Primes de risque et leur degré de certitude

Chacune d'elles affiche une moyenne positive. Ce n'est pas la même chose qu'être fiable, et la différence se mesure.

Exemple résolu — Primes de risque et leur degré de certitude

Moyenne par an	8,44%
Écart-type	19,70%
Statistique t	4,24
Années gagnantes	66/98

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Un siècle de données est un petit échantillon 🖖

La prime de taille rapporte en moyenne 5,92 % par an sur 98 années, et elle est positive dans 49 d'entre elles. Un pile ou face qui rapporte 5,92 % en moyenne reste un pile ou face, et l'écart-type de 27,48 % explique pourquoi : pour distinguer cette moyenne de zéro à 2 erreurs types, il faudrait environ 87 années, et la prime de terme en réclamerait près de 118 — plus d'histoire que n'en contiennent les données. Ce n'est pas un argument pour dire que les primes sont fictives. C'est un argument pour dire que la confiance qu'on leur accorde d'ordinaire est empruntée à la taille de la moyenne, au lieu d'être gagnée sur la taille de l'échantillon.

Une prime plus importante peut être la moins certaine 🖖

La quantité d'historique dont une prime a besoin dépend uniquement du rapport entre son bruit et sa taille : placez la moyenne à deux erreurs types de zéro et l'exigence est n ≥ (2σ/μ)². Taille et certitude sont donc deux questions distinctes, et sur cet historique elles ne s'accordent pas. La prime de crédit s'élève en moyenne à 2,08% par an et nécessite environ 39 ans ; la prime de taille s'élève à près de trois fois plus avec 5,92% et nécessite 87 ans. Parcourez les quatre et l'exigence s'étend à 22, 39, 87, 118 ans tandis que les moyennes s'étendent à 8,44 %, 2,08 %, 5,92 %, 1,41 % — les quatre mêmes primes dans deux ordres qui ne correspondent pas.

La prime de taille était un phénomène de 1928–1976 🖖

Divisez l'historique en deux avec les champs de départ et de durée. Sur 1928–1976, les petites entreprises américaines ont surperformé les grandes de 10,70% par an ; sur 1977–2025, la même prime était de 1,14%, avec une statistique t de 0,42 et une exigence d'échantillon de 1 133 ans. Le chiffre vedette de 5,92 % est la moyenne d'une première moitié élevée et de presque rien depuis. Banz a mesuré cet effet en 1981, près du point de jonction. Cet outil ne peut pas vous dire si sa publication a fait disparaître la prime par arbitrage ou si la première moitié était l'accident, et personne d'autre ne le peut — mais il peut vous dire qu'une moyenne sur 98 ans n'a jamais été une description des deux moitiés.

Problème entièrement résolu

Une prime de risque des actions de 8,44 % et un écart-type de 19,70 % 6 étapes
Trois chiffres tirés des cartes établissent le degré de certitude de la prime d'actions : 8,44 % par an, un écart-type de 19,70 % et 98 ans. Extrayez-en la certitude — puis posez la question à l'envers, et trouvez la durée d'historique qu'exigerait une prime de cette forme. C'est l'état initial de l'outil : Actions (S&P 500 − bon du Trésor à 3 mois) sur l'ensemble de l'historique depuis 1928.
1. Rien d'autre concernant le marché n'intervient ci-dessous. Ni le niveau des cours, ni le nombre de krachs, ni la décennie par laquelle vous avez commencé — seulement une moyenne, une dispersion et un nombre d'observations.
  
  $μ = 8.44%, σ = 19.70%, n = 98$
2. Une seule année est extrêmement incertaine ; la moyenne de 98 années ne l'est pas, et l'amélioration est exactement la racine carrée du nombre d'observations. Divisez, et le panneau Quelle part relève de la mesure et quelle part relève du bruit affiche le même chiffre.
  
  $SE = \frac{σ}{n} = \frac{19.70%}{9.8995} = 1.99%$
3. La statistique t est cette moyenne réexprimée en unités de sa propre incertitude, de sorte que la prime d'actions se situe à quatre erreurs-types de zéro. Remarquez quel chiffre a fait le travail : non pas le fait que 8,44 % soit élevé, mais le fait que 98 ans réduisent une oscillation de 19,70 % à 1,99 %.
  
  $t = \frac{μ}{SE} = \frac{8.44}{1.99} = 4.24$
4. Maintenant, faites le calcul à l'envers. Fixez le seuil à deux erreurs-types et résolvez pour n, et les années nécessaires dépendent uniquement du ratio σ/μ. Ainsi, une prime plus élevée n'est pas automatiquement plus certaine : doublez la moyenne et la dispersion simultanément, et l'exigence ne varie pas. Ce même panneau affiche 22.
  
  $t = 2 : n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} = (\frac{2 \times 19.70}{8.44})^{2} = 4.668 2^{2} = 21.79 \to 22$
5. Choisissez Terme (obligation à 10 ans − bon du Trésor à 3 mois) dans le menu déroulant Prime. La moyenne tombe à 1,41 % et la dispersion à 7,63 %, et l'exigence fait un bond à 118 ans face à un historique de 98 ans. La prime de terme manque le seuil non pas parce que 1,41 % est faible, mais parce que 7,63 % est élevé à côté.
  
  $μ = 1.41%, σ = 7.63% : n_{m i n} = (\frac{2 \times 7.63}{1.41})^{2} = 10.822 7^{2} = 117.13 \to 118 > 98$
6. Enfin, cessez de résoudre pour n. Quatre-vingt-dix-huit ans n'est pas un choix — c'est la totalité de l'historique annuel — fixez donc cette valeur et résolvez pour la plus petite moyenne capable de franchir le seuil. À une volatilité similaire à celle des actions, cela équivaut simplement à deux fois l'erreur-type.
  
  $n = 98 : μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = 2 SE = 2 \times 1.99% = 3.98%$
Réponse

Une erreur-type de 1,99 %, t = 4,24, et 22 ans auraient suffi — mais avec une dispersion de 19,70 % et 98 ans de données, aucune prime moyenne inférieure à 3,98 % par an ne pourrait jamais être distinguée de zéro. Ce plancher appartient aux archives plutôt qu'à la stratégie, et chaque prime du menu déroulant comporte sa propre version de celui-ci : 2σ/√98 donne 5,55 % pour la taille, 1,54 % pour le terme, 1,30 % pour le crédit. Placez ces valeurs à côté des moyennes indiquées par l'outil pour chacune — 5,92 %, 1,41 %, 2,08 % — et vous avez établi les quatre verdicts sans calculer une seule statistique t, le terme étant le seul à se situer sous son propre plancher, et ce de 0,13 point. Attendre ne sert presque à rien, car le plancher diminue en √n : dix années supplémentaires de données font passer le plancher des actions de 3,98 % à 3,79 %, et le réduire de moitié à 1,99 % prendrait 392 ans. L'outil calcule le nombre d'années nécessaires pour une prime de taille donnée. Il ne calcule jamais la plus petite taille que cet historique pourrait observer, qui est le chiffre qui décide à l'avance quelles discussions sur les primes portent sur les marchés et quelles discussions portent sur le bruit.

$n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} ⟺ μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = \frac{2 \times 19.70%}{9.8995} = 3.98%$

Parcours

Le risque, mesuré

Mène à La frontière, conservée la taille de la barre d’erreur autour d’un rendement moyen de long terme.

Références (3)

The equity premium stated as a problem rather than a fact — it is too large for standard theory to explain, which is itself a reason to hold the estimate loosely: R. Mehra and E. C. Prescott, "The equity premium: A puzzle." Journal of Monetary Economics 15(2), 145–161, 1985.
The size effect, in the paper that first measured it: R. W. Banz, "The relationship between return and market value of common stocks." Journal of Financial Economics 9(1), 3–18, 1981.
And the standing warning that a mean return is measured far less precisely than it is quoted: R. C. Merton, "On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation." Journal of Financial Economics 8(4), 323–361, 1980.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-19

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Exemples de problèmes

Actions, historique complet - La prime d'actions sur 1928-2025 : la plus forte des quatre, et pourtant négative dans un tiers des années.
Taille, historique complet - La prime de taille sur tout l'historique — une moyenne élevée qui n'a été positive qu'environ la moitié des années.
Terme, historique complet - La prime de terme, dont la statistique t reste inférieure à 2 même sur 98 années de données.
Actions depuis 1990 - La prime d'actions depuis 1990, une fenêtre plus courte et d'autant moins certaine.