Vitesse terminale et loi de Stokes

Définissez un rayon, un matériau et un fluide pour voir à quelle vitesse une sphère sédimente, et la taille au-delà de laquelle la formule cesse d'être vraie.

Exemple résolu — Vitesse terminale et loi de Stokes

Direction	coule
La loi de Stokes prédit	0,8985 m/s
Nombre de Reynolds de la sphère	895,4
Prédiction par traînée quadratique	0,2146 m/s
Rayon maximal couvert par Stokes	5,19 × 10⁻⁵ m
Sa vitesse terminale	0,009671 m/s

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Vitesse terminale et loi de Stokes

La vitesse limite est atteinte lorsqu'une sphère en chute cesse d'accélérer, la traînée ayant augmenté jusqu'à équilibrer son poids dans le fluide. Ce poids est diminué de la poussée d'Archimède ; ce qui importe est donc la différence de masse volumique et non la masse volumique elle-même. La loi de traînée applicable dépend de la vitesse déjà acquise : la loi de Stokes, selon laquelle la traînée est proportionnelle à la vitesse, reste valable tant que l'écoulement autour de la sphère demeure laminaire.

Ce que signifie chaque symbole

Δρ: la masse volumique de la sphère moins la masse volumique du fluide
μ: la viscosité dynamique du fluide

Suppose: Une sphère lisse et rigide, isolée, dans un fluide infini. Chacune de ces hypothèses s'avère fausse dans une éprouvette graduée : les parois ralentissent la sédimentation, les particules voisines modifient mutuellement leurs écoulements, et un grain de sable n'est pas une sphère.

Le nombre de Reynolds est de 895,4 ; la loi de Stokes exige Re ≤ 1 🖖

Cliquez sur Sable 1 mm dans l'eau. La loi de Stokes prédit 0,8985 m/s, et à première vue ce résultat semble correct. Le sable coule. Vous auriez d'ailleurs pu deviner qu'un grain de cette taille sédimente à environ un mètre par seconde. La ligne en dessous affiche cependant 895,4. C'est le nombre de Reynolds de ce grain calculé à cette même vitesse. Or, Stokes a formulé sa loi pour un écoulement rampant, une condition qui n'est respectée à quelques pour cent près que si Re reste inférieur à environ 1. L'écoulement se sépare derrière une sphère autour de Re = 20. Notre grain traîne donc un sillage.

La formule v = 2r²Δρg / (9η) ne contient aucun mécanisme d'alerte, elle répond donc avec le même flegme à Re = 895 qu'à Re = 0,001. Pour ce même grain, la traînée quadratique donne 0,2146 m/s. C'est quatre fois plus lent. Ce chiffre n'est pas pour autant plus sûr : Re = 895 tombe dans la bande de transition entre les deux lois. Aucune des deux n'y est précise et aucune formule analytique n'y existe.

La limite est une racine cubique grisée sur le graphique 🖖

Réinjecter la vitesse de Stokes dans le nombre de Reynolds le réduit à une seule puissance du rayon : Re(r) = 4gρ_fΔρr³ / (9η²). Égalez cette expression à 1 et le rayon s'en déduit directement sous la forme r³ = 9η² / (4gρ_fΔρ). Re augmente de façon monotone avec r, il existe donc exactement une racine positive. Aucune recherche numérique n'est nécessaire. Pour le sable de quartz dans l'eau, cette limite se trouve à 5,19 × 10⁻⁵ m, et sa vitesse de sédimentation est de 0,009671 m/s. Cliquez sur Sable à la limite Re = 1 et la ligne de Reynolds affichera 1,0000. Stokes a calculé la traînée qui fonde ce résultat en 1851. Il cherchait alors à comprendre pourquoi un pendule oscille différemment dans l'air et dans le vide ; la sphère n'était qu'un résultat annexe.

Le graphique marque ce rayon par un trait rouge et grise tout ce qui se trouve au-delà. Les deux prédictions sont tracées sur tout le domaine. Sur des axes log-log, leurs pentes diffèrent : 2 pour la loi de Stokes contre ½ pour la traînée quadratique. Les deux droites se croisent donc une fois puis s'éloignent de part et d'autre de ce point. Remplacez le fluide par du miel. La limite rouge glisse jusqu'à 0,02360 m. Vous observez alors une boule de sable de 2,4 cm de rayon qui sédimente toujours en écoulement rampant, car la viscosité du miel dépasse celle de l'eau de quatre ordres de grandeur.

La vitesse varie en r², le nombre de Reynolds en r³ 🖖

Observez les puissances de r dans les deux formules. La vitesse de Stokes comporte un r², un grain dix fois plus large sédimente donc cent fois plus vite. Le nombre de Reynolds multiplie à nouveau cette vitesse par le diamètre, l'élevant ainsi à r³. Un grain dix fois plus large donne un nombre de Reynolds mille fois supérieur. Faites glisser le curseur et regardez ces deux lignes. Dans l'eau, un sable de 5 µm de rayon sédimente à 8,98 × 10⁻⁵ m/s avec Re = 8,95 × 10⁻⁴. À 50 µm, il tombe à 0,008985 m/s avec Re = 0,8954.

C'est à cause de ce cube que la fenêtre d'utilisation se referme si brutalement. Dans l'eau, le sable quitte la loi de Stokes à 5,19 × 10⁻⁵ m et entre dans le régime de Newton à 5,19 × 10⁻⁴ m. C'est exactement une décade plus tard, puisque 1 000 correspond à 10³. En diamètres, on passe de 0,104 mm à 1,04 mm. Sur l'échelle de Wentworth, cela couvre tout le spectre du sable très fin au sable très grossier. Toute la bande intermédiaire tient dans une seule décade du curseur.

Problème entièrement résolu

Temps de chute d'un grain de quartz dans 2 m d'eau calme 7 étapes
Cliquez sur Sable 1 mm dans l'eau. La loi de Stokes indique 0,8985 m/s, et elle vous fournira un résultat pour n'importe quel grain. En a-t-elle le droit ? Si ce n'est pas le cas, trouvez le grain le plus grossier pour lequel elle s'applique valablement, et chronométrez sa chute à travers une colonne d'eau calme de 2 m.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Une seule soustraction détermine tout ce qui suit. Le quartz pèse 2 650 kg/m³ et l'eau à 20 °C, 998,2. Le grain pèse donc plus lourd que l'eau qu'il déplace et la ligne Direction affiche coule. C'est cette différence qui l'entraîne vers le fond, et non sa propre densité. Plongez ce même grain dans du glycérol à 1 261 kg/m³, et cette valeur motrice passe de 1 651,8 à 1 389. La loi de Stokes y est directement proportionnelle. La formule de la traînée quadratique, un peu plus bas, évolue selon sa racine carrée.
  
  $Δ ρ = ρ_{s} - ρ_{f} \Rightarrow 2650 - 998.2 = 1651.8 kg m^{- 3}$
2. À la vitesse terminale, la force nette est nulle. Le poids moins la poussée d'Archimède égale donc la traînée. La loi de Stokes évalue cette traînée à 6πηrv. En isolant v, vous obtenez la ligne La loi de Stokes prédit. La formule demande un rayon, de sorte qu'un grain de 1 mm de diamètre s'y inscrit sous la forme 5×10⁻⁴ m. L'outil affiche alors 0,8985 m/s.
  
  $v = \frac{2 r ^{2} Δ ρ g}{9 η} = \frac{2 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.8985 m s^{- 1}$
3. Demandez-vous maintenant si la formule avait le droit de répondre. Stokes l'a développée pour un écoulement rampant. Or, la grandeur qui atteste qu'un écoulement est rampant est le nombre de Reynolds spécifique au grain, calculé à partir de la vitesse que vous venez de trouver. La longueur qui y figure est le diamètre, 2r, et c'est souvent là qu'un facteur deux passe à la trappe. La ligne Nombre de Reynolds de la sphère affiche 895,4 face à un plafond de 1. La ligne Régime nomme la bande dans laquelle le grain a atterri : Intermédiaire (1 < Re ≤ 1 000). Aucune formule analytique n'y est précise et les ingénieurs se tournent ici vers des corrélations empiriques.
  
  $R e = \frac{ρ _{f} v ( 2 r )}{η} = \frac{( 998.2 ) ( 0.8985 ) ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} )}{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 895.4 \Rightarrow 1 < R e \leq 1000$
4. L'autre formule classique des manuels est la traînée quadratique, avec C_d ≈ 0,47 pour une sphère lisse. Elle devient exacte à partir de Re = 1 000 et jusqu'à environ 2×10⁵. La ligne Prédiction par traînée quadratique affiche 0,2146 m/s. Un seul grain, deux formules, un facteur de 4,19 entre leurs réponses, et ce grain échappe au domaine de validité de chacune. Aucun de ces deux chiffres ne représente la vitesse de sédimentation d'un grain de sable de 1 mm.
  
  $v_{N} = \frac{8 r g ∣ Δ ρ ∣}{3 C _{d} ρ _{f}} = \frac{8 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ( 9.80665 ) ( 1651.8 )}{3 ( 0.47 ) ( 998.2 )} = 0.046035 = 0.2146 m s^{- 1} \frac{0.8985}{0.2146} = 4.187$
5. Trouvez donc le grain pour lequel la page peut donner un résultat. En réinjectant le v de Stokes dans le nombre de Reynolds, il ne reste qu'une fonction du seul rayon. Celle-ci est proportionnelle à r³ et par conséquent strictement croissante. L'équation Re = 1 admet donc exactement une racine positive que l'on peut écrire directement sans la chercher par itération. La ligne Rayon maximal couvert par Stokes affiche 5,19 × 10⁻⁵ m. Cela correspond à un grain de 0,104 mm de diamètre. Il se situe à l'extrémité la plus fine de ce que l'on peut décemment appeler du sable.
  
  $R e (r) = \frac{4 g ρ _{f} Δ ρ r ^{3}}{9 η ^{2}} = 1 \Rightarrow r_{m a x} = 3 \frac{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4 ( 9.80665 ) ( 998.2 ) ( 1651.8 )} = 3 1.3960 \times 1 0^{- 13} = 5.1875 \times 1 0^{- 5} m$
6. La ligne Sa vitesse terminale indique 0,009671 m/s. Reportez la racine non arrondie sur cette ligne : 51,8 µm renvoie 0,009643 m/s, et le rayon ainsi que la vitesse ne se trouveraient alors plus sur la même courbe. Ce grain limite sédimente 93 fois plus lentement que ce que prétendait la loi de Stokes pour celui de 1 mm. L'outil s'arrête ici. Divisez 2 m par cette vitesse et le grain aura besoin de 206,8 secondes, soit trois minutes et vingt-sept secondes. Aucune ligne de cette page n'affiche de temps.
  
  $v (r_{m a x}) = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.009671 m s^{- 1} t = \frac{2}{0.009671} = 206.8 s$
7. Cette division supposait que le grain se trouvait déjà à 0,009671 m/s au moment où il a été lâché. Linéarisez la chute par m·dv/dt = W_b − 6πηrv. L'approche de la vitesse terminale devient exponentielle, avec une constante de temps τ = m/(6πηr), ce qui donne 2r²ρ_s/(9η) une fois la masse explicitée. En ne comptant que l'inertie propre du grain, cela représente 1,582 milliseconde. La distance qu'il perd pendant son accélération vaut vτ = 15,3 µm, soit moins de huit millionièmes de la colonne. L'ajout de l'inertie de l'eau déplacée fait monter τ à 1,88 ms, ce qui ne décale rien de mesurable au chronomètre.
  
  $τ = \frac{2 r _{m a x}^{2} ρ _{s}}{9 η} = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 2650 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 1.582 \times 1 0^{- 3} s v τ = 0.009671 \times 1.582 \times 1 0^{- 3} = 1.530 \times 1 0^{- 5} m$
Réponse

La loi de Stokes couvre le quartz dans l'eau jusqu'à un rayon de 51,9 µm. Ce grain parcourt 2 m en 3 minutes 27 secondes. Le grain de 1 mm d'où vous étiez parti n'obtient aucune réponse. Ses deux formules affichent 2,2 secondes et 9,3 secondes, et rien sur la page ne permet de savoir à quel extrême se fier.

Ce sont ces 206,8 secondes qui transforment une colonne de décantation en instrument de mesure. Mélangez un échantillon de limon dans de l'eau calme, prélevez à la pipette à une profondeur fixe après un temps fixe, et la loi de Stokes convertira le chronomètre en taille de grain. C'est la méthode à la pipette. Elle sert toujours aujourd'hui à granulométrer la fraction de limon et d'argile d'un sol. Elle fonctionne tant que Re reste inférieur à 1, ce qui pour le quartz dans l'eau correspond à un rayon de moins d'environ 52 µm. Au-delà, le chronométrage est tout aussi reproductible, mais la taille qu'il indique est fausse.

$t = \frac{h}{v} = \frac{9 η h}{2 r ^{2} Δ ρ g}$

Références (1)

Where the drag on a slow-moving sphere comes from — a paper about pendulums: G. G. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 1851, pp. 8–106.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.