Rede de difração

Defina o número de linhas por milímetro da rede, o comprimento de onda da luz, quantas linhas são iluminadas pelo feixe e a distância ao ecrã. A página determina todas as ordens, a posição de cada uma, a sua nitidez e, se acrescentar um segundo comprimento de onda, a primeira ordem que permite separar os dois.

Exemplo resolvido — Rede de difração

Espaçamento entre linhas	3,333 µm
Espaçamento em comprimentos de onda	6,266
Ordens de cada lado do centro	6
Ângulo da primeira ordem	9,18°
Primeira ordem no ecrã	161,7 mm
O mesmo pela aproximação de ângulos pequenos	159,6 mm
Défice da aproximação de ângulos pequenos	1,28%
Primeira ordem, do máximo ao primeiro mínimo	0,01544°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Rede de difração

Uma rede de difração é uma superfície com muitas linhas paralelas, separadas por uma distância d, que transmitem ou refletem a luz. A luz que sai de linhas vizinhas segundo um ângulo θ percorre trajetos cuja diferença é d sin θ. As ondas provenientes de todas as linhas chegam em fase e produzem luz intensa apenas quando d sin θ = mλ, sendo m um número inteiro denominado ordem. Nos restantes ângulos, as contribuições das N linhas cancelam-se quase por completo; o primeiro mínimo escuro junto de cada máximo fica apenas a cerca de λ/(N d cos θ). Dois comprimentos de onda aparecem como linhas separadas quando o poder de resolução R = mN é pelo menos λ/Δλ.

O que significa cada símbolo

d: a distância entre linhas vizinhas, igual a 1 mm dividido pelo número de linhas por milímetro
λ: o comprimento de onda da luz, no ar depois da rede
m: a ordem, um número inteiro; m = 0 corresponde ao feixe direto e só existem ordens com mλ < d
N: o número de linhas efetivamente cobertas pelo feixe, não o número total de linhas traçadas na rede
R: o poder de resolução, mN: a menor diferença de comprimentos de onda que a ordem consegue separar é λ/R

Pressupõe: Pressupõe-se luz monocromática com incidência normal, proveniente de uma fonte suficientemente distante, e um ecrã também suficientemente afastado para que todas as linhas emitam ondas segundo o mesmo ângulo. As linhas são estreitas o bastante para espalharem a luz por todo o semiespaço, pelo que todas as ordens têm a mesma intensidade. As N linhas iluminadas recebem a mesma quantidade de luz. Com incidência normal, uma rede de reflexão, como um disco, obedece à mesma fórmula que uma rede de transmissão.
Falha quando: As linhas reais têm uma largura a, e a luz proveniente de cada uma forma o seu próprio padrão de fenda simples. Esse padrão enfraquece as ordens superiores e elimina qualquer ordem que coincida com um dos seus zeros: quando a = d/2, desaparecem todas as ordens pares. Se a luz incidir segundo um ângulo θᵢ, a equação passa a ser d(sin θᵢ + sin θ) = mλ. Nesse caso, podem difratar-se comprimentos de onda até 2d quando a incidência é rasante; é por isso que um disco Blu-ray inclinado em relação à luz apresenta alguma cor. Um feixe de largura finita também ilumina as linhas centrais com maior intensidade do que as linhas das extremidades, suavizando os lóbulos laterais sem deslocar as ordens.

Com duas fendas ou seiscentas linhas, a primeira ordem fica em 9,18° 🖖

Selecione Duas fendas, verde e depois 300 l/mm, N = 600. O espaçamento não mudou, nem qualquer dos ângulos: a primeira ordem fica em 9,18° nos dois casos e a sexta em 73,26°. O que muda é a largura. Com duas fendas, uma franja brilhante estende-se por 4,607° entre o máximo e o primeiro mínimo escuro; com 600 linhas, essa distância é 0,01544°, ou seja, 298,4 vezes menor. Os ângulos resultam apenas de d sin θ = mλ, a condição para que a luz proveniente de linhas vizinhas chegue com uma diferença de percurso igual a um número inteiro de comprimentos de onda. N não entra nessa equação. É N que determina a rapidez com que as ondas perdem a concordância de fase ao afastarmo-nos desse ângulo: com 600 fontes, uma variação de cerca de λ/(Nd cos θ) basta para haver cancelamento completo. Assim, uma rede escolar comporta-se como uma dupla fenda cujas franjas brilhantes foram estreitadas até se tornarem linhas. «Mais linhas por milímetro» e «mais linhas iluminadas» correspondem a alterações distintas: a primeira desloca as ordens; a segunda limita-se a torná-las mais estreitas e luminosas.

A luz vermelha produz duas ordens num CD, uma num DVD e nenhuma num disco Blu-ray 🖖

Uma ordem só existe enquanto mλ for menor do que d, pelo que uma rede mais fina produz menos ordens. A luz vermelha de 650 nm incidente nas pistas de 1,6 µm de um CD produz duas, em 23,97° e 54,34°. A segunda não fica no dobro do ângulo da primeira, que seria 47,94°: são os senos que aumentam em passos iguais, 0,4063 e 0,8125, não os ângulos. Num DVD, com 0,740 µm entre pistas, há espaço para uma ordem, em 61,45°. As pistas de um disco Blu-ray distam 0,32 µm, menos do que qualquer comprimento de onda visível e até menos do que os 405 nm do laser violeta que o lê. Por isso, com incidência normal, não existe nenhuma ordem e a tabela abaixo indica «nenhuma». Este mesmo cálculo mostra onde falha a fórmula que a maioria dos alunos aprende primeiro. Numa dupla fenda, y = mλL/d funciona bem porque os ângulos são muito pequenos; no CD, coloca a primeira ordem a 406,3 mm do centro num ecrã a 1 m, quando a página mede 444,6 mm. Para os ângulos de uma rede é necessário usar y = L tan θ.

O dupleto do sódio separa-se na segunda ordem, mas não na primeira 🖖

As duas linhas amarelas do sódio têm 588,9950 e 589,5924 nm, com uma separação de 0,5974 nm. Segundo o critério de Rayleigh, duas linhas estão resolvidas quando o máximo de uma coincide com o primeiro zero da outra ou fica para além dele. Numa rede, isso corresponde ao poder de resolução R = mN. O dupleto exige 986,4. Selecione Dupleto do sódio: 600 linhas/mm, das quais 500 estão iluminadas. Na primeira ordem, R é 500; os dois máximos distam 0,02196°, enquanto cada um tem 0,04328° de largura até ao primeiro zero, e vê-se uma linha desfocada. Na segunda ordem da mesma rede, R é 1 000; os máximos distam 0,05809° e cada um tem 0,05722° de largura, por isso veem-se duas linhas, por muito pouco. O espaçamento entre linhas da rede não aparece em R. Se uma rede mais fina tiver as mesmas 500 linhas iluminadas, afasta mais o par em qualquer ordem, mas alarga cada máximo na mesma proporção; não melhora a resolução. Para separar o dupleto na primeira ordem são necessárias 987 linhas sob o feixe, seja qual for a rede.

Problema resolvido na íntegra

Que ordens da luz branca se sobrepõem? 5 passos
Luz branca, de 400 a 700 nm, incide normalmente numa rede de 300 linhas por milímetro. Onde começa e termina o espectro de cada ordem, quais se sobrepõem e poderia uma rede mais fina mantê-los separados? Selecione 300 l/mm, N = 600 para verificar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. O espaçamento entre linhas é 1 mm dividido por 300, valor que a página apresenta:
  
  $d = \frac{1 mm}{300} = 3.333 μ m = 3333.3 nm$
2. O espectro de primeira ordem estende-se desde o ângulo em que o violeta satisfaz d sin θ = λ até ao ângulo correspondente ao vermelho:
  
  $m = 1 : arcsin \frac{400}{3333 . 3} = 6.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{700}{3333 . 3} = 12.1 2^{\circ}$
3. A segunda ordem estende-se de 13,89° a 24,83°, deixando um intervalo nítido entre ela e a primeira:
  
  $m = 2 : arcsin \frac{800}{3333 . 3} = 13.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{1400}{3333 . 3} = 24.8 3^{\circ}, 12.1 2^{\circ} < 13.8 9^{\circ}$
4. A terceira ordem começa em 21,10°, antes de terminar a segunda. No ponto em que aparece o violeta da terceira ordem, a segunda mostra luz laranja de 600 nm, pois 3 × 400 = 2 × 600:
  
  $m = 3 : arcsin \frac{1200}{3333 . 3} = 21.1 0^{\circ} < 24.8 3^{\circ}, 3 \times 400 nm = 2 \times 600 nm$
5. As ordens m e m + 1 sobrepõem-se quando m vezes o extremo vermelho é maior do que m + 1 vezes o extremo violeta. O espaçamento d cancela-se:
  
  $m \times 700 > (m + 1) \times 400 ⟺ 300 m > 400 ⟺ m > \frac{4}{3}$
Resposta

A primeira ordem estende-se de 6,89° a 12,12° e não se sobrepõe a nenhuma outra. A partir da segunda, cada espectro invade o seguinte: o extremo vermelho da segunda fica em 24,83° e a terceira começa em 21,10°. Nenhuma rede consegue separá-los, porque a condição m·700 > (m + 1)·400 não contém d. Uma rede mais fina afasta as ordens e reduz o número das que existem; a segunda só fica livre quando a rede é tão fina que já não resta uma terceira ordem para se sobrepor a ela. A primeira ordem permanece isolada porque a luz visível abrange menos de uma oitava, 700/400 = 1,75. Um espetrómetro que trabalhe numa ordem superior coloca diante da rede um filtro que bloqueia a luz das ordens vizinhas, denominado filtro de seleção de ordens.

$\frac{700}{400} = 1.75 < 2 \Rightarrow m = 1 ✓; m \geq 2 : m \times 700 > (m + 1) \times 400 \forall d$

Referências (3)

The resolving power of a grating, R = mN with N the number of lines illuminated, from the Rayleigh criterion applied to the diffraction maxima, and the sodium doublet as the standard benchmark: R. Nave, "Resolvance of Grating." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
The two yellow lines of neutral sodium, the D lines, at 5889.950 and 5895.924 Å in air, which the sodium preset uses: J. E. Sansonetti and W. C. Martin, "Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data", NIST Standard Reference Database 108, table of Strong Lines of Sodium (Na). National Institute of Standards and Technology.
The DVD standard, which fixes the track pitch at 0.74 µm, the spacing that makes a DVD a grating with room for only one order of red light: Ecma International, Standard ECMA-267, "120 mm DVD - Read-Only Disk", 3rd edition, April 2001.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.