Le principe de moindre action

Choisissez une balle lancée ou une masse sur un ressort, réglez la durée du mouvement, et déformez la trajectoire réelle avec les deux curseurs en gardant ses extrémités fixes. La page calcule l'action (l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle au fil du temps) de la trajectoire réelle et de la trajectoire déformée, puis indique laquelle est la plus petite.

Exemple résolu — Le principe de moindre action

Action du mouvement réel	67,9432 J·s
Action du mouvement déformé	67,9432 J·s
Variation due à la déformation	0,0000 J·s
Même variation selon la formule Σ cₙaₙ²	0,0000 J·s
Hauteur de l'arc réel à son sommet	4,903 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le principe de moindre action

L'action d'un mouvement q(t) entre des positions finales fixes à des instants fixés est S = ∫ (K − V) dt, soit l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle, cumulées sur le temps. Le principe de Hamilton stipule que le mouvement réel est celui pour lequel S est stationnaire. Ainsi, toute petite variation du mouvement, en gardant les extrémités fixes, n'entraîne aucune variation du premier ordre de S. Pour une déformation a sin(nπt/T) sur une masse m avec V = ½mω²q², la variation est exactement de (mT/4)((nπ/T)² − ω²) a². En gravité uniforme, avec V = mgq, le résultat est identique pour ω = 0 : un potentiel linéaire en q n'y ajoute rien.

Ce que signifie chaque symbole

S: l'action, ∫(K − V) dt, en joules-secondes
aₙ: l'amplitude d'une déformation à n bosses, aₙ sin(nπt/T)
cₙ: le coût de cette déformation par mètre carré, (mT/4)((nπ/T)² − ω²)
ω: la pulsation du ressort, 2π/P ; zéro pour une gravité uniforme

L'arc de la balle présente une action inférieure à la ligne droite 🖖

Cliquez sur Balle lancée à 20 m. L'action correspond à l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle, cumulées sur l'ensemble du vol : 67,9432 J·s pour l'arc réel. La ligne droite entre ces deux mêmes extrémités, en restant toujours à l'horizontale, vaut 100,0000 J·s, soit davantage. Cliquez sur Le même, relevé de 1 m : monter plus haut ajoute 12,4862 J·s à la partie énergie potentielle, ∫V dt. Cependant, se déplacer assez vite pour faire l'aller-retour en 2 s ajoute 13,7199 J·s à la partie cinétique, ∫K dt. L'action, qui est leur différence, augmente ainsi de 1,2337 J·s. Réglez la déformation sur −1 et l'action retrouve sa valeur de 69,1769 J·s, augmentée de la même quantité. Ce changement n'a rien du premier ordre : il vaut exactement 1,2337 fois le carré de la déformation. L'arc réel se situe donc au fond d'une cuvette, tout comme le point de passage du sauveteur. Les physiciens appellent cela le principe de Hamilton. En gravité uniforme, cette cuvette ne se retourne jamais : le tableau montre que chaque déformation augmente l'action, et ce, pour un lancer de n'importe quelle durée.

Sur un ressort, la moindre action ne dure qu'une demi-période 🖖

Passez sur le ressort et cliquez sur Ressort 1,5 s, une bosse. La période du ressort est de 2 s, le mouvement dépasse donc une demi-période. À présent, la déformation à une bosse réduit l'action : déformée de 0,2 m, celle-ci chute de 0,0000 à −0,0822 J·s, et c₁ vaut −2,0562. Cliquez sur Ressort 1,5 s, 2 bosses et l'action augmente cette fois-ci, passant à 0,1151 J·s. Le mouvement réel est plus bas que certains voisins et plus haut que d'autres. C'est un point col, la même forme que le rayon de mirage sur une route brûlante. Même la ligne droite entre les mêmes extrémités vaut −2,1341 J·s, bien en dessous du mouvement réel. La raison réside dans la force de rappel vers le centre : une déformation à n bosses coûte (mT/4)((nπ/T)² − ω²). Dès que T dépasse une demi-période, π/T devient inférieur à ω et la première déformation s'inverse. L'article de Gray et Taylor à ce sujet s'intitule d'ailleurs très justement « Quand l'action n'est pas minimale ». Ils y montrent qu'elle est un minimum pour des mouvements suffisamment courts, et jamais un véritable maximum. Le principe valable à toute durée est que l'action est stationnaire.

À exactement une demi-période, une déformation ne coûte rien 🖖

Cliquez sur Ressort, demi-période. La masse passe de 1 m d'un côté à 1 m de l'autre en exactement 1 s. Déformez-la de 0,2 m avec une bosse et l'action ne varie absolument pas (0,0000 J·s), ce qui reste vrai quelle que soit l'amplitude de la déformation : la parabole du deuxième panneau est parfaitement plate. Ce mouvement déformé n'est pas l'approximation d'un mouvement réel, il est lui-même réel. Une masse sur ce ressort, relâchée à 1 m avec une impulsion, atteint −1 m après une demi-période, peu importe cette impulsion, car la période ne dépend pas de l'amplitude de l'oscillation. Chacun de ces mouvements relie les deux mêmes extrémités dans le même temps, avec la même action. Gray et Taylor appellent cette seconde extrémité le foyer cinétique de la première. Au-delà, comme l'ont montré les préréglages de 1,5 s, l'action est un point col.

Problème entièrement résolu

Chute à travers la Terre 4 étapes
Forez un trou droit à travers une Terre supposée uniforme et lâchez-y une balle. À l'intérieur, la gravité est proportionnelle à la distance au centre. La balle se déplace donc comme une masse sur un ressort avec ω² = g/R, où R = 6 371 km. Jusqu'à quelle durée de trajet l'action de la balle reste-t-elle un minimum, et où se trouve-t-elle à ce moment-là ? Cliquez sur Ressort 1,5 s, une bosse pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Sur le ressort de 2 s de la page, au-delà d'une demi-période, la déformation à une bosse abaisse déjà l'action :
  
  $P = 2 s, T = 1.5 s : c_{1} = \frac{m T}{4} (\frac{π ^{2}}{T ^{2}} - ω^{2}) = - 2.0562 J s/ m^{2}$
2. c₁ change de signe lorsque π/T = ω, ce qui correspond à une demi-période :
  
  $c_{1} = 0 ⟺ \frac{π}{T} = ω ⟺ T = \frac{π}{ω} = \frac{P}{2}$
3. Pour le tunnel, avec g = 9,80665 m/s² :
  
  $ω = \frac{g}{R} = \frac{9 . 80665}{6 , 371 , 000} = 1.2407 \times 1 0^{- 3} s^{- 1}, P = \frac{2 π}{ω} = 5064 s = 84.41 min$
4. La moitié de cette valeur :
  
  $\frac{P}{2} = 42.20 min, x (\frac{P}{2}) = R cos π = - R$
Réponse

L'action de la balle est un minimum pour tout trajet inférieur à 42,20 minutes. Ces 42,20 minutes correspondent exactement au temps nécessaire pour tomber d'un côté de la Terre à l'autre : x = R cos ωt atteint −R à une demi-période. Les trajets qui s'achèvent sur le côté opposé se trouvent au foyer cinétique. Les plus longs, sur le trajet du retour, sont des points cols. La balle traverse le centre à ωR = 7,90 km/s.

$T < 42.20 min ⟺ c_{1} > 0, v_{m a x} = ω R = 7.90 km/s$

Parcours

Moindre temps, moindre action

Références (2)

Whether the action of a true motion is a minimum: a minimum for short enough motions, a trough at the kinetic focus, a saddle beyond it and never a true maximum; the harmonic oscillator's kinetic focus at half a period, the formula for the change made by each Fourier bend, and no kinetic focus in uniform gravity: C. G. Gray and E. F. Taylor, "When action is not least", American Journal of Physics 75(5), 434–458 (2007).
Hamilton's principle derived from Newton's laws for a particle moving in one dimension in a given time, with the footnote that strictly the path need only be stationary: M. Fowler, "Hamilton's Least Action Principle and Noether's Theorem", lecture 4 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.