Pourquoi les angles se mesurent en radians

Fixez un rayon et un angle, puis modifiez l'unité ci-dessous. La longueur de l'arc, la pente du sinus et l'approximation des petits angles évoluent ensemble, car il s'agit d'une seule et même définition abordée de trois façons.

Exemple résolu — Pourquoi les angles se mesurent en radians

Longueur de l'arc s	1
Pente de sin en θ	0,540302
sin θ	0,841471
Erreur sur sin θ ≈ θ	18,840%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

La formule de l'arc est la définition, non un résultat 🖖

Cliquez sur Un radian, un rayon. Un rayon de 1 ayant tourné de 1 radian décrit un arc d'exactement 1. C'est tout le sens de l'unité : l'angle qui rend l'arc égal au rayon. La formule s = rθ n'est donc pas un théorème sur les radians, c'est l'égalité pour laquelle ils ont été inventés. Passez aux degrés et ce même arc requiert r × θ × π/180. Omettez ce facteur et votre résultat sera décalé de 57,3. Il ne s'agit pas non plus d'une constante aléatoire. C'est un radian exprimé en degrés, autrement dit la conversion elle-même qui vous saute aux yeux.

La dérivée du sinus est le cosinus uniquement en radians 🖖

Cliquez sur Le calcul de la pente dépend de. Pour θ = 0, la pente du sinus vaut exactement 1. Changez maintenant d’unité : au même point de la même courbe, elle vaut 0,017453. Un degré représente un pas plus petit qu’un radian, et le sinus augmente donc proportionnellement moins à chaque pas. La règle si simple d/dx sin x = cos x ne vaut ainsi qu’en radians. Il en va de même pour la série du sinus, pour chaque terme d’une série de Fourier et pour l’approximation des petits angles présentée ci-dessous. On pourrait parfaitement construire un calcul différentiel fondé sur les degrés, mais le facteur serait omniprésent : une dérivée première ferait intervenir π/180, une dérivée seconde son carré, et une intégrale son inverse. Voilà pourquoi personne ne le fait.

L'approximation résiste bien plus longtemps qu'il n'y paraît 🖖

Pour un angle petit, sin θ ≈ θ. Le terme suivant de la série étant −θ³/6, l'erreur relative croît donc comme θ²/6, avec le carré de l'angle et non avec l'angle. C'est la raison pour laquelle l'approximation tient : à 1° elle dévie de 0,005 %, à 5° de 0,127 %, et même à 10° de seulement 0,510 %. Poussez jusqu'à 30° et elle finit par céder, à 4,720 %. C'est exactement cette liberté qui fait battre un pendule. Son mouvement n'est harmonique simple que parce que sin θ a été remplacé par θ. Un pendule conserve donc son rythme pour de petites oscillations et le perd lentement pour les grandes amplitudes. Le point où une horloge commence à dériver est celui où cette colonne cesse d'être petite.

Problèmes entièrement résolus

Diamètre de la Lune couvrant 0,5181° de ciel à 384 400 km de distance 6 étapes
La Lune couvre 0,5181° du ciel et se situe à 384 400 km de nous. Calculez son diamètre et évaluez l'erreur que vous commettriez en oubliant l'unité.
1. La formule pour un petit objet lointain est taille = distance × angle, soit s = rθ en prenant la distance de la Lune comme rayon. Elle demande un angle θ en radians.
  
  $s = r θ (θ in radians)$
2. Convertissez : 0,5181 × π/180 = 0,0090426 radian.
  
  $0.518 1^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.0090426$
3. Multipliez. 384 400 × 0,0090426 = 3 476 km, contre un diamètre moyen mesuré de 3 474,8 km.
  
  $384, 400 \times 0.0090426 = 3, 476 km$
4. Oubliez maintenant la conversion et multipliez par le nombre brut 0,5181. Cela donne 199 158 km, soit une Lune dont le diamètre équivaut presque à une deuxième distance Terre-Lune.
  
  $384, 400 \times 0.5181 = 199, 158 km$
5. Le rapport entre les deux réponses est de 57,30, ce qui correspond à 180/π. Chaque omission de ce type sera fausse de ce même facteur exact, quels que soient les nombres de départ.
  
  $\frac{199 , 158}{3 , 476} = 57.30 = \frac{180}{π}$
6. Une dernière vérification avant de faire confiance à la réponse. La formule traite le diamètre de la Lune comme un arc plutôt que comme une ligne droite. À cet angle, la différence est de 12 mètres sur 3 476 km, soit 3 parties par million. L'approximation n'est pas ce qui limite le résultat.
  
  $arc - chord = 12 m in 3, 476 km$
Réponse

3 476 km ; oublier les radians introduit une erreur d’un facteur 57,3. La précision de la quatrième position n’est pas limitée par la géométrie, mais par l’appariement des données. Au cours d’un mois, la distance de la Lune varie d’environ 363 300 km à 405 500 km, soit une amplitude de 11 %, et son diamètre apparent varie en conséquence. Même en associant un angle moyen à une distance moyenne, on obtient un écart de 1,2 km : c’est la différence entre les 3 476 km calculés ci-dessus et la valeur mesurée de 3 474,8 km. En effet, le diamètre apparent est proportionnel à 1/d, et la moyenne des inverses n’est pas l’inverse de la moyenne. Si vous associez plutôt cet angle moyen à la distance de ce soir, l’écart atteint 190 km au périgée, malgré une arithmétique irréprochable. L’équation ne peut pas vous avertir que les deux valeurs saisies correspondent à des instants différents.
θ est encadré par le sinus et la tangente, et pas au milieu 6 étapes
À 10°, le panneau affiche un arc de 0,174533, un sinus de 0,173648 et une erreur de 0,510 %. Calculez où tombe la tangente du même angle, puis décidez si 0,510 % est le mieux que ces deux nombres puissent faire.
1. Dix degrés valent 10 × π/180 = 0,174533 radian, et sur un cercle de rayon 1 l'arc est l'angle. C'est tout le contenu de s = rθ.
  
  $θ = 1 0^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.174533 rad, s = r θ = θ (r = 1)$
2. Le sinus reste un peu court, à 0,173648. Le panneau divise ce manque par le sinus et affiche 0,510 %.
  
  $sin θ = 0.173648, \frac{θ - sin θ}{sin θ} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.510%$
3. Ce manque a une taille prévisible. Comme sin θ = θ − θ³/6 + …, la différence θ − sin θ doit valoir environ θ³/6 = 0,000886, contre 0,000885 mesuré.
  
  $sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots ⟹ θ - sin θ \approx \frac{θ ^{3}}{6} = 0.000886$
4. La tangente dépasse avec le même type de terme, au coefficient double : tan θ = θ + θ³/3 + …, d'où tan θ − θ = 0,001794. Ensemble, sin θ < θ < tan θ. Cet encadrement est le théorème des gendarmes qui prouve que la pente du sinus en zéro vaut exactement 1 en radians, et la page n'en imprime que la moitié inférieure.
  
  $tan θ = θ + \frac{θ ^{3}}{3} + \dots = 0.176327 ⟹ tan θ - θ = 0.001794 \approx \frac{θ ^{3}}{3}$
5. L'encadrement n'est pas symétrique. La tangente dépasse 2,03 fois plus loin que le sinus ne reste court, si bien que θ se place au tiers du chemin du sinus vers la tangente, et non à mi-distance.
  
  $sin θ < θ < tan θ, \frac{tan θ - θ}{θ - sin θ} = 2.03 ⟹ θ lies one third of the way up$
6. Pondérez-les dans ce rapport et les termes cubiques s'annulent complètement, puisque 2(−⅙) + ⅓ = 0. Ainsi (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411, à 8,2 × 10⁻⁶ près, soit 0,0047 % : plus de cent fois plus proche que le sinus seul, à partir des deux mêmes nombres.
  
  $2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = 0 : \frac{2 sin θ + tan θ}{3} = 0.1745411, out by 8.2 \times 1 0^{- 6} = 0.0047%$
Réponse

La tangente tombe à 0,176327, de l'autre côté de l'arc, et 0,510 % est loin du meilleur disponible. Cette pondération a une longue histoire sous un autre nom. Un polygone régulier inscrit dans un cercle a pour périmètre 2n sin(π/n) et le polygone circonscrit 2n tan(π/n), le même sinus et la même tangente en θ = π/n, et la division par le diamètre donne les bornes classiques de π. À 96 côtés, elles valent 3,14103195 et 3,14271460, ce qui à soi seul fixe π à 3,14 ; combinées en (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3, elles donnent 3,14159283 contre une vraie valeur de 3,14159265. La tangente était depuis toujours dans le modèle de l'outil ; seul le sinus obtient une carte, parce que la règle des petits angles est ce qu'un cours de physique demande.

$n = 96 : \frac{2 ( 3.14103195 ) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 (π = 3.14159265)$

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Mène à Limites la mesure d'angle dans laquelle sin θ ≈ θ fonctionne pour les petits θ, et où la dérivée du sinus est exactement le cosinus.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Mathématiques →

Exemples de problèmes

Un radian, un rayon - Un rayon de 1 et un angle de 1 radian décrivent un arc d'exactement 1. Il ne s'agit pas d'un théorème sur les radians, mais du but même de cette unité. Toutes les autres formules de cette page en découlent.
La dérivée dépend de - Pour θ = 0, la pente du sinus vaut exactement 1 lorsque l’angle est exprimé en radians. Passez aux degrés : cette même pente vaut 0,017453, car le sinus augmente désormais 57,3 fois moins vite par unité d’angle. Toutes les dérivées que vous avez rencontrées supposent la première valeur.
Quand sin θ ≈ θ cède - À 10°, l'approximation sin θ ≈ θ est fausse de 0,510 %. Elle s'écarte de 0,127 % à 5° et de 0,005 % à 1°, car l'erreur grandit avec le carré de l'angle et non avec l'angle.
La Lune par sa taille - La Lune couvre 0,5181° du ciel à une distance moyenne de 384 400 km. En radians, cet angle vaut 0,0090426. La multiplication donne un diamètre de 3 476 km, contre une mesure de 3 474,8. Oubliez la conversion et la réponse grimpe à 199 158 km.