微分・接線エクスプローラー

導関数は動的システムを分析するための基礎です。差分商の極限をゼロに近づけて評価することで、正確な瞬時変化率を計算します。この局所的線形近似は微積分の基礎です。

なめらかな曲線を選んで十分に拡大すると、曲がりが消えて、その近くではまるで直線のように見えます。微分（導関数）とは、その直線の傾きにほかならず、ここで点をドラッグすれば直接読み取れます。車の速度計も同じ仕組みで、旅全体の平均速度ではなく、今この瞬間に位置がどれだけ速く変化しているかを示します。点を放物線の頂点までドラッグすると傾きは 0 になり、その平らな場所が極大または極小を表します。

ここにある関数はどれもきれいな接線を持ちますが、すべての関数がそうとは限りません。1872年、カール・ワイエルシュトラスは、いたるところで連続なのに、どこでも傾きが定まらない関数を構成しました。あらゆるスケールで無限にギザギザで、接線が決して定まらないのです。なめらかに見える連続曲線ならほぼいたるところで接線を持つはずだと考えていた数学者たちは、これに驚愕しました。この「どこでも微分不可能」な粗さは、のちに自然界にも現れます。ブラウン運動の軌跡や海岸線の輪郭がまさにこのように振る舞うのです。