微分・接線エクスプローラー

曲線上の点をドラッグして傾きを確認

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傾きが平らでも山や谷とは限らない 🖖

導関数がゼロというのは接線が水平だということであり、極大や極小を保証するものではありません。このツールを x³ に切り替えて点を x = 0 へドラッグしてみてください。傾きは 0 と表示されますが、曲線は両側で上昇しており、そこで一息ついているだけです。これが変曲点です。だからこそ、導関数がゼロになる場所を探すことは最適化問題の前半分にすぎません。後半分は、その両側で傾きがどう振る舞うかを確かめることです。導関数だけでは、山頂と階段の踊り場を区別できないのです。

近づけばどんな曲線も直線に見える 🖖

なめらかな曲線を選んで十分に拡大すると、曲がりが消えて、その近くではまるで直線のように見えます。微分（導関数）とは、その直線の傾きにほかならず、ここで点をドラッグすれば直接読み取れます。車の速度計も同じ仕組みで、旅全体の平均速度ではなく、今この瞬間に位置がどれだけ速く変化しているかを示します。点を放物線の頂点までドラッグすると傾きは 0 になり、その平らな場所が極大または極小を表します。

どこにも接線を持たない曲線 🖖

ここにある関数はどれもきれいな接線を持ちますが、すべての関数がそうとは限りません。1872年、カール・ワイエルシュトラスは、いたるところで連続なのに、どこでも傾きが定まらない関数を構成しました。あらゆるスケールで無限にギザギザで、接線が決して定まらないのです。なめらかに見える連続曲線ならほぼいたるところで接線を持つはずだと考えていた数学者たちは、これに驚愕しました。この「どこでも微分不可能」な粗さは、のちに自然界にも現れます。ブラウン運動の軌跡や海岸線の輪郭がまさにこのように振る舞うのです。

微分 — どの規則を使うのか、そして傾きが本当に語っていること

あなたが見ているのはどの微分の型か

微分の考え方は一つだけです。接線の傾き、すなわち (f(x+h) − f(x))/h の極限です。ただし計算の仕方は渡された関数の種類で決まり、答えの読み方は正・負・ゼロのどれになったかで決まります。三つの基本規則でたいていの関数は片づきます。四つ目は、傾きがゼロでも多くの人が思う意味にはならない型です。

べき乗の規則 — 多項式の項 d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

三角関数 — 正弦と余弦が入れ替わる d/dx sin x = cos x

指数関数 — 関数が自分自身の微分になる d/dx e^x = e^x

傾きゼロでも極大でも極小でもない f′ = 0, f″ = 0

べき乗の規則 — 多項式の項

わかっていること: 関数は xⁿ、またはそうした項の和。指数を前に下ろし、指数を 1 減らす。

規則: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

計算例: f(x) = x²、x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2。よって接線は y = 2x − 1

この型を開く: x²（x=1）

べき乗の規則 — 多項式の項. x = 1 での接線は傾き 2 をもち、放物線に一点で接する。関数は xⁿ、またはそうした項の和。指数を前に下ろし、指数を 1 減らす。 — x = 1 での接線は傾き 2 をもち、放物線に一点で接する。

三角関数 — 正弦と余弦が入れ替わる

わかっていること: 関数は sin x か cos x。微分すると循環を一つ進む：sin → cos → −sin → −cos → sin。

規則: d/dx sin x = cos x

計算例: f(x) = sin x、x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1。よって接線は y = x

この型を開く: sin（x=0）

三角関数 — 正弦と余弦が入れ替わる. 原点で sin x の傾きは 1。だから接線は直線 y = x。関数は sin x か cos x。微分すると循環を一つ進む：sin → cos → −sin → −cos → sin。 — 原点で sin x の傾きは 1。だから接線は直線 y = x。

指数関数 — 関数が自分自身の微分になる

わかっていること: 関数は eˣ。微分しても何も変わらない。どの点でも f′(x) = f(x)。

規則: d/dx e^x = e^x

計算例: f(x) = eˣ、x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1。よって接線は y = x + 1

この型を開く: eˣ（x=0）

指数関数 — 関数が自分自身の微分になる. 曲線のどの点でも、高さと傾きは同じ数になる。関数は eˣ。微分しても何も変わらない。どの点でも f′(x) = f(x)。 — 曲線のどの点でも、高さと傾きは同じ数になる。

傾きゼロでも極大でも極小でもない

わかっていること: その点で f′ = 0 なので停留点。しかし f′ の符号は両側で同じなので、極値ではない。

規則: f′ = 0, f″ = 0

計算例: f(x) = x³、x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0。それでも両側で f′ > 0：曲線は平らになってからまた上がる

この型を開く: x³の変曲点

傾きゼロでも極大でも極小でもない. 原点で接線は水平だが、曲線は両側で上がり続ける。その点で f′ = 0 なので停留点。しかし f′ の符号は両側で同じなので、極値ではない。 — 原点で接線は水平だが、曲線は両側で上がり続ける。

参考文献 (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

全プロセスの詳細解説

x = 1におけるf(x) = x²の傾きと接線 5 ステップ
f(x) = x²、x = 1 において。公式からではなく定義に基づいてその場所での傾きを求め、接線を書き下し、さらに 10分の1 単位進んだ場所でその接線が曲線から正確にどれだけ離れているかを述べよ。
1. 単一の点には傾きが存在しない。傾きとは比較であるため、2つの点を必要とする。h だけ離れた場所に2つ目の点を取り、その区間における平均変化率を測定する。微分学のすべては、この商と1つの極限から成り立っている。
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. 2乗を展開する。定数項が相殺され、生き残ったすべての項に h が残るため、分母の h がきれいに約分される。この約分に伴う代償に注意されたい。これは 0 以外のすべての h に対して正当であり、0 こそがまさに目指している値なのである。
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. だからこそ、代入するのではなく極限をとるのである。2 + h は h に関する直線であるため、それが近づく値は何の近似もなくそのまま読み取ることができ、2x という公式を一度も書き下すことなく、x = 1 における傾きが 2 と導かれる。
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. 接線を求めるには1点と傾きが必要であるが、すでにその両方が揃っている。曲線は点 (1, 1) を通り、そこでの傾きは 2 である。
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. 曲線から直線を引く。その差は単に小さいわけでも、何かに近似されているわけでもない。それは正確に因数分解されるため、放物線はすべての x において接線より (x − 1)² だけ上に位置し、距離 h におけるズレは h² となる。
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
解答

f′(1) = 2、接線 y = 2x − 1 であり、両者の間のズレは正確に h² である。ステップ幅を 10分の1 に縮めると、接線の誤差は 100分の1（0.01 から 0.0001）へと減少する。この2乗の関係こそが、ある点の近くで曲線を直線で置き換えることの完全な正当化根拠となる。ただし、ズレの大きさよりもその符号のほうが重要である。(x − 1)² が負になることは決してないため、この放物線は接線に接するのみで交差することはない。これと並べて x = 0 における f(x) = x³ を考えてみる。接線は x 軸であり、ズレは x³ 自体となる。x³ は左側で負、右側で正となるため、直線は曲線をきれいに突き抜ける。どちらの関数もどこかに水平な接線を持つが、そこで極値を持つのは一方だけである。極小値を決めるのは導関数が 0 になることではなく、ズレの符号なのである。

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$

学習の道すじ

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

この次に riemann-sum

42Math チーム · 更新 2026-07-27

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例題

x²（x=1） - f(x)=x²、x=1のとき → 傾きf'(1)=2、接線y=2x-1
sin（x=0） - f(x)=sin x、x=0のとき → 傾きf'(0)=1、接線y=x
eˣ（x=0） - f(x)=eˣ、x=0のとき → 傾きf'(0)=1;eˣ自身がその導関数である
x³の変曲点 - f(x)=x³、x=0のとき → 傾きf'(0)=0、変曲点である(極大でも極小でもない)