Drawdown et frein de volatilité

Une baisse de 50 % exige une hausse de 100 % pour être effacée. La même asymétrie est à l'œuvre chaque année, sans qu'aucun krach soit nécessaire.

Exemple résolu — Drawdown et frein de volatilité

Moyenne arithmétique	11,86%
Croissance annuelle composée	10,02%
Frein (moyenne − composé)	1,84%
Moitié de la variance	1,86%
Drawdown maximal	64,8%
Gain nécessaire pour revenir	+183,8%
Frein de volatilité	1,84%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Le frein n'est pas un krach — c'est le prix du trajet 🖖

Deux portefeuilles peuvent afficher le même rendement moyen et finir très loin l'un de l'autre, sans qu'aucun désastre ne frappe ni l'un ni l'autre. L'écart avoisine la moitié de la variance, et c'est pourquoi un 8 % régulier bat un 8 % agité. Mesurée sur ces données, l'approximation est serrée : le rapport entre le frein réel et la moitié de la variance ressort entre 0,90 et 1,09, pour des parts en actions allant de 0 à 100 % et sur toutes les sous-périodes. Cela éclaire aussi ce qui ressemble à un paradoxe : la moyenne arithmétique d'une série est le chiffre que vous citeriez, le taux composé est le chiffre que vous encaisseriez, et seul le second permet d'acheter quoi que ce soit.

Le portefeuille au drawdown le plus faible n'est pas celui sans actions 🖖

Fixez la part d'actions à 0 et la baisse la plus profonde indique 21,5%, atteignant son point bas en 2022. Augmentez-la et le chiffre diminue — 18,8 % à 10 %, puis 17,9% de 14 % jusqu'à 28 % — avant de commencer à grimper : 18,7 % à 30 %, 25,6 % à 40 %, 64,8 % à 100 %. L'année du point bas bascule entre 28 et 29 %, de 2022 à 1931. Deux désastres différents se disputent le titre, et le mélange le moins profond de cet historique est celui qui détient suffisamment de chaque actif pour que ni l'un ni l'autre ne l'emporte. Les deux extrémités de l'éventail d'actions ne le montrent pas ; seuls les pas de 1 % entre elles le révèlent.

Treize années où le coût de la volatilité a dépassé le rendement du marché 🖖

Cliquez sur Décennie perdue, 2000 avec 100 % d’actions. Deux des quatre cartes présentent alors un écart facile à manquer : le taux composé s’établit à 1,63 % par an, tandis que le coût de la volatilité atteint 1,78 %. La volatilité a coûté davantage que le portefeuille n’a rapporté. Rien ne l’interdit : ce coût représente environ la moitié de la variance, et le taux composé correspond à ce qui reste de la moyenne une fois ce coût acquitté. Toute période où la variance est élevée par rapport à la moyenne produit le même effet. Ramenez la part des actions à 60 % sur ces mêmes treize années : le coût tombe à 0,36 %, pour un taux composé de 4,57 %. Il passe ainsi de plus de la totalité du rendement à environ 8 % de celui-ci.

Problème entièrement résolu

Quatre rendements annuels qui déterminent l'ampleur du krach de 1929–1932 6 étapes
Quatre rendements annuels fixent la profondeur du krach de 1929–1932. Le gain qui l'annule est un autre chiffre, et le temps qu'il devrait prendre en est un troisième — déduisez ces trois valeurs. C'est l'état initial de l'outil : 100 % d'actions sur l'ensemble de l'historique de 98 ans depuis 1928, où la carte Croissance annuelle composée indique 10,02 %.
1. Une année multiplie votre capital par 1 + r et ne lui fait rien d'autre, de sorte que quatre mauvaises années consécutives forment un produit et non une somme. Convertissez les rendements en facteurs avant toute autre chose. Il s'agit des rendements annuels totaux du S&P 500 pour ces années-là, issus de l'ensemble de données figurant sous D'où viennent les chiffres.
  
  $r_{1929 \dots 1932} = - 8.30%, - 25.12%, - 43.84%, - 8.64% ⟹ 1 + r = 0.9170, 0.7488, 0.5616, 0.9136$
2. Multipliez. Remarquez ensuite ce qui manque : 1928 a affiché un rendement de +43,81 % et est délibérément absent, car un drawdown est un ratio par rapport au plus haut historique, et quelle que soit la valeur de ce sommet, elle se simplifie par division. La hauteur à laquelle vous êtes monté en premier ne rend le creux ni moins profond ni plus profond. La carte Pire drawdown confirme cela, et son info-bulle mentionne ces deux mêmes années.
  
  $\frac{V _{1932}}{V _{1928}} = 0.9170 \times 0.7488 \times 0.5616 \times 0.9136 = 0.352305 ⟹ L = 1 - 0.352305 = 64.8%$
3. Remonter exige de remultiplier pour revenir à 1, le gain requis est donc l'inverse moins un. Calculez-le à partir de 0,352305 et non à partir du 64,8 % affiché : une seule décimale suffit pour indiquer une profondeur, mais pas pour en calculer l'inverse. La version arrondie donne 184,1 %, soit un tiers de point au-dessus de ce qu'indique la carte.
  
  $g = \frac{1}{0.352305} - 1 = 2.83845 - 1 = + 183.8% (\frac{1}{1 - 0.648} - 1 = 184.1%)$
4. C'est l'asymétrie de manière générale. Perdre la moitié nécessite un doublement ; perdre 64,77 % nécessite presque un triplement. Chaque gain est mesuré par rapport au chiffre le plus petit, de sorte qu'à mesure que la perte augmente, le dénominateur rétrécit et l'exigence s'envole.
  
  $g (L) = \frac{1}{1 - L} - 1 : L = 0.5000 \Rightarrow + 100.0%, L = 0.6477 \Rightarrow + 183.8%$
5. Maintenant, introduisons la durée. Le taux de croissance annuel composé est le taux unique qui reproduit l'ensemble de la fenêtre de 98 ans ; demandez-vous donc combien d'années à ce taux permettent de multiplier par 2,83845.
  
  $n = \frac{ln 2.83845}{ln 1.1002} = \frac{1.04326}{0.09549} = 10.9 yr$
6. Ouvrez Temps nécessaire pour revenir au niveau initial et lisez l'année. Le sommet de 1928 est retrouvé en 1936 — quatre ans après le creux de 1932, et non onze.
  
  $1936 - 1932 = 4 yr \neq = 10.9 yr$
Réponse

Une baisse de 64,8 %, +183,8 % pour revenir au niveau initial, et cela a pris quatre ans là où 10,02 % par an en prévoient 10,9. Un taux composé est ajusté sur toute une période, ce qui est précisément la raison pour laquelle il ne peut pas dater une sous-période. 1933 a rapporté +49,98 %, 1935 +46,74 % et 1936 +31,94 %, 1934 restant stagne à −1,19 % ; ces quatre facteurs multipliés donnent 2,869, franchissant les 2,838 requis, avec un taux annuel implicite de 30,15 %. Les reprises ne se produisent pas au taux moyen. Elles surviennent au cours de deux ou trois années extraordinaires entourées d'une décennie ordinaire — et cette concentration en constitue la fragilité : retirez 1933 et les trois années restantes multipliées donnent 1,913, bien en dessous des 2,838, de sorte qu'une seule année manquante de ce type repousse la totalité de la reprise au-delà de 1936. L'outil affiche un taux moyen sur une carte et une année civile dans un panneau replié. Il ne calcule ni les 10,9 ans ni l'écart entre eux, et cet écart est la raison pour laquelle il est utile de les lire ensemble.

$L = 1 - k = 1929 \prod 1932 (1 + r_{k}) = 64.8%, g = \frac{1}{1 - L} - 1 = + 183.8%, \frac{ln ( 1 + g )}{ln 1.1002} = 10.9 yr \neq = 4 yr$

Parcours

Le risque, mesuré

Mène à L’ordre compte

Références (3)

Drawdown treated as the risk measure itself rather than as a symptom of variance: A. Chekhlov, S. Uryasev and M. Zabarankin, "Drawdown Measure in Portfolio Optimization." International Journal of Theoretical and Applied Finance 08(1), 13–58, 2005.
And a recent refinement of the same measure, for anyone who wants the conditional version: D. Rossello and S. Lo Cascio, "A refined measure of conditional maximum drawdown." Risk Management 23(4), 301–321, 2021.
Where the log-growth argument behind the compound rate comes from — why the geometric mean, not the arithmetic one, is what a repeatedly reinvested stake actually earns: J. L. Kelly Jr., "A New Interpretation of Information Rate." Bell System Technical Journal 35(4), 917–926, 1956.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

Actions seules, depuis 1928 - L'historique complet à 100 % actions, dont la plus forte baisse sous le plus haut atteint est l'effondrement de 1929-1932.
60/40, depuis 1928 - Les mêmes 98 années avec 40 % en bons du Trésor à 10 ans, ce qui réduit nettement le drawdown maximal.
Obligations seules, depuis 1928 - Les bons du Trésor seuls, dont le pire drawdown en valeur nominale n'est ni 1929 ni 2008, mais 2022 — alors qu'en termes réels, la longue inflation de 1946 à 1981 a coûté bien davantage.
Décennie perdue, 2000 - De 2000 à 2012 à 100 % actions : deux fortes baisses dans une même fenêtre, et très peu de croissance composée au bout du compte.