Explorador de funções racionais

As funções racionais expõem a tensão entre as raízes do numerador (zeros) e do denominador (polos). Ao se aproximar de um polo, a função detona para o infinito. A proporção dos polinômios determina as assíntotas horizontais.

A ferramenta calcula f(x)=k(x−z)/(x−p): a distância a um zero dividida pela distância a um polo, escalada por k. Não importa quais valores você escolha, o gráfico mantém sempre a mesma forma — uma hipérbole, a mesmíssima curva de y=1/x. Mover z e p apenas a desloca; mudar k a estica e inverte para que lado os dois ramos se abrem. Conclusão: quem domina y=1/x domina todas.

Escrita como (ax+b)/(cx+d), toda função com um zero e um polo é uma transformação de Möbius — as aplicações que governam a análise complexa e a geometria hiperbólica. Acrescente um único ponto no infinito (a esfera de Riemann) e o polo deixa de ser uma catástrofe: x=p simplesmente é levado a esse novo ponto, e x=∞ à assíntota horizontal y=k. Na esfera a função é uma bijeção suave e reversível — a «explosão» é apenas um artefato do mapa plano.