Mirages : la lumière déviée par l'air chaud et froid

Réglez la température de l'air, la température du sol, le réchauffement ou le refroidissement de l'air en altitude, la hauteur de vos yeux, ainsi que la position d'un poteau rayé un peu plus loin. La page trace les lignes de visée à travers l'air et les affiche de profil. Elle montre également ce que votre œil percevrait : le poteau, le ciel, la route, et le ciel étalé sur la route.

Exemple résolu — Mirages : la lumière déviée par l'air chaud et froid

Le rayon du mirage est plus long de	4,80 mm

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Mirages : la lumière déviée par l'air chaud et froid

Un mirage est une image formée par la lumière qui s'incurve en traversant un air dont l'indice de réfraction varie avec l'altitude. Le long d'un rayon dans des couches horizontales, la quantité n cos θ reste constante (θ désignant l'angle au-dessus de l'horizontale ; sur une Terre sphérique, on utilise m = n + z/R au lieu de n). Ainsi, une ligne de visée quittant l'œil avec un angle de dépression α remonte avant le sol chaque fois que m(H) cos α > m(0). Là où m est minimal au niveau du sol, comme au-dessus d'une route plus chaude que l'air, l'angle rasant α_c = arccos(m(0)/m(H)) ≈ √(2Δm), avec Δm = m(H) − m(0), sépare les lignes de visée qui atteignent le sol de celles qui remontent avant de l'atteindre, et l'œil, extrapolant en ligne droite, situe le début du mirage à H / tan α_c.

Ce que signifie chaque symbole

n: indice de réfraction de l'air ; n − 1 = 7,86×10⁻⁴ p/(273 + t) pour l'air sec, avec p en kPa et t en °C
α_c: angle de la ligne de visée rasante sous l'horizontale
m: indice incluant la courbure de la Terre, n + z/R
k: vitesse de courbure d'un rayon horizontal, en fraction de la courbure terrestre
γ: vitesse de réchauffement de l'air en altitude, en K par mètre ; négative en cas de refroidissement

Suppose: Air sec, couches horizontalement uniformes, et formule simplifiée du NIST pour l'indice de réfraction. Le NIST la certifie pour une plage de 0 à 35 °C. Au-delà de ces températures, au niveau d'une route, la page exploite son terme pour l'air sec, correspondant à la densité d'un gaz parfait, mais sans cette garantie. Une véritable couche de surface brûlante est turbulente, ce qui explique le scintillement d'un mirage réel.

La flaque possède un bord qui avance avec vous 🖖

Cliquez sur Route chaude, en voiture. L'air est à 30 °C au-dessus d'une route à 50 °C. L'indice de réfraction au niveau de vos yeux surpasse de 1,62×10⁻⁵ celui de la surface : l'air chaud est moins dense, la lumière y voyage un peu plus vite. Une ligne de visée suffisamment rasante est redressée par cette différence avant de toucher la route, et finit par observer le ciel. La ligne la plus inclinée qui y parvient frôle la surface à 0,3284° sous l'horizontale. Toute ligne plus plongeante heurte le bitume. Votre œil présume que la lumière file droit. Il projette donc cette direction rasante sur la route, 209,3 m plus loin. Au-delà, tout ressemble à du ciel couché sur le sol : de l'eau. Les pages d'Andrew T. Young sur les mirages commentent la photographie d'un mirage désertique et concluent la même chose : le mirage débute par une limite nette, là où la ligne de visée rencontre le sol sous l'angle critique. Rien dans cette affirmation ne dépend de votre position. Le bord avance donc avec vous. Cliquez sur Lecture et regardez le poteau approcher. Son image renversée rétrécit puis disparaît dès que le poteau s'approche à moins de 235,3 m, lieu du retournement réel du rayon rasant. La limite de la flaque reste quant à elle figée à 209,3 m devant vous.

La lumière du mirage emprunte la voie lente, qui n'est même pas la plus rapide localement 🖖

Deux rayons partent de l'œil et atteignent le point à 1,00 m de hauteur sur le poteau. Le rayon direct voyage presque en ligne droite. Le rayon du mirage plonge jusqu'à 35,7 mm de la route avant de remonter. Le principe de Fermat autorise ces deux trajets. Sur ces chemins, une petite variation n'entraîne aucune modification du premier ordre sur le temps de parcours. Le rayon du mirage s'allonge pourtant de 4,80 mm. Bien qu'il traverse en partie un air plus rapide, il arrive avec 12,57 ps de retard. Le tableau de résultats va encore plus loin. Déformez le rayon du mirage de 1,2 cm vers le haut ou le bas en son centre, tout en fixant ses extrémités. Son chemin optique raccourcit dans les deux cas, de 5,17 µm et 5,53 µm. Une déformation à double bosse, en revanche, le rallonge. Il se trouve sur un point col, et non un minimum. Le rayon direct, quant à lui, se prolonge quelle que soit la courbure appliquée. L'image renversée est transportée par une lumière dont le trajet est stationnaire sans être minimal. Ce même phénomène s'applique à l'action d'un corps en mouvement, comme le montre la page sur la moindre action.

L'air chaud sur une mer froide courbe la lumière autour de la Terre 🖖

En général, l'air s'amincit en altitude à cause de la chute de pression. Un rayon horizontal se courbe vers le bas à environ un cinquième de la courbure terrestre : le préréglage Mer gelée, air standard affiche 0,219. Depuis 14 m de haut, l'horizon se trouve à 15,11 km, contre 13,36 km pour des rayons droits. Réchauffez l'air en altitude, et le rayon s'incurve davantage. Dans un air à −20 °C, un gradient de 0,0921 K par mètre courbe un rayon horizontal exactement comme la Terre. La page requiert 0,1129 à 0 °C et 0,1295 à 15 °C. Ces valeurs rejoignent les 0,114 °C par mètre cités par Young à partir des travaux d'Alfred Wegener. Cliquez sur Mer gelée, air chaud : à 0,15 K par mètre, le rayon s'incurve 1,435 fois plus vite que la Terre. Une falaise de 30 m à 50 km, cachée derrière l'horizon un instant plus tôt, se dresse désormais droite à quelques minutes d'arc au-dessus de l'horizontale. L'équipage de Barentsz, hivernant en Nouvelle-Zemble, aperçut le Soleil le 24 janvier 1597. Selon les reconstitutions de van der Werf et ses collègues, le centre de l'astre se situait pourtant encore à 5° 26′ sous l'horizon, deux semaines avant son lever prévu.

Problème entièrement résolu

Quelle doit être la température de la route pour que la flaque commence à 100 m ? 4 étapes
L'œil d'un conducteur se trouve à 1,2 m au-dessus de la route et l'air est à 30 °C. La page place la flaque à 209,3 m devant vous sur une route à 50 °C. Quelle température la surface de la route devrait-elle atteindre pour qu'elle commence à seulement 100 m ? Cliquez sur Route chaude, en voiture pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. D'après la page, dans son état initial :
  
  $α_{c} = 0.328 4^{\circ}, \frac{H}{tan α _{c}} = \frac{1 . 2}{tan 0 . 328 4 ^{\circ}} = 209.3 m$
2. Inversons le problème. Pour que le bord s'affiche à 100 m, la ligne de visée rasante doit quitter l'œil à
  
  $α = arctan \frac{1 . 2}{100} = 0.687 5^{\circ}$
3. Cette ligne frôle la route, l'indice de réfraction à la surface doit donc satisfaire m(0) = m(H) cos α. Au niveau de l'œil, dans un air à 30 °C, m(H) = 1,000263003 :
  
  $m (0) = m (H) cos α = 1.000263003 \times 0.999928008 \Rightarrow n_{0} - 1 = 1.9099 \times 1 0^{- 4}$
4. Résolvez la formule du NIST pour trouver la température donnant cette réfractivité, en utilisant la pression à la route :
  
  $t_{0} = \frac{7 . 86 \times 1 0 ^{- 4} \times 101 . 325}{1 . 9099 \times 1 0 ^{- 4}} - 273 = 144.0^{\circ} C$
Réponse

Environ 144 °C. Simuler une route à 144 °C dans l'air de la page repousse bien le bord à 100,0 m. C'est plus chaud que l'eau bouillante et bien au-delà de la plage de température certifiée par le NIST. Le bord s'approche doucement : 290,1 m pour une route de 10 °C plus chaude que l'air, 209,3 m pour 20 °C, et 152,9 m pour 40 °C. La flaque reste très éloignée car Δn est infime : 1,62×10⁻⁵ pour une route de 20 °C plus chaude que l'air.

$t_{0} \approx 144^{\circ} C, n_{H} - n_{0} = 7.18 \times 1 0^{- 5} (50^{\circ} C : 1.62 \times 1 0^{- 5})$

Parcours

Moindre temps, moindre action

Références (3)

The refractive index of air: the Ciddor and Edlén equations and, in Appendix B, the shop-floor formula this page uses with the humidity term at zero, with the range of temperatures it is stated for: J. A. Stone and J. H. Zimmerman, "Index of Refraction of Air", Engineering Metrology Toolbox, National Institute of Standards and Technology, Appendix B "Simple Shop-floor Formula for Refractive Index of Air".
How mirages form: the hot-road mirage starting at the line of sight that meets the ground at the critical angle; why rays curve; the gradient at which a level ray follows the Earth; and ducts: A. T. Young, "An Introduction to Mirages" and "Calculating Ray Bending", web pages in the series "Mirages and Green Flashes", San Diego State University.
The Novaya Zemlya effect on Barents' third voyage: the Sun seen on 24 January 1597 while its centre was 5° 26′ below the horizon, reconstructed by ray tracing through a temperature inversion: S. Y. van der Werf, G. P. Können, W. H. Lehn, F. Steenhuisen and W. P. S. Davidson, "Gerrit de Veer's true and perfect description of the Novaya Zemlya effect, 24–27 January 1597", Applied Optics 42(3), 379–389 (2003).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.