkuse hajuvus on sama, on nende vanemad oodatavalt neist sama palju lühemad. Seega ei tõmba mingi jõud inimesi aja jooksul keskmise poole. Ka hajuvus ei vähene: tabelis on kahe mõõtmise hajuvused peaaegu võrdsed, 7,09 ja 7,10 cm. Äärmuslikke inimesi asendavad igal korral teised äärmuslikud inimesed, sest juhus soosib eri inimesi.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui palju langeb parima kümnendiku tulemus 5 sammu
Testitulemuste keskmine on 100. Tegeliku oskuse hajuvus on 10 ja ühe testikorra juhusliku osa hajuvus samuti 10. Esimese testikorra parimat 10% testitakse uuesti. Leia nende esimese testikorra keskmine ja teise testikorra oodatav keskmine. Kontrollimiseks vajuta Parimad 10%, r = 0,5.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Testikordade korrelatsioon võrdub oskuse osaga kogudispersioonist. Koguhajuvus leitakse järgmiselt:
  
  $r = \frac{σ _{S}^{2}}{σ _{S}^{2} + σ _{L}^{2}} = \frac{100}{200} = 0.5, σ = 200 = 14.14$
2. Parim 10% algab 90. protsentiilist ehk 1,2816 standardhälvet üle keskmise:
  
  $z_{c} = Φ^{- 1} (0.90) = 1.2816, x_{c} = 100 + 14.14 \cdot 1.2816 = 118.1$
3. Kõigi lävendist kõrgemate tulemuste keskmine leitakse normaaljaotuse tiheduse ja sabatõenäosuse abil:
  
  $λ = \frac{φ ( z _{c} )}{1 - Φ ( z _{c} )} = \frac{0 . 1755}{0 . 10} = 1.7550, \overset{x}{ˉ}_{1} = 100 + 14.14 \cdot 1.7550 = 124.8$
4. Teisel testikorral säilib keskmisest μ vaid osa r:
  
  $\overset{x}{ˉ}_{2} = μ + r (\overset{x}{ˉ}_{1} - μ) = 100 + 0.5 \cdot 24.8 = 112.4$
5. Seega langeb rühma oodatav tulemus:
  
  $\overset{x}{ˉ}_{2} - \overset{x}{ˉ}_{1} = 112.4 - 124.8 = - 12.4$
Vastus

Parima kümnendiku keskmine on esimesel korral 124,8 ja teisel korral oodatavalt 112,4. Langus on 12,4 punkti, kuigi kellegi oskus pole muutunud. Nende tegeliku oskuse oodatav keskmine on kogu aeg 112,4. Teise testikorra tulemust ei kalluta rühma valimisel määravaks saanud juhus, sest uut tulemust ei valita sama juhuse põhjal.

$\overset{x}{ˉ}_{1} = 124.8, \overset{x}{ˉ}_{2} = 112.4$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.