1次元、2次元、3次元における波動方程式

5aで観測（叩く）を押し、青緑色の弦に注目してください。衝撃により左右に斜面が広がり、その後方の弦は0.5333 v₀a/cだけ持ち上がった平坦な状態になります。観測点の変位は波が通過する間に上昇し、ct = 20aでも80aでもその高さに留まります。5aで観測（弾く）に切り替えると、持ち上げられて放たれた同じ波の山は、半分の高さを持つ二つの波形に分かれて遠ざかります。観測点は0.5000まで上昇し、正確に0へと戻ります。ダランベールは1747年に、弦のあらゆる運動は反対方向に進む二つの波形であると示しました。初期の形fと初速度gを用いて表すと、u = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫_x−ct^x+ctg となります。形fは移動する二つの半分とともに去っていきます。速度gは点からct以内の弦の範囲で積分され、その範囲が広がって初期の領域全体を囲い込むと、積分値は全衝撃である½∫g = 8/15になります。現実の弦には固定端があり、そこでの反射が弦を引き戻します。しかし、この弦には端がないため、何かが戻ってくることは決してありません。

5aで観測（叩く）を押し、二つの曲面を見てみましょう。それぞれが外側に向かって輪を運んでおり、どちらの輪もct = 6aまでに観測点を通過します。波の後端がすでに通り過ぎた点線の円の内側では、空間は平坦です。それ以降、空間の観測点の値は完全に0になり、表の最後の列はどの桁もゼロになります。一方、膜はその円の内側でも持ち上がったままです。ct = 20aで膜の観測点は0.00861を示し、これは最大値0.0867の9.93%です。5aで観測、80aまで（叩く）を押すと、値は0.00209になります。4倍の時間を待つことで、値は約4分の1に減少しています。この裾は1/tに比例して減衰し、決してゼロには到達しません。二つの解の公式がその理由を説明してくれます。空間におけるある点の解は、その点を中心とする半径ctの球面上での初期状態の平均から作られます。球が波の山を通り過ぎてしまえば、球面上には何も残りません。膜における解は、半径ctの円の内側にある円盤全体にわたる積分です。そのため、波の山は永遠にその内側に留まり続け、1/√(c²t² − ρ²) の重みがかけられます。アダマールは1923年に出版されたイェール大学での講義録の中で、この残された部分を「残差積分」と呼び、球面波とは異なり円筒波は拡散すると記しています。

5aで観測（弾く）を押し、青い波形を見てみましょう。初期の波の山にはゼロを下回る部分は全くありませんでしたが、空間の観測点では0.02862までの上昇に続いて同じ深さの下降が記録されます。その面積は0.01667と−0.01667であり、完全に相殺されます。r > aの場合、解は u = (r − ct) g(ct − r)/(2r) となります。これは初期の形に、波の山の中心が到達したちょうどその瞬間にゼロを横切る直線を掛けたものです。音圧もこの方程式に従うため、静止状態で放たれた圧縮空気の塊は、圧縮とその後に続く等しい希薄化として観測点に届き、最終的に押し出す力は残りません。弦は符号を変えることなく、これと同じ波を伝えます。膜は山を記録したあと、ゼロを下回る裾を描き、1/t²に比例して減衰します。これが、アダマールが2次元の残差について導き出した符号の性質です。