Transformer une formule

Annulez les opérations une à une jusqu'à isoler la lettre de votre choix. Vous ne pouvez retirer que la plus externe. Diviser par a avant de soustraire u diviserait également u.

Exemple résolu — Transformer une formule

Opérations requises	2
Vérification numérique	4 vs 4 ✓

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Transformer une formule376 mots

Faire d'une lettre le sujet revient à produire une formule équivalente où cette lettre figure seule d'un côté. La possibilité d'y parvenir soulève deux questions d'apparence identique. Cette méthode peut-elle y arriver ? Et est-ce seulement possible ?

Ce que signifie chaque symbole

subject: la lettre que vous isolez. Ce choix modifie la difficulté du tout au tout. La formule y est indifférente, mais pas l'algèbre.
±: ce qu'une racine d'ordre pair vous renvoie : deux candidats, sans que l'algèbre seule ne permette de les départager.

Suppose: Que chaque opération vous séparant du sujet puisse être défaite, l'une après l'autre, de l'extérieur vers l'intérieur. Cela se vérifie très exactement lorsque la lettre n'apparaît qu'une seule fois.
Ne tient plus quand: À deux endroits très différents, et tout l'enjeu consiste à savoir les distinguer. La méthode trouve ses limites lorsque la lettre apparaît plus d'une fois. La formule s = ut + ½at² met le décorticage en échec, et la page vous l'indique. Mais cette formule s'avère être une équation du second degré en t, qu'une autre méthode résout parfaitement. Avec u = 3, a = 2 et s = 20, la réponse est t = 3.216991. L'y réinjecter vous redonne 20,000000. Il n'y a rien d'insoluble ici. Le décorticage constitue simplement la mauvaise approche. L'équation elle-même fait de la résistance avec la formule de Kepler M = E − e sin E. La lettre E s'y trouve à la fois isolée et prisonnière d'un sinus. Aucune suite finie d'opérations algébriques sur M et e ne parviendra donc jamais à l'isoler. Ce cas de figure n'est pas dans l'impasse pour autant. Lagrange et Bessel fournissent une solution sous forme de série, dont les coefficients ont d'ailleurs nécessité l'invention des fonctions de Bessel. Ce que possède cette série, en revanche, c'est une frontière. Elle ne converge que pour les excentricités inférieures à la limite de Laplace, soit 0.662743419349. La comète de Halley, à e = 0.967, se situe en dehors. La réponse honnête à la question « peut-on réarranger cela ? » comporte donc trois niveaux. Cette méthode échoue, mais une autre réussit. Aucune méthode n'y parvient, mais une série le peut. Enfin, la série possède un domaine de validité.

Une formule est une équation aux lettres dociles 🖖

Pour isoler t dans v = u + at, il faut soustraire u aux deux membres, puis diviser le tout par a. Pour résoudre 3x + 4 = 10, on soustrait 4 aux deux membres, puis on divise par 3. Les deux mêmes opérations, dans le même ordre et pour la même raison. On défait simplement la construction de l'expression en commençant par l'extérieur. C'est l'unique principe à retenir. Inutile d'apprendre de nouvelles règles pour les formules. La présence des lettres donne une impression de nouveauté, car aucun calcul numérique ne vient fusionner les termes. Le résultat final demeure une expression algébrique, au lieu d'aboutir à une valeur numérique.

Inverser un carré renvoie deux réponses sans offrir le moindre moyen de trancher 🖖

Saisissez A = πr² et isolez r. L'outil affiche ±√(A / π), et à juste titre : élevées au carré, ces deux valeurs donnent la même aire. L'algèbre a fait tout son possible et vous laisse avec deux candidats. Écarter la solution négative est une conclusion sur les cercles, dont les rayons ne sont jamais négatifs. Il ne s'agit pas d'une étape de calcul. En physique, une situation analogue conserve souvent les deux racines. Un projectile atteint une hauteur donnée à deux instants différents. Le premier est rarement la réponse que vous souhaitiez, mais il demeure réel. L'algèbre est incapable de différencier ces deux cas de figure. Vous en êtes capable.

Si la lettre apparaît deux fois, la méthode s'arrête 🖖

Saisissez s = ut + ½at² et essayez d'isoler t. L'outil s'y refuse. Décortiquer une formule s'effectue en annulant les opérations une à une depuis l'extérieur. L'approche ne permet d'isoler une variable que s'il n'y en a exactement qu'une seule à cibler. Face à deux occurrences, la démarche n'a plus vers quoi converger. Cette formule en particulier devient une équation du second degré en t et se résout avec le discriminant. Il s'agit toutefois d'une technique différente avec un résultat de forme différente : deux racines au lieu d'une unique expression. Un grand nombre de formules ne possèdent aucune réorganisation explicite fermée. La réaction la plus honnête d'un outil consiste à préciser le cas de figure auquel il fait face, plutôt que d'afficher un résultat erroné avec assurance.

Problèmes entièrement résolus

Le rayon quand l'aire d'un cercle est de 78,54 cm² 7 étapes
L'aire d'un cercle mesure 78,54 cm². Calculez le rayon, et indiquez avec précision à quel moment l'algèbre s'arrête pour laisser place à votre propre raisonnement.
1. Commencez par la formule telle qu'on vous la donne. La variable A est isolée, tandis que r est enfoui dans un carré.
  
  $A = π r^{2}$
2. Procédez de l'extérieur vers l'intérieur. L'opération la plus éloignée qui s'applique à r est la multiplication par π. Divisez donc d'abord les deux membres par π.
  
  $\frac{A}{π} = r^{2}$
3. Passons au carré. Son inversion correspond à l'étape où une entrée unique cesse de produire une sortie unique. Voilà pourquoi la ligne affiche un ± plutôt qu'une simple racine.
  
  $r = \pm \frac{A}{π}$
4. Le signe ± a toute son importance : +5 et −5 ont tous deux pour carré 25, ce sont donc deux solutions exactes de l'équation r² = 25. L'équation ignore ce que r représente.
  
  $(+ 5)^{2} = 25 = (- 5)^{2}$
5. Si l'on substitue le nombre : r = ±5 cm. La réponse est 5, car un rayon est une distance. Cette phrase n'a rien d'algébrique. C'est l'unique étape de tout l'exercice qui exigeait de comprendre la signification des lettres.
  
  $r = \pm \frac{78.54}{π} = \pm 5$
6. Vérifiez vos calculs en procédant à l'endroit, ce qui constitue la seule vérification vraiment utile. Remettez 5 dans la formule de départ et regardez si vous retrouvez l'aire initiale.
  
  $π (5)^{2} = 78.54 ✓$
7. Remarquez d'ailleurs comment les choses évoluent selon le contexte. La même équation h² = 25, si elle décrit une hauteur au-dessus et en dessous d'une ligne d'horizon, conserve ses deux réponses. L'équation t² = 25 désignant un temps ne garde −5 que si le chronomètre a été déclenché à un instant antérieur. L'algèbre opère de façon parfaitement identique dans ces trois scénarios. Ce qui pousse à rejeter une solution relève en revanche d'une tout autre logique.
  
  $h^{2} = 25 \Rightarrow h = \pm 5 (both)$
Réponse

r = 5 cm. L'algèbre donne ±5 et s'arrête là, à juste titre. Choisir 5 est une affirmation concernant les rayons. C'est l'étape cruciale du problème que la formule était incapable d'accomplir à votre place.
Fahrenheit comme sujet, et la valeur sur laquelle les deux échelles s'accordent 6 étapes
Isolez F dans C = 5(F − 32)/9 et vérifiez sur l'eau bouillante. Décidez ensuite si un thermomètre peut jamais afficher le même nombre sur les deux échelles.
1. F est enfoui à trois niveaux : dans une parenthèse, dans une multiplication par 5, dans une division par 9. Épluchez depuis l'extérieur, donc le 9 part en premier.
  
  $C = \frac{5 ( F - 32 )}{9}$
2. Multipliez les deux membres par 9, puis divisez par 5. Deux opérations sur trois, et aucune n'a touché à la parenthèse.
  
  $9 C = 5 (F - 32) ⟹ \frac{9 C}{5} = F - 32$
3. Ajoutez 32 et F est isolé. Trois opérations, c'est ce que compte le panneau, et la fiche de vérification renvoie 100 °C dans la formule transformée et obtient 212.
  
  $F = \frac{9 C}{5} + 32; C = 100 : \frac{900}{5} + 32 = 180 + 32 = 212$
4. Passons à la question que cette méthode refuse. Chercher où les deux échelles affichent la même valeur revient à poser F = C, ce qui met la lettre des deux côtés. C'est là que l'outil s'arrête, car il n'y a plus rien vers quoi éplucher.
  
  $F = C : C = \frac{9 C}{5} + 32$
5. Ici, les deux occurrences sont linéaires : elles se rassemblent en une seule, et l'épluchage reprend. La réponse est −40, et elle se vérifie : 9(−40)/5 + 32 vaut −72 + 32.
  
  $C - \frac{9 C}{5} = 32 ⟹ - \frac{4 C}{5} = 32 ⟹ C = - 40$
6. Ce même regroupement répond à la version générale. Fahrenheit vaut le double de Celsius à 160 °C, soit 320 °F. À k = 1,8, le dénominateur s'annule et il n'y a pas de réponse, parce que les deux droites sont parallèles et que Fahrenheit garde pour toujours 32 d'avance sur 1,8 × Celsius.
  
  $F = k C : C = \frac{32}{k - 1.8}; k = 2 ⟹ C = 160, F = 320$
Réponse

F = 9C/5 + 32, et les deux échelles s'accordent à −40. Trois opérations retournent la formule, et le panneau le confirme en renvoyant 100 °C sur 212 °F. Le point fixe réclame une quatrième opération que l'outil ne propose pas : rassembler les deux C. Cela ne marche que parce que les deux sont linéaires, et c'est toute la différence entre cet exercice et la formule du déplacement que l'outil refuse.

$F = k C ⟹ C = \frac{32}{k - 1.8} : k = 1 \to - 40, k = 2 \to 160$

Parcours

Trouver x, à partir du signe moins

Mène à Systèmes de deux équations la même logique de résolution, appliquée avec des lettres au lieu de nombres.

Références (1)

The series that solves what peeling cannot, and the eccentricity at which it stops: P. Colwell, "Bessel Functions and Kepler's Equation." The American Mathematical Monthly 99:1 (1992), 45–48.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-26

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Exemples de problèmes

v = u + at - Isoler t demande deux opérations : soustraire u, puis diviser par a. Vous feriez exactement la même chose pour 3x + 4 = 10, avec d'autres lettres.
A = πr² - Isoler r implique d'annuler un carré, ce qui produit deux solutions. L'outil affiche ±, et seul le fait que r soit un rayon permet d'écarter la valeur négative. Cette décision tient à la géométrie du cercle, pas à l'algèbre.
s = d / t - Ici, t se trouve au dénominateur. Vous ne pouvez pas l'éliminer par une division, les deux termes échangent donc leur place. Ainsi, d / t = s devient t = d / s.
Celsius de Fahrenheit - Trois manipulations pour inverser l'équation. Vous obtenez la formule que tout le monde connaît vaguement. Faites-le une bonne fois pour toutes au lieu de mémoriser deux choses.
s = ut + ½at² - Essayez d'isoler t, l'outil s'arrête. La variable apparaît à deux endroits. Aucune série d'opérations inverses ne permet de l'extraire. Vous devez utiliser la formule quadratique, ce qui change complètement le problème.
T = 2π√(l/g) - La longueur se trouve sous une racine carrée. Vous devez élever les deux membres au carré pour l'annuler, ce qui en fait la seule opération différente d'une soustraction ou d'une division. Cherchez plutôt à isoler g, et vous verrez qu'il faut aussi le sortir d'un dénominateur.
E = ½mv² - La variable v est au carré. Son isolement introduit donc un symbole ±. Seule l'impossibilité d'une vitesse négative permet d'écarter l'une des réponses. Vous vous appuyez sur une réalité physique, au-delà de la stricte algèbre.
V = IR - Une seule opération, là où les autres exemples en exigent trois. L'exercice est très utile. Vous voyez exactement à quoi ressembleraient les autres formules si rien n'entourait la lettre que vous cherchez.
d = m / V - La variable V se trouve au dénominateur. Vous ne pouvez pas l'en extraire par une division. Les deux termes échangent plutôt leur position. Ainsi, d = m / V devient V = m / d.
c = √(a² + b²) - Chercher un côté de l'angle droit implique d'annuler un carré. L'algèbre vous donne donc deux réponses, dont une longueur négative. Vous retrouvez le même ± que pour l'énergie cinétique. Vous l'écartez grâce à la figure géométrique, et non par le calcul.
A = bh / 2 - La formule s'écrit ici telle qu'on l'apprend à l'école, avec A = bh / 2 plutôt que ½bh. La version fractionnaire se transforme en h = A / (½b). Le résultat est juste, mais personne n'écrirait jamais cela. Vous effectuez deux opérations dans les deux cas, pour obtenir la formule que vous aviez devinée.