Curvas sobrelevadas

Defina o raio da curva, a sobreelevação, a aderência entre os pneus e a estrada, a velocidade e a massa. A página decompõe as forças, indica o sentido necessário do atrito e se os pneus o conseguem fornecer, além de apresentar todas as velocidades admissíveis na curva.

Exemplo resolvido — Curvas sobrelevadas

Sobreelevação em notação rodoviária	8,00%
Ângulo de atrito	38,66°
Velocidade de projeto, sem atrito	45,09 km/h
Velocidade mínima admissível	0,00 km/h
Velocidade máxima admissível	154,59 km/h
Aceleração dirigida ao centro	3,125 m/s²
Reação normal da estrada	15.037 N
Atrito exigido aos pneus	3.500 N para baixo da inclinação

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Curvas sobrelevadas

Uma curva sobrelevada é uma curva cuja superfície está inclinada para o centro por um ângulo θ. A reação da estrada sobre o veículo, sempre perpendicular à superfície, fica assim inclinada para dentro e fornece parte ou toda a força necessária à viragem. A uma determinada velocidade, a velocidade de projeto v₀ = √(r g tan θ), fornece-a por completo e dispensa o atrito. Uma força de atrito até μ vezes a reação da estrada alarga essa velocidade única para um intervalo, r g tan(θ − φ) ≤ v² ≤ r g tan(θ + φ), em que φ = arctan μ é o ângulo de atrito. A massa não entra em nenhuma destas expressões.

O que significa cada símbolo

r: raio da curva, medido horizontalmente entre o centro e o veículo
θ: ângulo de sobrelevação em relação à horizontal; os engenheiros rodoviários exprimem tan θ em percentagem, a sobreelevação
μ: maior força de atrito que os pneus podem fornecer, como fração da reação normal da estrada
φ: ângulo de atrito, arctan μ: a maior inclinação em que um veículo pode permanecer parado
v_0: velocidade de projeto, à qual a sobrelevação produz toda a força de viragem e o atrito é nulo

Pressupõe: O veículo é tratado como um ponto numa curva de raio e sobreelevação constantes, movendo-se a velocidade constante numa circunferência horizontal. Usa-se a aceleração gravítica normal, 9,80665 m/s². Adota-se um único coeficiente de atrito para todas as direções; os valores publicados provêm de medições de travagem com 17% de escorregamento, e admite-se que a aderência lateral de um pneu em rolamento tem a mesma magnitude. Despreza-se o ar: não há força descendente, resistência aerodinâmica nem vento lateral.
Falha quando: Um veículo com centro de massa elevado pode capotar antes de derrapar. Numa curva sobrelevada, esse limite também depende da largura da via, e um camião atinge-o mais cedo. No projeto de estradas usa-se um atrito lateral muito inferior à aderência medida, tanto para o conforto dos condutores como para reservar uma margem para pneus gastos. As asas de um automóvel de competição comprimem-no contra a estrada com uma força proporcional ao quadrado da velocidade, elevando o limite máximo. Além disso, a entrada numa curva real faz-se por uma curva de transição, cujo raio diminui gradualmente, e não de imediato para um valor único.

Abaixo de 45,09 km/h, o atrito nesta curva aponta para fora 🖖

Selecione Curva seca, 30 km/h e depois Curva seca, 90 km/h. À velocidade de projeto, 45,09 km/h para um raio de 200 m e uma sobreelevação de 8%, a inclinação faz todo o trabalho. A estrada exerce uma força perpendicular à superfície, inclinada para o centro, cuja componente horizontal fornece exatamente o m v²/r necessário à curva. O atrito é nulo. A uma velocidade inferior, essa componente seria excessiva; sem atrito, o automóvel escorregaria para o interior da curva. Para o impedir, o atrito aponta para cima da inclinação e vale 654 N a 30 km/h. A uma velocidade superior, a componente já não basta, e o atrito aponta para baixo da inclinação: 3 500 N a 90 km/h. A ideia de que o atrito puxa um automóvel para o interior da curva está certa numa estrada plana, mas não nesta curva abaixo de 45,09 km/h. Selecione agora Camião de 40 t, 90 km/h: todas as forças são 26,67 vezes maiores do que no automóvel, enquanto a aderência necessária permanece em 0,2327, pois a massa multiplica ambos os membros de todas as equações. Um camião não precisa de mais sobreelevação do que um automóvel. Tem, porém, um centro de massa mais alto e, numa estrada seca, pode capotar antes de derrapar. Esse fenómeno não é modelado nesta página.

Sobre gelo negro molhado, um automóvel parado numa inclinação de 10% escorrega 🖖

Uma curva sobrelevada tem uma velocidade mínima, além de uma máxima. Um automóvel parado precisa de uma força de atrito mg sin θ para cima da inclinação, enquanto a reação normal é mg cos θ; só permanece imóvel se tan θ não exceder μ. O estudo de revisão publicado em 2001 por Carl-Gustaf Wallman e Henrik Åström para o instituto sueco de investigação rodoviária VTI atribui ao gelo negro molhado valores de 0,05 a 0,10. Selecione Parado no gelo, 10%: o automóvel parado precisa de 0,1000 de aderência, o gelo oferece 0,05 e o veículo escorrega para o interior da curva. O mesmo sucede abaixo de 35,56 km/h; no segundo painel, vê-se o limite mínimo afastar-se de zero. O manual de projeto rodoviário do estado de Washington permite sobreelevações até 10%, mas limita-as a 6% onde se acumula neve ou gelo, porque «os veículos que circulam devagar ou param em curvas com sobreelevação superior a 6% tendem a escorregar para dentro». Defina a inclinação como 3,434°, correspondente a 6%: o automóvel fica parado com qualquer aderência superior a 0,06, mas ainda escorrega no pior gelo, com 0,05. Nessas condições, um automóvel parado só se mantém imóvel em inclinações de 5% ou menos.

Acima de 51,34° numa estrada seca, nenhuma velocidade é excessiva 🖖

Uma velocidade maior exige mais atrito, mas também comprime o automóvel com mais força contra a estrada. Numa inclinação acentuada, este aumento da reação normal acaba por prevalecer. Quando a velocidade cresce sem limite, a aderência necessária tende para 1/tan θ; assim que 1/tan θ fica abaixo de μ, a estrada consegue fornecer o atrito exigido a qualquer velocidade. Num piso seco, com μ = 0,8, isso acontece a 51,34°: na tabela, a velocidade máxima da curva de 200 m é 478,30 km/h a 45° e desaparece a 60°. Aos 90°, a estrada tornou-se uma parede, e a Parede da morte é o caso extremo. O atrito tem agora de sustentar todo o peso, e o seu valor máximo é μ vezes a reação da parede, m v²/r. Existe, portanto, uma velocidade mínima, √(rg/μ), mas nenhuma máxima. Uma parede com 5 m de raio exige 28,18 km/h. A 40 km/h, o condutor necessita de 0,3972 de aderência, e a parede exerce uma força equivalente a 2,518 vezes o peso do conjunto.

Problema resolvido na íntegra

Que efeito tem uma curva inclinada num avião? 6 passos
Um avião ligeiro descreve uma curva nivelada a 100 nós, ou 51,44 m/s, com 60° de inclinação lateral. Determine o raio da curva, o tempo de uma volta completa, a força exercida pelo assento sobre o piloto, a maior inclinação permitida por uma estrutura limitada a 3,8 g e a variação da velocidade de perda, inicialmente 50 nós. Selecione Curva seca, 90 km/h para verificar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. Numa curva nivelada, o avião equivale à estrada sem atrito, com a sustentação da asa no lugar da reação da estrada. Em cada curva, encontra-se por isso na condição da velocidade de projeto: tan θ = v²/(rg). A estrada de 200 m e 8% mostrada na página satisfaz a mesma equação a 45,09 km/h:
  
  $tan θ = \frac{v _{0}^{2}}{r g} : \frac{( 12 . 53 m/s ) ^{2}}{200 \times 9 . 80665} = 0.0800 = 8 . 00% \Rightarrow v_{0} = 45.09 km/h$
2. Resolvendo a equação em ordem ao raio para 60°:
  
  $r = \frac{v ^{2}}{g tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{51 . 4 4 ^{2}}{9 . 80665 \times 1 . 732} = 155.8 m$
3. Para percorrer essa circunferência a 51,44 m/s, são necessários
  
  $t = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 155 . 8}{51 . 44} = 19.03 s ω = 18.9 2^{\circ} / s$
4. A componente vertical da sustentação tem de equilibrar sozinha o peso, pelo que a sustentação vale mg/cos θ. Corresponde à reação da estrada à velocidade de projeto, e a expressão não depende da velocidade:
  
  $L cos θ = m g \Rightarrow n = \frac{L}{m g} = \frac{1}{cos 6 0 ^{\circ}} = 2.000$
5. O limite estrutural de 3,8 g é atingido no ângulo de inclinação cujo cosseno vale 1/3,8. A linha de 75° da tabela indica 3,864, já acima desse limite:
  
  $\frac{1}{cos θ} = 3.8 \Rightarrow θ = arccos \frac{1}{3 . 8} = 74.7 4^{\circ} \frac{1}{cos 7 5 ^{\circ}} = 3.864$
6. Uma asa entra em perda a um ângulo de ataque fixo; a velocidade a que ainda consegue produzir a sustentação necessária aumenta com a raiz quadrada do fator de carga:
  
  $v_{s}^{'} = v_{s} n = 50 kn \times 2 = 70.71 kn$
Resposta

O avião descreve uma circunferência de 155,8 m em 19,03 s, e o assento exerce sobre o piloto uma força igual ao dobro do peso, independentemente da velocidade no ar. O Airplane Flying Handbook da FAA também indica 2,0 a 60° e 1,41 a 45°, além de assinalar que uma curva nivelada a 75° ultrapassa o limite de 3,8 para o qual se projeta um avião ligeiro da categoria normal; o ângulo exato é 74,74°. A velocidade de perda sobe de 50 para 70,71 nós, valor que o manual arredonda para 70.

$θ = 6 0^{\circ}, 100 kn : r = 155.8 m, t = 19.03 s, n = 2.000, θ_{m a x} = 74.7 4^{\circ}, v_{s}^{'} = 70.71 kn$

Referências (3)

Measured tyre-road friction by surface, from Swedish skiddometer surveys: dry bare road 0.8 to 1.0, wet 0.7 to 0.8, packed snow 0.20 to 0.30, wet black ice 0.05 to 0.10, the values behind the page's grip hint and its presets: C.-G. Wallman and H. Åström, "Friction measurement methods and the correlation between road friction and traffic safety. A literature review." VTI meddelande 911A, Swedish National Road and Transport Research Institute, Linköping, 2001, p. 36.
Why roads that see ice are banked gently: the steepest bank allowed is 10%, and where snow and ice accumulate it is limited to 6%, because slow or stopped vehicles on steeper banks slide inward: Washington State Department of Transportation, Design Manual M 22-01.23, Chapter 1250 "Cross Slope and Superelevation", section 1250.03, September 2024.
A banked aircraft's load factor depends on the bank alone, 1.41 at 45° and 2.0 at 60° for any airspeed or aeroplane, a standard-category light aircraft is built for 3.8, and the stall speed rises as the square root of the load: Federal Aviation Administration, Airplane Flying Handbook (FAA-H-8083-3C), Chapter 10 "Performance Maneuvers", section on steep turns.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.