ガウスの驚異の定理

曲面と距離 r を選んでください。アリが一つの点からすべての直線を r だけ歩くと、このページは終点が作る輪の長さを、紙の上での長さ 2πr と比較し、その差から曲面の曲率を計算します。

計算例 — ガウスの驚異の定理

720 本の直線の終点を結んで測った輪の長さ C	6.2832
平らな紙の上での長さ 2πr	6.2832
公式から求めた輪の長さ	6.2832
C / 2πr	1.00000
不足分 2πr − C	0.0000
同じ円周を持つ平らな円の半径	1.0000
輪の長さのみから計算された曲率	0.000 / R²
中心における二つの主曲率	1/R と 0

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — ガウスの驚異の定理

曲面上のある点におけるガウス曲率 K は、その点での二つの主曲率の積です。主曲率とは、その点を通るあらゆる方向の中で曲面が最もきつく曲がる度合いと最も緩く曲がる度合いであり、それぞれ曲がる側に応じた符号が付きます。ガウスの驚異の定理（1827年）によれば、K は曲面内で測られた長さにのみ依存するため、曲面を引き伸ばすことなく曲げても K は変わりません。内側からそれを求める測定方法の一つとして、ある点から距離 r にある点が作る輪の長さは C = 2πr − (π/3)K r³ + … となるので、K は r が縮んでいくときの 3(2πr − C)/(πr³) の極限として求められます。

各記号の意味

K: 中心におけるガウス曲率。二つの主曲率の積 κ₁κ₂。半径 R の球面では 1/R²
C: 中心から距離 r にある点が作る輪を、曲面に沿って測った長さ
r: 中心から曲面に沿って歩いた距離

円柱はこのページと同じくらい平らであり、アリはそれを証明できる 🖖

円柱, r = R を押し、次に 球面, r = R を押してください。どちらの曲面も頂上付近では 1/R で曲がっており、外から見ればどちらも明らかに丸みを帯びています。中心からあらゆる方向に 1 だけ歩いたとき、円柱の上のアリが描く輪の長さは 6.2832 となり、これは紙の上で描くものと完全に同じです。一方、球面上の輪は 5.2871 になります。円柱は縦方向には全く曲がっていません。そのため二つの主曲率は 1/R と 0 になり、それらを掛け合わせたガウス曲率 K は 0 となります。1827年にガウスは、曲面内で測った長さから K を計算できることを証明しました。したがって、曲面を伸ばさずに曲げるだけでは K は変化しません。この結果はそれ以来 theorema egregium（驚異の定理）として知られています。紙を丸めて筒にしても、何も引き伸ばされてはいません。筒は K = 0 を保っており、その表面を測るアリは、それがかつて丸められたものだと気づくことはできません。ピザの耳を折り曲げると先が垂れ下がらなくなるのも同じ理由です。一方向に曲げられたことで、縦の長さ方向にはまっすぐにならざるを得ないのです。

地球の平らな地図で距離を正確に保てるものはなく、輪の長さがその誤差を教えてくれる 🖖

地球, 1,000 km を押してください。オレンジ色の輪にあるすべての点は、地面に沿って測って中心から 1,000 km の距離にあり、輪の周長は 6,257.42 km になります。半径 1,000 km の平らな円の周長は 6,283.19 km です。したがって、中心からの距離をすべて正確に保つ地図は、その縁を 25.77 km 長く描かなければなりません。逆に縁の長さを正確な円として保つ地図は、半径を 995.90 km とし、4.10 km 短く描くことになります。どんな平らな地図でもどちらかの距離が間違っており、なぜどんなに巧妙な図法でもこれから逃れられないのかを、この定理は説明しています。輪を短くする曲率は、引き伸ばすことなく取り除くことはできないのです。地球, 2,000 km を押してください。半径を二倍にすると、縁は 205.4 km 不足し、誤差は 7.97 倍になります。この不足分は半径の三乗に比例して大きくなります。これが、町の地図なら地球の丸みを無視できても、大陸の地図ではそうはいかない理由です。Map Projection Distortion Lab では、それぞれの図法が代わりに何を犠牲にしているかを見ることができます。

鞍型面では輪が長くなりすぎる 🖖

鞍型, r = R/2 を押してください。アリがあらゆる方向に 0.5 だけ歩くと、輪の長さは 3.2573 となり、平らな円の 3.1416 よりも長くなります。球面が輪を短くし、鞍型面がそれを長くするのは、直線の広がり方が紙の上と異なるためです。直線の間隔は、反対側の極で再び出会うまで、鞍型面では紙の上よりも早く広がり、球面では遅く広がります。2πr − C の符号は K の符号と同じなので、アリはどちらの曲がり方も見ることなく、自分の世界がどう曲がっているかを知ることができます。ガウス曲率 K は、輪が縮んでいくときの 3(2πr − C)/(πr³) の極限です。これは、1848年にベルトランとピュイズーが発表した輪の長さの展開式を K について解いたものです。下の表は、その極限に近づいていく様子を示しています。どこでも曲率が 1/R² である球面では、推定値は r = R/2 のとき 0.9876、R/10 のとき 0.9995 となります。鞍型面ではそれぞれ −0.8838 と −0.9945 です。つまり、半径 R/2 の輪は、鞍型面の曲がり方が中心よりも緩やかな場所にすでに達しているのです。

全プロセスの詳細解説

巻尺が地球の丸みを感じ取るには、どれくらいの大きさの円が必要か？ 4 ステップ
測量士の巻尺の精度は百万分の一、つまり一キロメートルにつき一ミリメートルです。地球上で円を歩いて測るとき、その縁が 2πr よりもはっきりと短くなるには、どれくらい大きな円が必要でしょうか？まず 地球, 1,000 km を押してください。このページには、その大きさの円盤の C/2πr が表示されます。

この問題をツールで開く
1. 1,000 km のとき、縁は 2πr よりも 1 − 0.99590 だけ短くなります。球面では C = 2πR sin(r/R) であり、sin x / x = 1 − x²/6 + … となるため、主要項をとるとその割合は (r/R)²/6 になります：
  
  $1 - 0.99590 = 0.00410 \approx \frac{1}{6} (\frac{1 , 000}{6 , 371 . 0088})^{2} = 0.00411$
2. この割合を百万分の一と等しく置き、r/R について解きます：
  
  $\frac{1}{6} (\frac{r}{R})^{2} = 1 0^{- 6} \Rightarrow \frac{r}{R} = 6 \times 1 0^{- 6} = 0.0024495$
3. 地球上の半径はそれに R を掛けたものになります：
  
  $r = 0.0024495 \times 6, 371.0088 km = 15.606 km$
4. 確かめてみましょう。平面上の円の周長は 2π × 15.606 km ですから、その100万分の1は
  
  $2 π \times 15.606 km = 98.055 km, 98.055 km \times 1 0^{- 6} = 9.8 cm$
解答

半径約 15.6 km、つまり直径 31 km の円です。 98 km の縁は 2πr よりも 9.8 cm 短くなりますが、このあたりで巻尺はその違いに気づき始めます。不足分は半径の三乗に比例するため、十分の一の大きさの円であれば不足分はその千分の一、つまり十分の一ミリメートルとなり、町の測量であれば地面を平らな紙として扱うことができます。

$r \approx 15.6 km, 2 π r - C \approx 9.8 cm$

学習の道すじ

曲面上の幾何学

参考文献 (3)

The measure of curvature as one over the product of the two extreme radii of curvature (Art. 8), and the theorem that it stays unchanged when a surface is developed upon another, with surfaces developable on a plane having curvature zero everywhere (Art. 12): C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, translated by J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel, Princeton University Library, 1902, Arts. 8 and 12, pp. 15 and 20–21 (Project Gutenberg ebook 36856).
The length of the ring traced by a short thread of length s turned about a point on a surface, 2πs − πs³/(3R₁R₂) to fourth order, from which the product of the principal radii, and so Gauss's curvature, is recovered by a measurement made on the surface: J. Bertrand, "Démonstration d'un théorème de M. Gauss", Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, 13 (1848), 80–82; and V. Puiseux, "Sur le même théorème", same volume, 87–90.
The folded pizza slice as the theorem in the kitchen: a surface with zero Gaussian curvature bent one way must stay flat the other way, so curling the crust stiffens the slice along its length: A. Bhatia, "How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice", WIRED, 5 September 2014.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。