Riskipreemiad ja kui kindel võid olla

Igaühel neist on positiivne keskmine. See ei ole sama mis usaldusväärne, ja vahet saab mõõta.

Näidisarvutus — Riskipreemiad ja kui kindel võid olla

Keskmine aastas	8,44%
Standardhälve	19,70%
t-statistik	4,24
Aastad, mil see tootis	66/98

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sajand andmeid on väike valim 🖖

Suuruspreemia keskmine on 98 aasta jooksul 5,92% aastas ja positiivne on see 49 aastal. Kulli ja kirja vise, mis maksab keskmiselt 5,92%, on ikkagi kulli ja kirja vise, ja standardhälve 27,48% näitab, miks: et eristada seda keskmist nullist kahe standardvea juures, kuluks ligikaudu 87 aastat, ja tähtajapreemia puhul umbes 118 — rohkem ajalugu, kui andmetes leidub. See ei ole väide, et preemiad oleksid väljamõeldis. See on väide, et neile tavaliselt omistatav kindlus on laenatud keskmise suurusest, mitte teenitud valimi suurusest.

Suurem preemia võib olla vähem kindel 🖖

Kui palju ajalugu preemia vajab, sõltub ainult selle müra ja suuruse suhtest: aseta keskmine kahte standardviga nullist kaugemale ja nõue on n ≥ (2σ/μ)². Suurus ja kindlus on seega eri küsimused ning sellel ajalool räägivad need teineteisele vastu. Krediidipreemia on keskmiselt 2,08% aastas ja vajab umbes 39 aastat; suuruspreemia on peaaegu kolm korda suurem, 5,92%, ja vajab 87 aastat. Käi need neli läbi ja nõue on 22, 39, 87, 118 aastat, samal ajal kui keskmised on 8,44%, 2,08%, 5,92%, 1,41% — samad neli preemiat kahes järjestuses, mis ei lange kokku.

Suuruspreemia oli aastate 1928–1976 nähtus 🖖

Jaga ajalugu alguse ja kestuse väljadega pooleks. Aastatel 1928–1976 lõid USA väikeettevõtted suuri 10,70% aastas; aastatel 1977–2025 oli sama preemia 1,14%, t-statistikuga 0,42 ja valimi nõudega 1 133 aastat. Pealkirja 5,92% on suure esimese poole ja hilisema peaaegu olematu preemia keskmine. Banz mõõtis seda efekti 1981. aastal, liitekoha lähedal. See tööriist ei saa sulle öelda, kas selle avaldamine kaotas preemia konkurentsiga või oli esimene pool juhus, ja seda ei saa öelda keegi teine — kuid see saab sulle öelda, et 98 aasta keskmine polnud kunagi mõlema poole kirjeldus.

Ülesanne täielikult lahendatud

8,44% aktsiariski preemia ja 19,70% standardhälve 6 sammu
Kolm kaartidelt võetud arvu määravad ära, kui kindel on aktsiate riskipreemia: 8,44% aastas, 19,70% standardhälve ja 98 aastat. Tuletage nendest kindlus — seejärel küsige küsimust tagurpidi ja leidke, kui palju ajalugu sellise kujuga preemia vajaks. See on tööriista algolek: Aktsiad (S&P 500 − 3 kuu võlakiri) kogu perioodi vältel alates 1928. aastast.
1. Mitte midagi muud turu kohta allpool ei arvestata. Ei hindade taset, ei krahhide arvu ega seda, millisel kümnendil te juhtusite alustama — keskmine, hajuvus ja arv.
  
  $μ = 8.44%, σ = 19.70%, n = 98$
2. Üks aasta on äärmiselt ebalev; 98 aasta keskmine seda ei ole ja paranemine on täpselt ruutjuur vaatluste arvust. Jagage ja paneelil Kui palju sellest on mõõtmine ja kui palju müra on sama näitaja.
  
  $SE = \frac{σ}{n} = \frac{19.70%}{9.8995} = 1.99%$
3. t-statistik on see keskmine väljendatuna tema enda määramatuse ühikutes, seega asub aktsiapreemia nelja standardvea võrra nullist eemal. Märgake, milline arv töö ära tegi: mitte 8,44% suurus, vaid 98 aastat, mis kahandasid 19,70%-lise kõikumise 1,99%-ni.
  
  $t = \frac{μ}{SE} = \frac{8.44}{1.99} = 4.24$
4. Nüüd tehke seda tagurpidi. Fikseerige lati kõrguseks kaks standardviga ja lahendage selle asemel n suhtes, ning vajalikud aastad sõltuvad ainult suhtest σ/μ. Seega suurem preemia ei ole automaatselt kindlam preemia: kahekordistage keskmist ja hajuvust koos ning nõue ei muutu. Seesama paneel kuvab tulemuseks 22.
  
  $t = 2 : n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} = (\frac{2 \times 19.70}{8.44})^{2} = 4.668 2^{2} = 21.79 \to 22$
5. Valige rippmenüüst Preemia valik Tähtaeg (10-aastane võlakiri − 3 kuu võlakiri). Keskmine langeb 1,41%-ni ja hajuvus 7,63%-ni ning vajadus hüppab 118 aastani võrreldes 98-aastase ajaloolise reaga. Tähtaja preemia ei jää latist alla mitte sellepärast, et 1,41% on väike, vaid sellepärast, et 7,63% on selle kõrval suur.
  
  $μ = 1.41%, σ = 7.63% : n_{m i n} = (\frac{2 \times 7.63}{1.41})^{2} = 10.822 7^{2} = 117.13 \to 118 > 98$
6. Viimaseks lõpetage n suhtes lahendamine. Üheksakümmend kaheksa aastat ei ole valik — see on kogu aastane ajalooline rida — seega fikseerige see ja lahendage väikseima keskmise suhtes, mis võiks lati ületada. Aktsialaadse volatiilsuse juures on see lihtsalt kahekordne standardviga.
  
  $n = 98 : μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = 2 SE = 2 \times 1.99% = 3.98%$
Vastus

1,99%-line standardviga, t = 4,24 ja 22 aastast oleks piisanud — kuid 19,70%-lise hajuvuse ja 98 aasta andmete juures ei saaks ühtegi preemiat, mille keskmine on alla 3,98% aastas, kunagi eristada nullist. See alumine piir kuulub pigem arhiivile kui strateegiale ja iga rippmenüü preemia kannab sellest oma versiooni: 2σ/√98 on ettevõtte suuruse preemiale (size) 5,55%, tähtaja preemiale (term) 1,54%, krediidipreemiale (credit) 1,30%. Pange need kõrvuti keskmistega, mida tööriist igaühe kohta esitab — 5,92%, 1,41%, 2,08% — ja olete määranud kõik neli otsust ilma ühtegi t-statistikul arvutamata, kusjuures tähtaja preemia on ainus, mis jääb alla oma piiri, ja seda 0,13 protsendipunkti võrra. Ootamine ei tee peaaegu midagi, sest alumine piir langeb nagu √n: kümme aastat lisandunud andmeid nihutab aktsiate piiri 3,98%-lt 3,79%-le ning selle poolitamine 1,99%-le võtaks 392 aastat. Tööriist arvutab, mitu aastat antud suurusega preemia vajaks. See ei arvuta kunagi väikseimat suurust, mida see ajalooline rida võiks kunagi näha, mis on number, mis otsustab ette ära, millised arutelud preemiate üle on arutelud turgude üle ja millised on arutelud müra üle.

$n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} ⟺ μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = \frac{2 \times 19.70%}{9.8995} = 3.98%$

Õpitee

Risk, mõõdetuna

Viib edasi Piirjoon, hoituna pikaajalise keskmise tootluse ümber olevate veapiiride laiuse.

Allikad (3)

The equity premium stated as a problem rather than a fact — it is too large for standard theory to explain, which is itself a reason to hold the estimate loosely: R. Mehra and E. C. Prescott, "The equity premium: A puzzle." Journal of Monetary Economics 15(2), 145–161, 1985.
The size effect, in the paper that first measured it: R. W. Banz, "The relationship between return and market value of common stocks." Journal of Financial Economics 9(1), 3–18, 1981.
And the standing warning that a mean return is measured far less precisely than it is quoted: R. C. Merton, "On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation." Journal of Financial Economics 8(4), 323–361, 1980.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-19

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

Aktsiad, kogu periood - Aktsiapreemia aastatel 1928-2025: neljast tugevaim ja ikkagi kolmandikul aastatest negatiivne.
Suurus, kogu periood - Suuruspreemia kogu perioodil — suur keskmine, mis oli positiivne vaid umbes pooltel aastatel.
Tähtaeg, kogu periood - Tähtajapreemia, mille t-statistik jääb alla 2 isegi 98 aasta andmete peal.
Aktsiad alates 1990 - Aktsiapreemia alates 1990. aastast, lühem periood ja vastavalt vähem kindel.