Principe de Fermat : le problème du sauveteur

Placez un sauveteur sur le sable et un nageur dans l'eau. Réglez la vitesse de course et de nage du sauveteur, puis choisissez le point d'entrée dans l'eau. Trois coureurs partent en même temps : votre trajet, la ligne droite et le chemin le plus rapide trouvé par la page. Faites glisser le point orange le long du rivage. Observez la variation du temps et sa remarquable stabilité près du minimum.

Exemple résolu — Principe de Fermat : le problème du sauveteur

Votre trajet : courir, puis nager	22,90 s
Point d'entrée le plus rapide	36,18 m
Temps le plus rapide	19,48 s
Coût de votre point d'entrée	3,417 s
Estimation de ce coût (parabole)	4,242 s
Ligne droite du sauveteur au nageur	22,90 s
Retard de la ligne droite sur le temps idéal	17,54%
Longueurs de la ligne droite et du trajet rapide	56,57 m et 61,70 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Principe de Fermat : le problème du sauveteur

Principe de Fermat : la lumière se déplace entre deux points le long d'un trajet dont le temps de parcours est stationnaire. Une petite modification du chemin ne change pas le temps au premier ordre. Pour un sauveteur courant à v₁ et nageant à v₂, le temps total via le point d'entrée x vaut T(x) = √(x² + a²)/v₁ + √((L − x)² + b²)/v₂. Son minimum se trouve là où sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, les angles étant mesurés par rapport à la perpendiculaire au rivage. Pour la lumière, v = c/n transforme cette relation en loi de Snell-Descartes, n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂.

Ce que signifie chaque symbole

x: point de croisement du trajet sur le rivage
v_1: vitesse sur le sable
v_2: vitesse dans l'eau
θ: angle entre un segment du trajet et la perpendiculaire au rivage
T″: dérivée seconde du temps au point idéal ; un écart de Δ coûte environ ½T″Δ²

Suppose: Trajets en ligne droite à vitesse constante de chaque côté d'un rivage net, aucun temps perdu pour tourner ou entrer dans l'eau, et un nageur immobile. Pennings énumère les mêmes hypothèses pour Elvis. Il ajoute que les vagues brouillent la limite de l'eau et qu'un corgi court sur une courte distance dans l'eau avant de nager.

Le chemin le plus court est lent, tandis que l'alternative évidente frôle la perfection 🖖

Cliquez sur Droit vers le nageur. La ligne droite mesure 56,57 m et demande 22,90 s, car sa moitié se nage à 1,5 m/s. Le trajet le plus rapide s'allonge de 5,13 m et prend 19,48 s. Il parcourt 41,34 m sur le sable et seulement 20,36 m dans l'eau. Cliquez maintenant sur Nager le moins possible. Courir jusqu'au point le plus proche du nageur puis nager en ligne droite prend 19,72 s, soit 0,242 s derrière le chemin idéal. Chacun peut appliquer cette règle sans le moindre calcul. Elle fonctionne ici car ce sauveteur court 4,7 fois plus vite qu'il ne nage. Égalisez les deux vitesses et cette même règle concède 5,435 s à la ligne droite.

Près du point idéal, le temps varie à peine 🖖

Faites glisser le point orange et observez le deuxième panneau. Son minimum est plat : plonger 1 m en deçà du point idéal coûte 16,1 ms, 2 m coûtent 63,6 ms, et 10 m coûtent 1,43 s ; au-delà, comptez 16,3 ms et 1,67 s. Dix fois l'écart représente entre 89 et 102 fois le coût, car le temps croît selon le carré de l'écart et ne comporte aucun terme du premier degré. La parabole en pointillés, ½T″Δ², correspond à ce carré et se superpose à la véritable courbe près du minimum. Les physiciens formulent le principe de Fermat exactement sous cette forme : la lumière emprunte un trajet sur lequel une infime variation n'entraîne aucune modification du premier ordre sur le temps de parcours. Le meilleur point d'entrée se situe là où la pente dT/dx est nulle, ce qui donne sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, et le tableau des résultats affiche les rapports sin θ₁ / sin θ₂ et v₁ / v₂ qui coïncident sur quatre décimales. Convertissez ces vitesses en indices de réfraction et vous retrouvez la loi de Snell-Descartes.

Un corgi chronométré sur le lac Michigan 🖖

En 2003, le mathématicien Tim Pennings a chronométré son corgi gallois Elvis à 6,40 m/s à la course et 0,910 m/s à la nage. Lors de trois heures passées à lancer une balle dans le lac Michigan, il a consigné 35 rapports, en notant pour chacun l'endroit où Elvis se jetait à l'eau. En partant du bord de l'eau, le point d'entrée le plus rapide précède le point situé face à la balle d'une distance équivalant à 0,144 fois l'éloignement de la balle au large, pourvu que la balle se trouve au moins aussi loin le long de la plage. Le troisième panneau situe ses 35 rapports par rapport à cette droite. Parmi eux, 23 se trouvent au-dessus : le chien avait donc tendance à plonger un peu tôt. Une droite ajustée sur ces données présente une pente de 0,171. Quatre points se situent bien au-dessus ; Pennings précise que certains lecteurs les écarteraient en les considérant comme des valeurs aberrantes. Observez maintenant la bande ombrée, qui regroupe tous les points d'entrée coûtant moins d'un dixième de seconde : les 35 tentatives s'y trouvent toutes. Sur une course de 15 m, son pire lancer a coûté 94,4 ms, et la médiane s'établit à 5,7 ms. La conclusion de Pennings fut qu'Elvis ne connaît pas le calcul infinitésimal. Il n'en avait d'ailleurs aucun besoin, car le minimum est plat.

Problème entièrement résolu

Une plage avec une bande de sable meuble 5 étapes
Le sauveteur du premier préréglage doit maintenant traverser 10 m de sable sec et meuble, où sa vitesse tombe à 4 m/s, avant de franchir 10 m de sable dur à 7 m/s, puis d'atteindre l'eau. Le nageur se trouve toujours à 20 m au large et 40 m plus loin sur la côte, et la vitesse de nage reste de 1,5 m/s. Quel est désormais le temps le plus rapide ? Combien coûte le maintien de l'ancien trajet sur cette nouvelle plage ? Cliquez sur Droit vers le nageur pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Sans la bande de sable meuble, la page trouve le point d'entrée idéal et le meilleur temps :
  
  $x^{*} = 36.18 m, T^{*} = \frac{41 . 34}{7} + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 19.48 s$
2. Avec trois bandes, le chemin le plus rapide bifurque à chaque frontière. La condition de pente devient un nombre unique partagé par chaque bande, c = sin θ / v. Chaque bande de profondeur h s'accompagne d'un décalage latéral de h tan θ, et la somme des trois décalages doit atteindre les 40 m le long de la plage. En résolvant pour c :
  
  $i \sum h_{i} tan θ_{i} = 10 tan θ_{s} + 10 tan θ_{f} + 20 tan θ_{w} = 40, sin θ_{i} = c v_{i} \Rightarrow c = 0.13526 s/m$
3. On obtient ainsi l'angle dans chaque bande, par rapport à la perpendiculaire aux frontières :
  
  $θ_{s} = arcsin (4 c) = 32.7 5^{\circ}, θ_{f} = arcsin (7 c) = 71.2 3^{\circ}, θ_{w} = arcsin (1.5 c) = 11.7 1^{\circ}$
4. Chaque segment mesure h / cos θ. Son temps de parcours s'obtient en divisant sa longueur par sa vitesse :
  
  $T = \frac{11 . 89}{4} + \frac{31 . 08}{7} + \frac{20 . 425}{1 . 5} = 2.97 + 4.44 + 13.62 = 21.03 s$
5. L'ancien trajet, passant par le précédent point d'entrée à 36,18 m avec une course droite sur les deux types de sable, passe la moitié de sa course sur la bande meuble :
  
  $T_{0} = \frac{41 . 34}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{7}) + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 21.69 s$
Réponse

Le trajet le plus rapide demande 21,03 s. Il traverse le sable meuble de façon abrupte, à 32,75° de l'axe perpendiculaire. Il accomplit la majeure partie du parcours latéral sur le sable dur à 71,23° et pénètre dans l'eau à 35,86 m. L'ancien trajet prend 21,69 s sur la nouvelle plage. Ignorer la bande meuble coûte donc 0,67 s, bien plus que les 16 ms perdues pour un écart d'un mètre sur l'ancienne plage. La ligne droite prend maintenant 24,41 s. La règle en jeu correspond à celle que la lumière respecte en traversant des couches de verre : le rapport sin θ / v reste identique dans chaque couche.

$T^{*} = 21.03 s, x^{*} = 40 - 4.14 = 35.86 m; T_{0} - T^{*} = 0.67 s; T_{s} = 24.41 s$

Parcours

Moindre temps, moindre action

Références (2)

Elvis the corgi: his running and swimming speeds, the optimal entry point y = x/√((r/s)² − 1) that does not depend on the distance along the beach, and the 35 measured retrieves this page plots: T. J. Pennings, "Do Dogs Know Calculus?", The College Mathematics Journal 34(3), 178–182 (2003).
Fermat's principle in its modern form, that a small change in the path makes no first-order change in the time; the lifeguard as Feynman's illustration of it; and why the stationary path is the one the light takes, from the phases of neighbouring paths: M. Fowler, "Fermat's Principle of Least Time", lecture 3 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.