Ordre des opérations, et là où l'on ne s'entend pas

Saisissez une expression. L'outil la réduit une opération à la fois en nommant la règle derrière chaque étape, puis évalue cette ligne selon quatre conventions qui ne s'accordent pas toujours.

Exemple résolu — Ordre des opérations, et là où l'on ne s'entend pas

Standard	17
De gauche à droite	221
Priorité implicite	17
Tableur	17
Résultats différents	2
Étapes	6
Résultat	17

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

La règle n'agit que là où un × rencontre un + 🖖

Appuyez sur Pourquoi il y a une règle. L'expression 2 + 3 × 4 donne 14 si vous connaissez la règle et 20 si vous lisez de gauche à droite. La règle a donc une véritable utilité. Saisissez maintenant 8-3-2, puis 12/2*3. Toutes les conventions sur cette page s'accordent sur ces deux calculs. Ils se limitent en effet à un seul niveau de priorité, et chaque convention lit un niveau de gauche à droite. Voici l'ampleur du phénomène. Construisez toutes les expressions possibles à l'aide de trois opérateurs et d'opérandes de 1 à 9, en utilisant uniquement + et −. Une calculatrice à quatre opérations trouvera les 52 488 résultats exacts. Il en va de même avec × et ÷ seuls, les 52 488 résultats restent corrects. Mélangez maintenant ces deux niveaux. Sur 419 904 possibilités, 186 624 donnent un résultat différent. La règle s'avère indispensable là où le niveau des multiplications et divisions rencontre celui des additions et soustractions. Elle n'intervient absolument pas à l'intérieur d'un même groupe.

Trois cas qui n'ont jamais fait consensus 🖖

Le calcul 2^3^2 vaut 512 si l'on regroupe par la droite et 64 si l'on regroupe par la gauche. L'expression −3² vaut −9 si le signe moins s'applique après l'exposant, et 9 s'il s'applique avant. Le propre tableau de préséance d'Excel place la négation en deuxième position et l'exponentiation en quatrième. Une cellule de tableur affiche donc 9 là où une calculatrice affiche −9. Quant à 6 ÷ 2(1 + 2), l'expression donne 9 selon la règle enseignée à l'école. Le résultat devient 1 si un nombre accolé à une parenthèse est prioritaire sur la division. C'est ainsi que a/bc se lit dans de nombreux manuels scolaires, bien que MathWorld vous prévienne qu'un système de calcul formel ne le lira pas de cette manière. Appuyez sur les quatre boutons et observez le résultat changer. L'arithmétique n'a pas varié durant cette opération. Seule la lecture a changé.

Les parenthèses sont le seul élément qui n'est pas une convention 🖖

L'outil affiche sous le tableau la même expression où chaque opération est entre parenthèses. Copiez cette ligne dans le champ de saisie pour voir les quatre lectures fusionner sur un résultat unique. Ce phénomène ne se limite pas à ces seuls exemples. Prenez toutes les expressions à trois opérateurs avec des opérandes de 1 à 6 et parenthésez chaque opération : 0 cas sur 82 944 ne produit de résultats différents. C'est l'argument fondamental en faveur de ces deux caractères. Les publications mathématiques écrivent a/(bc). Elles peuvent aussi empiler la fraction. Le regroupement réside alors dans la géométrie spatiale plutôt que dans une règle arbitraire enseignée au lecteur.

Problème entièrement résolu

6 ÷ 2(1 + 2) : est-ce 9 ou 1 ? Le débat dure depuis des années et les deux camps savent calculer. Identifiez l'objet réel du litige.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La parenthèse a la priorité. Rien ici n'est contesté. Les deux lectures font maintenant face à la même ligne, avec un 3 à la place de la parenthèse.
  
  $6 \div 2 (1 + 2) ⟶ 6 \div 2 (3)$
2. La règle enseignée à l'école : les signes × et ÷ partagent un même niveau. Ce niveau se lit de gauche à droite. La division s'effectue en premier car elle est écrite en premier.
  
  $(6 \div 2) (3) = 3 \times 3 = 9$
3. L'autre lecture : un nombre accolé à une parenthèse forme une seule quantité. L'expression 2(3) donne donc un seul 6 avant même que la division n'intervienne.
  
  $6 \div (2 (3)) = 6 \div 6 = 1$
4. Les deux approches sont cohérentes en elles-mêmes et aucune ne découle directement de l'arithmétique. Basculez entre Standard et Priorité implicite pour voir l'arbre se réorganiser sur la page. La multiplication passe au sommet dans la convention standard, tandis que la division prend sa place sous la priorité implicite.
  
  $(a \div b) c \neq = a \div (b c)$
5. Ce qui tranche le débat n'est pas une meilleure règle, mais une écriture plus claire. L'une ou l'autre mise en parenthèses lève toute ambiguïté dans les quatre conventions. L'outil affiche d'ailleurs la forme entièrement parenthésée sous le tableau.
  
  $(6 \div 2) (1 + 2) = 9, 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$
6. C'est pourquoi cette expression se rencontre rarement dans les publications. Une revue scientifique écrira la fraction de manière superposée. Cette géométrie porte en elle-même le regroupement des termes. Elle le place ainsi hors d'atteinte de toute convention d'écriture.
  
  $\frac{6}{2} (1 + 2) = 9, \frac{6}{2 ( 1 + 2 )} = 1$
Réponse

Il n'y a pas de vérité absolue. Les nombres 9 et 1 sont tous deux des lectures correctes d'une ligne rédigée de manière trop approximative pour n'avoir qu'une seule valeur. Le désaccord porte entièrement sur la façon de lire un signe de division et une juxtaposition sur une même ligne typographique. Chacune des quatre lectures proposées sur cette page est parfaitement cohérente avec elle-même. Écrivez (6 ÷ 2)(1 + 2) si vous voulez obtenir 9, et 6 ÷ (2(1 + 2)) si vous voulez obtenir 1. Le problème cessera alors d'exister.

$(6 \div 2) (1 + 2) = 9 \neq = 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$

Références (2)

The spreadsheet convention, from the vendor's own precedence table: Microsoft, "Calculation operators and precedence in Excel", Microsoft Support. Negation is listed second and exponentiation fourth.
Why a number pressed against a bracket is read two ways, and the advice that follows: Eric W. Weisstein, "Solidus", MathWorld — A Wolfram Web Resource.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.