Fonctions trigonométriques réciproques

Saisissez x sous forme décimale, de fraction ou de racine : la page affiche l'unique angle de l'intervalle principal dont le sinus, le cosinus ou la tangente vaut x, ou vous explique pourquoi il n'en existe aucun. Vous pouvez aussi déplacer θ pour observer comment f⁻¹(f(θ)) se replie dans l'intervalle.

Arc sinus	$sin^{- 1} x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], - 1 \leq x \leq 1$
Arc cosinus	$cos^{- 1} x \in [0, π], - 1 \leq x \leq 1$
Arc tangente	$tan^{- 1} x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), x \in R$
Inverser le sinus	$sin (sin^{- 1} x) = x sin^{- 1} (sin θ) = θ ⟺ - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$

Exemple résolu — Fonctions trigonométriques réciproques

Valeur donnée	−0,5
Valeur principale, en radians	−0,5236
En degrés	−30°
cos(sin⁻¹ x), d'après le triangle	0,866

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions trigonométriques réciproques sin⁻¹ x, cos⁻¹ x et tan⁻¹ x (aussi notées arcsin, arccos et arctan) renvoient l'unique angle d'un intervalle fixe, la valeur principale, dont le sinus, le cosinus ou la tangente vaut x. Le −1 indique une fonction réciproque, et non un exposant : sin⁻¹ x n'est pas 1/sin x.

D’où vient la formule

Le sinus n'est pas injectif. Une infinité d'angles partagent le même sinus : l'expression « l'angle dont le sinus vaut ½ » ne désigne donc aucun angle précis tant que l'on n'a pas fixé de convention.
$sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = sin (- \frac{7 π}{6}) = \frac{1}{2}$
Restreindre, puis inverser. De −π/2 à π/2, le sinus monte de −1 à 1 en prenant chaque valeur une seule fois : il y admet donc une réciproque. Le cosinus est restreint à 0 ≤ y ≤ π et la tangente à −π/2 < y < π/2 pour la même raison.
$y = sin^{- 1} x ⟺ sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
La réciproque n'agit que dans un sens. L'égalité sin(sin⁻¹ x) = x vaut pour tout x admissible, mais sin⁻¹(sin θ) ne renvoie θ que si θ appartient déjà à l'intervalle. Sinon, elle renvoie l'angle de cet intervalle ayant le même sinus.
$sin (sin^{- 1} x) = x (- 1 \leq x \leq 1), sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Les composées se lisent sur un triangle rectangle. En posant y = sin⁻¹ x, on a sin y = x. Le théorème de Pythagore donne la longueur du second côté, et l'intervalle décide de son signe.
$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}$

Suppose: sin⁻¹ et cos⁻¹ n'acceptent que −1 ≤ x ≤ 1 ; tan⁻¹ accepte n'importe quel nombre réel.

Problèmes entièrement résolus

Un sinus négatif 2 étapes
Trouvez la valeur exacte de sin⁻¹(−1/2).

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La réponse doit se trouver dans l'intervalle de sin⁻¹ :
  
  $- \frac{π}{2} \leq sin^{- 1} x \leq \frac{π}{2}$
2. π/6 a pour sinus 1/2 et le sinus est impair, donc l'angle situé dans l'intervalle est −π/6 :
  
  $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$
Réponse

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. 7π/6 et 11π/6 ont le même sinus, mais se situent hors de l'intervalle.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} \approx - 0.5236$
Un cosinus négatif 2 étapes
Trouvez la valeur exacte de cos⁻¹(−√3/2).

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1. L'intervalle s'étend de 0 à π, et l'angle de référence est π/6 :
  
  $0 \leq cos^{- 1} x \leq π, cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
2. Dans cet intervalle, le cosinus n'est négatif qu'au-delà de π/2 : l'angle vaut donc π − π/6 :
  
  $cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$
Réponse

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$cos^{- 1} (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6} \approx 2.618$
Une tangente réciproque 2 étapes
Trouvez la valeur exacte de tan⁻¹(−√3).

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1. tan⁻¹ accepte tous les réels et renvoie un résultat strictement compris entre −π/2 et π/2 :
  
  $- \frac{π}{2} < tan^{- 1} x < \frac{π}{2}, x \in R$
2. tan(π/3) = √3, et la tangente est impaire :
  
  $tan \frac{π}{3} = 3 \Rightarrow tan (- \frac{π}{3}) = - 3$
Réponse

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$tan^{- 1} (- 3) = - \frac{π}{3} \approx - 1.0472$
Quelles fonctions réciproques existent 2 étapes
Parmi sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) et tan⁻¹ 1,5, lesquelles existent ? Évaluez celles qui sont définies.

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1. Le sinus et le cosinus sont les coordonnées d'un point sur le cercle trigonométrique : sin⁻¹ et cos⁻¹ n'acceptent donc que des valeurs de −1 à 1 :
  
  $sin^{- 1} x, cos^{- 1} x : - 1 \leq x \leq 1; 1.5 \in / [- 1, 1], - 1.2 \in / [- 1, 1]$
2. La tangente prend toutes les valeurs réelles, donc tan⁻¹ 1,5 existe. Comme il ne s'agit pas d'un angle remarquable, on le calcule en radians à la calculatrice :
  
  $tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828 \approx 56.309 9^{\circ}$
Réponse

Seule tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828 existe, soit environ 56,3099°. sin⁻¹ 1,5 et cos⁻¹(−1,2) ne sont pas définies.

$tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828$
Simplifier le sinus hors de l'intervalle 2 étapes
Calculez sin⁻¹(sin 5π/6).

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1. 5π/6 se situe hors de l'intervalle : la réponse n'est donc pas 5π/6 :
  
  $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{2}$
2. π − θ a le même sinus que θ, et π − 5π/6 appartient à l'intervalle :
  
  $sin (π - \frac{5 π}{6}) = sin \frac{5 π}{6}, π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
Réponse

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Simplifier le cosinus hors de l'intervalle 2 étapes
Calculez cos⁻¹(cos 4π/3).

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1. 4π/3 dépasse π et se trouve hors de l'intervalle :
  
  $\frac{4 π}{3} > π$
2. 2π − θ a le même cosinus que θ, car le cosinus est pair et de période 2π ; de plus, 2π − 4π/3 est dans l'intervalle :
  
  $cos (2 π - \frac{4 π}{3}) = cos \frac{4 π}{3}, 2 π - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3} \in [0, π]$
Réponse

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$cos^{- 1} (cos \frac{4 π}{3}) = \frac{2 π}{3}$
Une composée avec un argument négatif 3 étapes
Trouvez la valeur exacte de tan(cos⁻¹(−3/5)).

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1. Appelons y cet angle. Son cosinus vaut −3/5 : l'intervalle le situe donc au-delà de π/2 :
  
  $y = cos^{- 1} (- \frac{3}{5}) : cos y = - \frac{3}{5}, \frac{π}{2} < y \leq π$
2. Le sinus y est positif, donc d'après sin²y + cos²y = 1
  
  $sin y = + 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
3. et sachant que tan y = sin y / cos y :
  
  $tan y = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$
Réponse

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$tan (cos^{- 1} (- \frac{3}{5})) = - \frac{4}{3} \approx - 1.3333$
Une composée en x 3 étapes
Exprimez cos(sin⁻¹ x) en fonction de x, puis vérifiez pour x = −3/5.

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1. Appelons y cet angle. L'intervalle de sin⁻¹ maintient y entre −π/2 et π/2, où le cosinus n'est jamais négatif :
  
  $y = sin^{- 1} x : sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \Rightarrow cos y \geq 0$
2. la racine conserve donc son signe positif :
  
  $cos y = + 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$
3. Pour x = −3/5 :
  
  $cos (sin^{- 1} (- \frac{3}{5})) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
Réponse

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), sans aucun ±, pour tout x de −1 à 1.

$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}, - 1 \leq x \leq 1$
Une équation avec fonction réciproque 2 étapes
Résolvez cos⁻¹ x = 2π/3, puis cos⁻¹ x = −π/3.

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1. Prenons le cosinus des deux membres. 2π/3 appartient à l'intervalle, c'est donc l'unique solution :
  
  $cos^{- 1} x = \frac{2 π}{3} \Rightarrow x = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$
2. cos⁻¹ ne renvoie jamais −π/3, qui se trouve en dehors de son intervalle :
  
  $- \frac{π}{3} \in / [0, π]$
Réponse

x = −1/2 pour la première équation ; la seconde n'a aucune solution. En effet, cos(−π/3) = 1/2, mais cos⁻¹(1/2) vaut π/3.

$x = - \frac{1}{2}; - \frac{π}{3} \in / [0, π] \Rightarrow \emptyset$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Calculez tan⁻¹(tan 2π/3).

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−π/3, c'est-à-dire 2π/3 − π.

$tan^{- 1} (tan \frac{2 π}{3}) = - \frac{π}{3}$
Calculez cos⁻¹(cos(−2π/5)).

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2π/5, puisque le cosinus est pair.

$cos^{- 1} (cos (- \frac{2 π}{5})) = \frac{2 π}{5}$
Calculez sin⁻¹(sin 4), avec 4 en radians.

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π − 4 ≈ −0,8584, car 4 est compris entre π/2 et 3π/2.

$sin^{- 1} (sin 4) = π - 4 \approx - 0.8584$
Trouvez la valeur exacte de sin(cos⁻¹(−12/13)).

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5/13 : l'angle se situe au-delà de π/2, où le sinus est positif.

$sin (cos^{- 1} (- \frac{12}{13})) = \frac{5}{13}$
Exprimez tan(sin⁻¹ x) en fonction de x.

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x/√(1 − x²), pour −1 < x < 1.

$tan (sin^{- 1} x) = \frac{x}{1 - x ^{2}}, - 1 < x < 1$
Montrez que sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 pour −1 ≤ x ≤ 1, et vérifiez cette relation pour x = −1/2.

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Si y = sin⁻¹ x, alors cos(π/2 − y) = sin y = x ; de plus, π/2 − y est compris entre 0 et π, donc π/2 − y = cos⁻¹ x.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) + cos^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2}$

sin⁻¹(sin θ) repart en arrière sur la moitié du cercle 🖖

Cliquez sur sin⁻¹(sin 150°) : le résultat est 30°. Faites maintenant glisser θ de 90° à 270°. Tandis que θ progresse, sin⁻¹(sin θ) descend de 90° à −90° selon une pente valant exactement −1, puisqu'il vaut 180° − θ sur tout cet intervalle. Le sinus atteint 1 en 90° avant de rebrousser chemin : l'opération réciproque doit donc nécessairement repartir en arrière avec lui. Le cosinus, lui, tourne en 0° et en 180° ; entre −180° et 180°, cos⁻¹(cos θ) coïncide donc avec |θ|, traçant un V. La tangente ne rebrousse jamais chemin. Elle croît continûment entre ses asymptotes, si bien que tan⁻¹(tan θ) ne recule jamais : elle décroche simplement de 180° chaque fois que θ franchit un multiple impair de 90°. Ainsi, tan⁻¹(tan 135°) vaut 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ ne peut pas emprunter l'intervalle de sin⁻¹ 🖖

Entre −90° et 90°, le cosinus n'est jamais négatif et prend deux fois chaque valeur strictement comprise entre 0 et 1, en θ et en −θ. Une fonction réciproque requiert l'exact opposé sur ces deux points : balayer toutes les valeurs de −1 à 1, chacune une seule fois. cos⁻¹ prend donc ses valeurs entre 0° et 180°, sur le demi-cercle supérieur, où le cosinus décroît régulièrement de 1 à −1. Les arguments négatifs en portent la trace. Si sin⁻¹(−1/2) vaut −30°, sous l'axe des abscisses, cos⁻¹(−√3/2) donne 150° : un cosinus négatif ne produit jamais un angle négatif, mais toujours un angle situé au-delà de 90°.

cos(sin⁻¹ x) n'a jamais besoin de ± 🖖

Dans les identités trigonométriques issues de Pythagore, l'expression √(1 − sin²θ) ne fixait que la grandeur de cos θ, laissant au quadrant le soin d'en déterminer le signe. Ici, l'intervalle d'arrivée tranche avant même qu'on ne pose la question. Comme sin⁻¹ x est toujours compris entre −90° et 90°, zone où le cosinus ne prend que des valeurs positives ou nulles, on a cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) pour tout x de −1 à 1. Pour x = −3/5, elle vaut +4/5, quand bien même l'angle lui-même est négatif. La même règle s'applique à sin(cos⁻¹ x), le sinus étant toujours positif ou nul de 0° à 180°. La tangente, elle, peut tout à fait être négative puisque l'intervalle de cos⁻¹ couvre le deuxième quadrant ; mais dans la formule tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x, ce signe est déjà porté par x, dispensant là encore de tout ±. Cliquez sur tan(cos⁻¹(−3/5)) : l'angle vaut 126,8699°, d'où une tangente égale à −4/3.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.