多項式の割り算トレーナー

最高次数から順に、係数をカンマ区切りで入力してください。

計算例 — 多項式の割り算トレーナー

商	2x²+x+6
余り	7
被除数	2

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

x − r で割るのに x は一つも要らない 🖖

除数が x − r のとき、筆算の配置全体が係数だけを使ったたった 1 行の計算に潰れます。1 つ下ろし、r を掛け、足し、繰り返す。これが組立除法であり、多項式の値を求めるホーナー法とまったく同じ手続きです。だからこそ最後に書く数は、余りであると同時に r における多項式の値でもあります。効率の差は見せかけではありません。10 次の多項式はこの方法なら乗算 10 回で済み、各べきを別々に計算すると 19 回かかります。数値計算ライブラリが実際に多項式を評価する方法もこれです。演算が少なければ、蓄積する丸め誤差も小さくなるからです。

余りは隠れた値である 🖖

多項式の割り算は、すでに知っている整数の筆算とまったく同じで、一項ずつ取り出して引くだけです。面白いのは (x - c) のような単純な因数で割ったとき、残る余りがちょうど p(c)、つまり c を代入した多項式の値になることです。だから余りがゼロなら c は根であり、数を代入せずにそれが分かります。

ファイルはこれで検証されている 🖖

あらゆる CRC チェックサム — 保存したファイル、ZIP 書庫、イーサネットのパケットの誤り検査 — は、姿を変えた多項式の割り算です。データのビットは有限体 GF(2) 上の巨大な多項式の係数となり、2 を法として計算されるため加算は単なる XOR です。この多項式を固定の生成多項式で割り、その余りがそのままチェックサムになります。このトレーナーが手作業でたどるのと同じアルゴリズムが、ネットワーク機器の中で毎秒何十億回も動いています。

全プロセスの詳細解説

2x³ − 3x² + 4x − 5のx − 2での除算 5 ステップ
2x³ − 3x² + 4x − 5 を x − 2 で割ると余りは 7 になります。組み立て除法を用いてこれを示し、さらに割り算を一切行わずに同じ 7 を求めてみましょう。
1. 組み立て除法は、計算の記録を省略した多項式の筆算です。必要なのは係数のみであり、x − r で割る場合の乗数は r となります。
  
  $\frac{2 x ^{3} - 3 x ^{2} + 4 x - 5}{x - 2} : synthetic division with r = 2$
2. 2 を下ろし、2 を掛けて −3 に加えて 1 を得ます。さらに 2 を掛けて 4 に加えて 6 を得て、2 を掛けて −5 に加えて 7 を得ます。最初の 3 つが商であり、最後の 1 つが余りです。
  
  $22 - 34 - 5 ⟶ 2, 1, 6 remainder 7$
3. これを書き下ろすと多項式の除法原理となり、この恒等式は特定の都合のよい x だけでなく、すべての x について成り立ちます。
  
  $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 = (x - 2) (2 x^{2} + x + 6) + 7$
4. そこで x = 2 を代入します。(x − 2) の因数は、商がどんな式であれ全体を消去するため、恒等式は P(2) = 余りという形に帰着されます。
  
  $P (2) = 2 (8) - 3 (4) + 4 (2) - 5 = 16 - 12 + 8 - 5 = 7$
5. P(2) の値を直接計算すると 7 が得られ、割り算を一切行うことなく、除法の結果と一致します。
  
  $P (2) = 7 \neq = 0 ⟹ (x - 2) is not a factor$
解答

このツールは、商 2x² + x + 6 と余り 7 を出力します。ステップ 4 で証明したのは剰余の定理であり、これはそれが提供する計算の簡略化以上の価値を持っています。余りはまさに P(r) であるため、(x − r) が多項式を割り切るかどうかを問うことは、P(r) = 0 であるかどうかを問うことと同義だからです。ここでは余りが 7 であるため、割り切りません。この同値性によって、因数探しは代入計算へと置き換わります。余りが 0 になるまで除数の値を試せば、根を見つけると同時に多項式の因数分解を完了したことになります。

$P (x) = (x - r) Q (x) + P (r) : the remainder IS P (r)$

学習の道すじ

二次式を超えて

この次に有理関数双方向に働く因数定理。既知の解 r があれば x − r で割り切れ、次数が一つ低い多項式が残ります。未知の余りは、r における多項式の値です。ある多項式を別の多項式で割るという操作は、まさに最後の道具が扱うテーマでもあります。

参考文献 (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

42Math チーム · 更新 2026-06-09

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例題

3次式を1次式で割る - 商は 2x² + x + 6、余りは 7——除数は因数ではない。
余りの確認 - x=2における剰余の定理形式の設定。
既知の根を持つ3次式 - 既知の根を持つ3次式を(x-1)で割ると、余りが0になる場合。