ホーマン遷移計算機

1 トンの人工衛星を高度 300 km のパーキング軌道から静止軌道高度へと移動させなければならない。 2 回の噴射量をそれぞれ求め、続いてパーキング軌道を出発する機体の質量のうち推進剤が占める割合を求めよ。r₁ = 6671 km、r₂ = 42164 km、地球の重力定数 μ = 398600 km³/s² とする。

1. ホーマン遷移軌道は、内側の軌道に近地点、外側の軌道に遠地点で接する半楕円である。長軸が一方の軌道から他方の軌道へと直接渡されているため、速度を計算する前に軌道長半径が決定される。

   $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{6671+42164}{2}=24417.5\mathrm{km}$$

2. それ以外のすべては、あらゆる軌道上の任意の半径における速度を与える 1 つの方程式、ヴィス・ヴィバ方程式から導かれる: v² = μ(2/r − 1/a)。円軌道では a = r となり、おなじみの円軌道速度に帰着する。これが、人工衛星がすでに飛行している速度である。

   $$v_{c1}=\sqrt{\frac{\mu }{r_1}}=\sqrt{\frac{398600}{6671}}=7.730km/s$$

3. 次に、同じ半径で、ただし a = a_t となる遷移楕円軌道上で同じ方程式を適用する。衛星はずっと大きい軌道の最下点に位置するため、より速く運動している必要がある。第 1 回の噴射はその差分をちょうど補うものである。エンジンが変えるのは軌道であり、位置ではない。

   $$v_p=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_t}\right)}=10.158km/s⟹\Delta v_1=v_p-v_{c1}=2.428km/s$$

4. 遠地点まで慣性飛行すると、楕円軌道上の速度は大幅に低下する。角運動量は保存されるため、高度を上げると速度が失われるのである。しかし、その高度での円軌道は楕円軌道に残された速度よりも高い速度を必要とするため、第 2 回の噴射もブレーキではなく加速となる。これがなければ、衛星は近地点へとまっすぐ落下してしまう。

   $$v_a=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_t}\right)}=1.607km/s,v_{c2}=\sqrt{\frac{\mu }{r_2}}=3.075km/s⟹\Delta v_2=1.468km/s$$

5. ロケットは Δv を直接消費することはできない。排気速度によって決まる交換レートで質量を消費する。比推力 320 s の常温保存可能なアッパーステージの場合、v_e = 320 × 9.80665 = 3.138 km/s となり、ツィオルコフスキーの公式が全体を換算する。

   $$\frac{m_0}{m_f}=e^{\Delta v/v_e}=e^{3.895/3.138}=3.46⟹\text{propellant}=1-\frac{1}{3.46}=0.711$$

あなたは火星探査ミッションのスケジュールを立てている。移動に要する時間を算出し、次いで実際に打ち上げ日を左右する要素、すなわち出発時に火星がどこに位置していなければならないか、そしてそれがどれくらいの頻度で起こるかを割り出せ。 地球の軌道を 1.000 AU、火星の軌道を 1.523 AU、火星の 1 年を 687 日とする。

1. 先ほどと同じ構成を、スケールを 1 つ上げて適用する。遷移楕円軌道は近日点で地球軌道に、遠日点で火星軌道に接するため、その軌道長半径は両者の平均となる。

   $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{1.000+1.523}{2}=1.262\mathrm{AU}$$

2. ケプラーの第 3 法則により公転周期が直接得られる。天文単位と年を用いれば定数は消え、単に T = a^3/2 となる。飛行するのは楕円の半分だけなので、これを半分にする。上の計算ツールと照らし合わせると、同じ幾何学的構造から、この遷移に対して 258.8 日と表示される。

   $$T=a_t^{3/2}=1.262^{3/2}=1.417\mathrm{yr}⟹t_{\text{transfer}}=\frac{T}{2}=0.709\mathrm{yr}=258.8\mathrm{d}$$

3. 移動時間の本当の目的はここにある。火星は到着地点で待ってはくれない。あなたが移動に費やすのとまったく同じ時間内に、火星自身の軌道によってそこへ運ばれてこなければならないのである。したがって、飛行中に火星が軌道上をどれだけ進むかを算出する。

   $${\theta }_{\text{Mars}}=360^{\circ }\times \frac{258.8}{687}=135.6^{\circ }$$

4. 到着するのは出発地点から 180° 進んだ位置である。火星は同じ時間内に 135.6° 進むため、出発の瞬間には、到着地点に対してその差分だけ手前に位置していなければならない。火星の現在位置を狙うと、到着したときには火星の数か月後ろに到達することになる。

   $$\varphi =180^{\circ }-{\theta }_{\text{Mars}}=180^{\circ }-135.6^{\circ }=44.4^{\circ }$$

5. この位置関係は特定のカレンダー上の日付ではなく、うなり周波数である。2 つの惑星は、それぞれの角速度の差で決まる会合周期ごとに、同じ相対的な位置関係へと戻ってくる。

   $$\frac{1}{S}=\frac{1}{365.25}-\frac{1}{687}⟹S=780\mathrm{d}$$