Brachistochrone : la descente la plus rapide

Choisissez la distance horizontale et la profondeur de l'arrivée, puis faites glisser la poignée orange pour tracer votre propre courbe. Quatre billes sont lâchées en même temps sur la rampe droite, l'arc de cercle de Galilée, la cycloïde et votre courbe, sans aucun frottement. Observez laquelle arrive la première et découvrez pourquoi ci-dessous.

Exemple résolu — Brachistochrone : la descente la plus rapide

Rampe droite : temps	0,6387 s
Cycloïde : rotation du cercle, φB	138,20°
Rayon du cercle de la cycloïde	0,5729 m
Cycloïde : temps	0,5830 s
Arc de Galilée : temps	0,5921 s
Votre courbe : temps	0,5847 s
Rampe, retard sur la cycloïde	9,55%
Creux sous la ligne d'arrivée	0,000 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Brachistochrone : la descente la plus rapide

La brachistochrone (du grec pour temps le plus court) est la courbe le long de laquelle une bille, glissant sans frottement et sans vitesse initiale sous l'effet de la gravité, rejoint le plus rapidement un point situé plus bas. Il s'agit de la cycloïde x = R(φ − sin φ), y = R(1 − cos φ) (où y est mesuré vers le bas), qui correspond à la trajectoire d'un point sur le bord d'un cercle de rayon R roulant sous la ligne de départ, choisi pour passer par l'arrivée. Son temps de parcours est φ_B √(R/g), et le long de celle-ci, sin θ / v = 1/(2√(gR)).

Ce que signifie chaque symbole

φ: l'angle de rotation du cercle roulant, en radians ; φ_B à l'arrivée
R: le rayon du cercle roulant
θ: l'angle de la pente par rapport à la verticale
v: la vitesse de la bille, √(2gy) à la profondeur y sur toute piste sans frottement

La descente la plus longue gagne 🖖

Cliquez sur 1 m au loin, 1 m en bas et observez les quatre billes. La rampe droite représente la piste la plus courte avec 1,414 m, et elle arrive dernière en 0,6387 s. La cycloïde est plus longue de 0,060 m et arrive première en 0,5830 s, car elle plonge abruptement au départ et la bille passe le reste du trajet à grande vitesse. Chaque bille arrive à la même vitesse, 4,429 m/s, soit la vitesse qu'une chute de 1 m confère sur n'importe quelle piste sans frottement ; la forme de la courbe ne détermine que l'instant de l'arrivée. Johann Bernoulli l'a ainsi formulé dans son défi de juin 1696 : la ligne droite est la ligne de la plus courte distance, « mais elle n'est pas celle qui est parcourue en le moins de temps ». Galilée avait déjà démontré en 1638 qu'un arc de cercle bat la corde droite, et pensait que le cercle pouvait être la solution. Son quart de cercle bat la rampe ici, mais pas la cycloïde : 0,5921 s, avec un retard de 1,56 %. Remarquez votre courbe orange : elle ne suit la cycloïde que grossièrement et accuse 0,29 % de retard. Près de la trajectoire optimale, le temps ne change presque pas, tout comme pour le sauveteur en mer.

Assez loin, la trajectoire la plus rapide passe sous l'arrivée 🖖

Cliquez sur 4 m au loin, 1 m en bas. La cycloïde qui atteint l'arrivée plonge cette fois 0,504 m sous celle-ci avant d'y remonter, et elle gagne quand même : 1,2117 s, contre 1,8620 s pour la rampe et 1,4847 s pour l'arc de Galilée. Descendre plus bas que nécessaire semble être un gaspillage, mais cette profondeur permet d'acquérir de la vitesse pour la longue traversée horizontale, et remonter le dernier demi-mètre coûte moins de temps que de ramper sur une pente douce. La cycloïde présente ce creux dès que la distance horizontale de l'arrivée vaut plus de π/2 = 1,5708 fois sa profondeur, car ce n'est qu'à cette condition que son cercle roulant effectue plus d'un demi-tour avant l'arrivée. À 10 m au loin, 1 m en bas, elle descend 2,312 m sous l'arrivée et la rampe prend 115,71 % de temps en plus. Sussmann et Willems soulignent que le propre argument de Bernoulli de 1697 comporte une lacune précisément ici, au fond de ce creux, que la théorie ultérieure du contrôle optimal vient combler.

La bille obéit à la loi de Snell-Descartes 🖖

La solution de Bernoulli, parue en mai 1697, ne considérait pas la bille comme une bille. Sa vitesse à une profondeur y vaut √(2gy) quelle que soit la piste. Il imagina ainsi de la lumière traversant un milieu, découpé en fines couches, au sein duquel la vitesse augmente avec la profondeur exactement de cette façon. En traversant ces couches, la lumière conserve un rapport sin θ / v identique dans chacune d'elles, ce qui correspond à la loi de Snell-Descartes exprimée avec les vitesses. La trajectoire de moindre temps de cette lumière s'avère être la trajectoire de moindre temps de la bille. Le second panneau le vérifie sur la bille elle-même : le long de la cycloïde, sin θ / v reste constant à 0,211 s/m du début à la fin. Sur la rampe droite, dont l'angle ne varie jamais, ce rapport chute de 0,505 s/m à un dixième du parcours pour atteindre 0,168 s/m aux neuf dixièmes, la bille prenant de la vitesse. La règle qui a envoyé le sauveteur dans l'eau à 36,18 m trace également la cycloïde.

Problème entièrement résolu

Placez l'arrivée aussi bas que vous le souhaitez 4 étapes
L'arrivée se trouve à 4 m au loin, mais vous pouvez la placer à n'importe quelle profondeur. À quelle profondeur doit-elle se situer pour que la bille parcoure ces 4 m horizontaux en un minimum de temps, et quel est le gain de temps par rapport à une arrivée à 1 m en bas ? Cliquez sur 4 m au loin, 1 m en bas pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Avec l'arrivée à 1 m en bas, la page indique le temps de la cycloïde :
  
  $H = 1 m : T = φ_{B} R / g = 1.2117 s$
2. Si la profondeur est libre, la meilleure arrivée se situe là où la cycloïde est à l'horizontale, au fond de son arc, afin que la bille franchisse la ligne d'arrivée en se déplaçant tout droit vers l'avant. Cela correspond à un demi-tour du cercle roulant :
  
  $\frac{d y}{d x}_{B} = 0 \Rightarrow φ_{B} = π$
3. Un demi-tour déplace le cercle de πR vers l'avant, donc R se déduit des 4 m, et la descente est égale au diamètre du cercle :
  
  $π R = 4 \Rightarrow R = \frac{4}{π} = 1.2732 m, H = 2 R = 2.5465 m$
4. et le temps est de φ_B √(R/g) :
  
  $T = π \frac{1 . 2732}{9 . 80665} = \frac{4 π}{9 . 80665} = 1.1320 s$
Réponse

Placez l'arrivée à une profondeur de 2,5465 m, soit 1,5465 m plus bas qu'avant, et la bille couvre les 4 m en 1,1320 s, soit 0,0797 s plus vite que les 1,2117 s nécessaires pour une arrivée à 1 m en bas. Saisissez 2,5465 dans le champ de la distance verticale et la page le confirme : φ_B vaut 180,00° et la cycloïde prend 1,1320 s. Les notes de cours de Fowler aboutissent à la même forme générale : la courbe la plus rapide pour une distance horizontale donnée est la demi-cycloïde qui arrive à l'horizontale, et son temps équivaut à √(πL/g).

$H = 2.5465 m, T = 1.1320 s, 1.2117 - 1.1320 = 0.0797 s$

Parcours

Moindre temps, moindre action

Références (2)

The history and the mathematics: Bernoulli's challenge of June 1696 and its wording, Galileo's circular arc of 1638, the solutions of 1697, Bernoulli's own solution by Snell's law in thin layers, and the gap in it where the cycloid dips below the finish: H. J. Sussmann and J. C. Willems, "300 years of optimal control: from the brachystochrone to the maximum principle", IEEE Control Systems 17(3), 32–44 (1997).
The brachistochrone derived by the calculus of variations, and the fastest curve to a given horizontal distance when the drop is free, a half-cycloid that arrives level: M. Fowler, "The Calculus of Variations", lecture 2 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.