O Ponto de Arago

Prima Tela de Arago de 2 mm. A ótica geométrica desenha um círculo negro, o fantasma tracejado. A sombra calculada é escura. Representa menos de um quinto do feixe livre em toda a extensão, desde o ponto central até nove décimos do caminho para a borda. No entanto, o centro exato marca 1,000. Fica tão luminoso como se o disco lá não estivesse. Poisson descobriu este facto nos integrais da memória que Fresnel submeteu ao prémio de 1818 da Académie e apresentou-o como uma objeção. O relatório de Arago, lido a 15 de março de 1819, atesta “l'observation a parfaitement confirmé le calcul”. Fresnel atribui a Arago a observação do fenómeno atrás de uma tela com dois milímetros de largura. O encarte ilustra a origem do fenómeno. Vista do centro da tela, a superfície do disco divide-se em zonas de Fresnel. São anéis cujas bordas se situam em √(nλz), chegando a luz de cada um meia onda depois da anterior. O disco bloqueia as primeiras 3,160 zonas. Tudo o que fica de fora soma-se numa luz perfeitamente tão brilhante quanto a do feixe livre. O tamanho e a distância do disco não importam, desde que a luz se curve em pequenos ângulos. A tabela abaixo analisa raios de 0,5 a 5 mm, a 5 cm e a 1 m de distância. A integral numérica devolve 1,0000 em todos os casos. Fresnel acrescentou que o resultado independe do comprimento de onda. O ponto tem, por isso, de ser branco sob luz branca. Prima O mesmo em luz branca: a sua cor diverge da do feixe livre em apenas Δu′v′ = 0,0000. O comportamento de um orifício difere, tal como Poisson também constatou. Prima Caso 2 de Poisson: furo. Este apresenta-se negro no centro em luz vermelha e azul em luz branca.

Prima Iluminado pelo Sol. Cada ponto de uma fonte projeta o seu próprio padrão, deslocado lateralmente por z vezes o respetivo ângulo. A página soma-os todos. Com uma fonte do tamanho do Sol, de 4,65 mrad de raio, o centro cai de 1,000 para 0,018. O ponto luminoso constitui uma miniatura da fonte, exibindo um raio de cerca de 0,383 λz/a a partir de um ponto singular. Uma fonte cujo raio angular se aproxime de 0,383 λ/a acaba por diluí-lo. Atrás do disco de 2 mm, o ponto só retém metade da sua intensidade enquanto a fonte tiver um raio inferior a 0,169 mrad. Isso corresponde a um orifício minúsculo de 0,34 mm de diâmetro a um metro de distância, 27 vezes menor do que o Sol. Em 1723, Maraldi deixou a luz solar entrar num quarto escuro através de um pequeno buraco. Pendurou uma esfera de uma linha de diâmetro, cerca de 2,3 mm, a 25 pés de distância da abertura, perto de 8 m. Na sombra projetada, avistou “au milieu une aire circulaire fort claire”. Esta área aumentava atrás de esferas mais pequenas, em concordância com a expressão 0,383 λz/a. Maraldi interpretou o fenómeno como luz a contornar a esfera. A borda revela-se tão determinante quanto a fonte. A luz que parte dessa borda alcança o centro com uma fase de πr²/λz. Como tal, um rebordo irregular desordena o processo. A magnitude do efeito depende da forma como os erros se distribuem. Para erros dispersos segundo uma curva de Gauss com valor quadrático médio σ, o ponto decai na proporção de exp(−(2πaσ/λz)²). Na tela de Arago a meio metro, a intensidade reduz-se a metade quando σ = 42 µm. Por trás de um disco com 60 µm de diâmetro e rugosidades na ordem dos 300 nm, um feixe de moléculas de deutério gerou um ponto central que rondava um centésimo da intensidade do feixe livre.

Prima Placa zonal, foco vermelho. Isoladamente, uma zona de Fresnel envia para o centro o dobro da amplitude do feixe livre. As zonas vizinhas chegam em fase oposta. Eis o motivo pelo qual o plano aberto na íntegra transmite apenas metade da amplitude da primeira zona sozinha. Bloqueie as zonas pares e as ímpares chegarão todas em sincronia. Dez zonas abertas resultam em (2 × 10)² = 400 vezes o feixe livre. A integral apresenta o valor de 399,999 a 0,3949 m. As bordas r_n = r₁√n são recortadas na placa. Coincidem com as zonas de Fresnel uma a uma exclusivamente à distância f = r₁²/λ, valor inversamente proporcional ao comprimento de onda. Corresponde a 0,3846 m para luz vermelha de 650 nm e a 0,5556 m para luz azul de 450 nm, ou seja, 1,44 vezes mais longe. Uma lente de vidro comporta-se de forma inversa. Foca o azul mais perto do que o vermelho. O painel inferior exibe picos com a mesma elevação em f/3, f/5 e f/7. Nessas posições, cada anel aberto contém três, cinco ou sete zonas de Fresnel. As zonas ímpares mantêm aí a preponderância sobre as pares. Ajuste λ para 450 sem deslocar a tela. O centro desce para 0,127. A invenção da placa zonal é habitualmente atribuída a J. L. Soret (1875). Contudo, a obra Physical Optics de R. W. Wood reproduz uma anotação do caderno de Rayleigh, datada de 11 de abril de 1871, que já descrevia um dispositivo idêntico.