O Limite de Difração

Defina o diâmetro da abertura, o comprimento de onda e dois pontos de luz a uma certa distância. A página calcula a imagem que uma abertura circular perfeita cria a partir deles, exibe os dois pontos nítidos que a ótica geométrica traçaria como uma projeção fantasma, e indica se a imagem final apresenta um ou dois picos.

Exemplo resolvido — O Limite de Difração

Primeiro anel escuro da imagem de um ponto, θ1	0,0577″
Esse ângulo como distância nos pontos	107,4 m
Ângulo entre os dois pontos, α	0,00504″
A sua separação como fração de θ1	0,087
Comprimentos de onda na abertura	4.363.636

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Limite de Difração

O limite de difração é o detalhe angular mais fino que uma abertura de diâmetro D consegue mostrar sob luz de comprimento de onda λ. Uma fonte pontual observada através de uma abertura circular desimpedida produz o padrão de Airy, I = I₀[2J₁(v)/v]² onde v = πD sin θ/λ. O seu primeiro anel escuro surge em sin θ₁ = 1,21967 λ/D. Pelo critério de Rayleigh, dois pontos idênticos são resolvidos de forma justa quando cada um assenta no primeiro anel escuro do outro. O brilho a meio caminho desce então para 73,50% do pico máximo. O critério de Sparrow (1916) considera a separação na qual a depressão entre eles acaba de desaparecer, o que para este padrão acontece a 0,947 λ/D.

O que significa cada símbolo

D: o diâmetro da abertura: uma pupila, uma lente, um espelho
λ: o comprimento de onda da luz
θ_1: o ângulo do centro da imagem de um ponto até ao seu primeiro anel escuro, 1,21967 λ/D
α: o ângulo entre os dois pontos vistos a partir da abertura, s/d
d: a distância da abertura até aos dois pontos

Falha quando: O espelho secundário do Hubble obstrui o centro da sua abertura. O espelho do JWST é composto por dezoito segmentos hexagonais. Por isso, nenhum deles cria o padrão de Airy de forma exata: um centro obstruído estreita ligeiramente o núcleo e desvia luz para os anéis, enquanto as extremidades dos segmentos adicionam picos de difração. Um telescópio terrestre observa através do ar em movimento. Esta turbulência atmosférica costuma desfocar a imagem muito além do limite de difração do espelho, a menos que a ótica adaptativa corrija o efeito.

O Hubble não consegue distinguir os módulos lunares 🖖

Pressione Hubble e o módulo lunar. “A imagem de uma estrela não será um ponto, mas um círculo brilhante rodeado por uma série de anéis luminosos”, escreveu George Airy num artigo lido na Cambridge Philosophical Society em novembro de 1834. Ele calculou a posição do primeiro anel negro quando a sua variável alcançou o valor 3,832. Em termos modernos, esse anel encontra-se no ângulo θ₁ = 1,21967 λ/D, onde 1,21967 é o primeiro zero da função de Bessel J₁, 3,83171, dividido por π. Este anel contém 83,78% da luz. Para o espelho de 2,4 m do Hubble, considerado como uma abertura livre, na luz verde de 550 nm, θ₁ equivale a 0,0577″. À distância de 384.400 km da Lua, isto traduz-se em 107,4 m. Qualquer ponto na superfície lunar transforma-se num borrão com essa dimensão. Consequentemente, pontos muito mais próximos fundem-se num só. As pernas de aterragem de um módulo lunar têm uma envergadura de 9,4 m de base a base, representando 0,087 dessa distância. Ambas as extremidades da nave caem dentro de um único borrão e formam um pico isolado. Saber se essa luz adicional poderia ser detetada como uma alteração no brilho do borrão é uma questão de contraste e ruído, elementos que esta página não modela. O que a difração impossibilita é a observação da forma do módulo. A própria legenda da NASA para as fotografias da região de aterragem da Apollo 17, tiradas pelo Hubble em 2005, menciona apenas pormenores “menores que um campo de futebol”, e nada mais.

Ampliar um borrão resulta apenas num borrão maior 🖖

Pressione Hubble e o módulo lunar, e depois O mesmo, ampliado 8 vezes, ou arraste o controlo Ampliar. Tudo cresce em uníssono: o borrão, os seus anéis e o espaço entre os dois fantasmas a tracejado. A forma da imagem permanece assim inalterada, exibindo o mesmo pico solitário. Uma abertura circular não transmite nenhum padrão com uma resolução angular inferior a λ/D. Faixas na Lua com um período abaixo de λd/D, 88,09 m para o Hubble, chegam à imagem sem qualquer contraste: o valor é estritamente zero, e não apenas ténue. Os dois lados do módulo não criam dois picos. Ao longo da linha que os une, a imagem difere da de um único ponto com o dobro do brilho em apenas 0,71% do seu pico. A partir da ampliação em que o olho consegue distinguir o borrão, aumentar a imagem não revela nada de novo. É por isso que os especialistas em ótica lhe chamam ampliação vazia.

O espelho maior do JWST é menos nítido que o do Hubble no infravermelho 🖖

O limite depende de D/λ, a abertura medida em comprimentos de onda, e não apenas de D. Os dezoito segmentos do JWST funcionam como um espelho único com cerca de 6,5 m de diâmetro, 2,71 vezes o tamanho do Hubble. Contudo, os seus instrumentos operam desde 0,6 µm, na extremidade vermelha do espectro visível, até aos 28,5 µm no infravermelho. A documentação do STScI indica que o telescópio produz imagens limitadas por difração em comprimentos de onda além dos 2 µm. A 2 µm, os 6,5 m contêm 3.250.000 comprimentos de onda, enquanto o espelho de 2,4 m do Hubble acomoda 4.363.636 comprimentos de onda na luz verde. Deste modo, a 2 µm, o primeiro anel escuro do JWST localiza-se aos 0,0774″, 1,34 vezes mais largo do que os 0,0577″ do Hubble no verde. As duas resoluções igualam-se a 1.490 nm. Pressione Dois pontos a 110 m, que o Hubble consegue separar, e depois Os 110 m, JWST a 2 µm, onde eles se fundem. A tabela abaixo estende esta comparação até ao seu próprio olho: uma pupila de 3 mm abriga 5.455 comprimentos de onda de luz verde, possuindo um limite de 46,1″.

Problema resolvido na íntegra

Que tamanho de espelho conseguiria separar o módulo? 3 passos
As pernas de aterragem de um módulo lunar têm 9,4 m de envergadura. Qual teria de ser o tamanho de um espelho para colocar os dois lados à distância de um primeiro anel escuro, vistos da Terra em luz verde de 550 nm? O campo de diâmetro para nos 10 m, abaixo da resposta certa. Pressione primeiro Hubble e o módulo lunar: a página fornece os valores de θ₁ e de 107,4 m.

Abrir este problema na ferramenta
1. Os dois lados estão afastados de α = s/d. Iguale esse valor a θ₁ = 1,21967 λ/D e resolva em ordem a D:
  
  $α = \frac{s}{d} = 1.21967 \frac{λ}{D} \Rightarrow D = \frac{1 . 21967 λ d}{s} = \frac{1 . 21967 \times 550 \times 1 0 ^{- 9} \times 3 . 844 \times 1 0 ^{8}}{9 . 4} = \frac{257 . 86}{9 . 4} = 27.43 m$
2. O mesmo raciocínio a partir do valor da própria página: o limite do Hubble na Lua é de 107,4 m, ou seja, 11,4 vezes 9,4 m. O limite varia com 1/D:
  
  $D = 2.4 m \times \frac{107 . 4 m}{9 . 4 m} = 2.4 m \times 11.4 \approx 27.4 m$
3. No infravermelho a 2 µm, a relação D/λ tem de permanecer igual, pelo que o espelho cresce proporcionalmente a λ:
  
  $D_{2 μ m} = 27.43 m \times \frac{2000 nm}{550 nm} = 99.75 m$
Resposta

Cerca de 27,4 m, ou 11,4 vezes o espelho do Hubble. A 2 µm, seria necessário um diâmetro de 99,8 m. Ainda assim, o módulo formaria dois padrões de Airy sobrepostos na separação de Rayleigh, em vez de uma fotografia nítida de uma nave. Mostrar a sua forma real exige vários elementos de resolução a cobrir o seu comprimento.

$D \approx 27.4 m = 11.4 \times D_{Hubble}; D_{2 μ m} \approx 99.8 m$

Percurso de aprendizagem

Óptica ondulatória

Referências (3)

Airy's own derivation of the pattern a round object-glass makes of a star: “The image of a star will not be a point but a bright circle surrounded by a series of bright rings”, their sizes “inversely as the aperture”; the central spot at half its light at n = 1.616 and “a black ring, when n = 3,832” (p. 287): G. B. Airy, “On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 5, pp. 283–291 (1835; read 24 November 1834).
The Apollo 11 lunar module's size: the descent stage “an octagonal prism 4.2 meters across”, and “the distance between the ends of the footpads on opposite landing legs was 9.4 m”: NASA Space Science Data Coordinated Archive, “Apollo 11 Lunar Module / EASEP”, NSSDCA ID 1969-059C.
JWST's mirror and where it becomes diffraction-limited: the primary is “18 hexagonal segments … which, when properly phased together, act as a single mirror ~6.5 m in diameter”, and “At wavelengths λ > 2 μm, JWST obtains diffraction-limited imaging with a Strehl ratio = 0.8”: Space Telescope Science Institute, JWST User Documentation: “JWST Telescope” and “MIRI Point Spread Functions”.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.