Energia de ligação nuclear e defeito de massa

Escolha um núcleo: a página soma separadamente as massas dos seus protões e neutrões, compara-as com a massa do átomo e converte a massa em falta em energia através de E = mc². Escolha uma reação e o mesmo cálculo, aplicado aos dois lados, dá a energia libertada. Todas as massas provêm da Avaliação de Massas Atómicas de 2020.

Exemplo resolvido — Energia de ligação nuclear e defeito de massa

Neutrões	30
Massa do átomo	55,934936 u
Defeito de massa	0,528463 u
Energia de ligação	492,260 MeV
Energia de ligação por nucleão	8,7904 MeV
Massa do núcleo por nucleão	0,998583 u
Posição entre os 98 núcleos desta página	3 por ligação, 1 por menor massa
Massa inicial: n + U-235	236,052593 u

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Energia de ligação nuclear e defeito de massa

Um núcleo tem menos massa do que os protões e neutrões que o constituem. A diferença é o defeito de massa; multiplicada por c², corresponde à energia de ligação B, a energia necessária para separar completamente o núcleo. Dividindo-a pelo número de nucleões A, obtém-se B/A, que mede quão fortemente ligado está, em média, cada nucleão. A curva de B/A em função de A mostra que reações libertam energia: se os mesmos protões e neutrões acabam mais fortemente ligados, a reação liberta o ganho de energia de ligação, quer una núcleos leves por fusão, quer divida um núcleo pesado por fissão. A energia libertada por uma reação é o seu valor Q: a diferença entre a massa inicial e a massa final, multiplicada por c².

O que significa cada símbolo

Z: o número de protões, que determina o elemento
N: o número de neutrões, A − Z
Δm: o defeito de massa: a massa de Z átomos de hidrogénio e N neutrões considerados separadamente, menos a massa do átomo. Mede-se em u, sendo 1 u equivalente a 931,494 MeV
B: a energia de ligação, Δm c². B/A é a grandeza representada na curva
Q: a energia libertada por uma reação, igual à massa perdida vezes c². Um valor positivo significa que há libertação de energia; não indica a rapidez da reação, nem sequer se ela ocorre

Pressupõe: Usam-se massas atómicas, tal como aparecem na avaliação, pelo que os eletrões são contabilizados nos dois lados e se anulam. A energia de ligação dos próprios eletrões não é separada, em conformidade com a definição de B adotada na avaliação; mesmo no urânio, fica abaixo de um MeV, representando apenas algumas partes em dez mil da energia do núcleo. Para obter a massa do núcleo por nucleão, subtraem-se Z massas eletrónicas. A energia de ligação dos eletrões, que permanece incluída, alteraria o resultado em menos de 0,000001 u no ferro e no níquel, muito abaixo da diferença entre ambos. Q é a energia total libertada, incluindo a transportada pelos neutrinos, que no Sol ronda 2% e nunca se transforma em calor. Consideram-se apenas estados fundamentais: os núcleos estão em repouso e não se encontram excitados.
Falha quando: O cálculo não deixa de ser válido, pois consiste apenas em subtrair massas medidas. A página não indica a rapidez de uma reação. Um Q positivo diz que a reação pode libertar energia, não que venha a ocorrer: a cisão do urânio-238 em dois tem Q positivo e quase nunca acontece, enquanto o deutério e o trítio precisam de ser aquecidos a cerca de cem milhões de kelvin para se fundirem a uma taxa útil. A linha da fissão mostra ainda um único par de fragmentos; um reator real produz uma distribuição de fragmentos, cada qual com o seu Q.

O níquel-62, e não o ferro-56, é o núcleo que prende mais fortemente os seus nucleões 🖖

Prima Ferro-56 e depois Níquel-62. O ferro-56 tem 8,7904 MeV de energia de ligação por nucleão e o níquel-62 tem 8,7946, ficando o ferro-58 entre ambos, com 8,7923. O níquel-62 ocupa o primeiro lugar não só nesta página, mas entre todos os núcleos medidos ou estimados na Avaliação de Massas Atómicas de 2020. O ferro-56 responde a outra pergunta. Dividindo a massa do núcleo pelo número de nucleões, o ferro-56 é o mais leve: 0,998583 u contra 0,998597 do níquel-62. Isto acontece porque um protão é mais leve do que um neutrão e os protões constituem 46,4% do ferro-56, mas apenas 45,2% do níquel-62. Cada um ocupa o terceiro lugar na classificação em que o outro é primeiro, e o segundo painel mostra ambos. M. P. Fewell apresentou estes dados em 1995, num artigo de título direto, The atomic nuclide with the highest mean binding energy, e sugeriu que a convicção de que o máximo pertencia ao ferro-56 teria nascido do estudo da formação dos elementos nas estrelas.

O berílio-8 está menos ligado do que os dois núcleos de hélio que o constituem 🖖

Prima Berílio-8. A sua energia de ligação é 56,499 MeV, enquanto dois núcleos de hélio-4 têm, em conjunto, 2 × 28,296 = 56,591 MeV. Oito nucleões ficam menos fortemente ligados num só núcleo do que em duas partículas alfa. O berílio-8 não precisa, portanto, de qualquer impulso: divide-se espontaneamente e liberta a diferença de 91,84 keV. Para o seu tamanho, o hélio-4 está fortemente ligado, com 7,0739 MeV por nucleão, mais do que qualquer núcleo até ao carbono-12; por isso, nenhum núcleo de massa 5 ou 8 é estável. Nos primeiros minutos após o Big Bang, esta lacuna impediu que a formação de núcleos avançasse para além do hélio, salvo vestígios de deutério, hélio-3 e lítio-7. As estrelas transpõem-na unindo de uma só vez três núcleos de hélio para formar carbono-12, reação a que a tabela atribui 7,275 MeV.

A fissão liberta mais por reação; a fusão, mais por quilograma 🖖

Prima Urânio-235, fissão. Um neutrão e um núcleo de urânio-235 transformam-se em bário-141, crípton-92 e três neutrões, com Q igual a 173,278 MeV, quase dez vezes os 17,589 MeV da fusão deutério–trítio. Observe agora a coluna da fração. A fissão converte 0,07881% da massa em energia, a fusão D–T converte 0,3754% e a combustão de hidrogénio no Sol, 0,7119%. Por quilograma de combustível, isso equivale a 7,08×10¹³ J na fissão, 3,37×10¹⁴ J na fusão D–T, quase cinco vezes mais, e 6,40×10¹⁴ J na conversão de hidrogénio em hélio. A curva explica a diferença. Na fissão, 236 nucleões sobem 734,23 keV cada, desde o declive suave do ramo direito até à região central; na fusão, um pequeno número de nucleões sobe o ramo esquerdo, muito mais íngreme, ganhando 3,518 MeV cada no caso D–T. Os fragmentos de fissão são radioativos, e os seus decaimentos posteriores acrescentam energia que este Q não contabiliza.

Problema resolvido na íntegra

Quanto hidrogénio consome o Sol por segundo? 5 passos
O Sol irradia 3,828×10²⁶ W, a luminosidade solar nominal adotada pela União Astronómica Internacional em 2015. Quanta massa perde por segundo e quanto hidrogénio transforma em hélio? Prima Hélio-4, o Sol para acompanhar os dois primeiros passos.

Abrir este problema na ferramenta
1. Quatro átomos de hidrogénio têm uma massa de 4 × 1,007825 u e um átomo de hélio-4 tem 4,002603 u. Multiplicada por c², a diferença dá a energia de uma cadeia completa:
  
  $Q = (4 \times 1.007825 - 4.002603) u \times 931.494 MeV/u = 0.028697 \times 931.494 = 26.731 MeV$
2. Como fração da massa inicial, tal como aparece na página:
  
  $\frac{Q}{\sum M c ^{2}} = \frac{0 . 028697}{4 . 031300} = 0 . 7119%$
3. A luz que sai do Sol transporta massa. Dividindo a potência por c²:
  
  $\frac{Δ m}{Δ t} = \frac{L _{⊙}}{c ^{2}} = \frac{3 . 828 \times 1 0 ^{26} W}{( 2 . 998 \times 1 0 ^{8} m/s ) ^{2}} = 4.259 \times 1 0^{9} kg/s$
4. Cada quilograma de hidrogénio cede 0,7119% da sua massa sob a forma de energia. A massa de hidrogénio consumida é, portanto, a massa perdida dividida por essa fração:
  
  $\frac{4 . 259 \times 1 0 ^{9} kg/s}{0 . 007119} = 5.983 \times 1 0^{11} kg/s$
5. A massa restante transforma-se em hélio:
  
  $5.983 \times 1 0^{11} - 4.259 \times 1 0^{9} = 5.941 \times 1 0^{11} kg/s$
Resposta

O Sol perde 4,259×10⁹ kg por segundo, pouco mais de quatro milhões de toneladas, e para isso transforma 5,983×10¹¹ kg de hidrogénio, cerca de 600 milhões de toneladas, em 5,941×10¹¹ kg de hélio. A luminosidade não inclui os neutrinos, que transportam cerca de 2% da energia de cada cadeia; a taxa real de consumo de hidrogénio é, por isso, aproximadamente 2% superior.

$\overset{m}{˙}_{H} \approx 6 \times 1 0^{11} kg/s \overset{m}{˙}_{γ} = 4.26 \times 1 0^{9} kg/s$

Referências (3)

Every mass on the page: the 2020 Atomic Mass Evaluation's table of mass excesses and binding energies per nucleon, which this page reproduces to under 1 eV for all 98 bound nuclei it carries: M. Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi and S. Naimi, "The AME 2020 atomic mass evaluation (II). Tables, graphs and references." Chinese Physics C 45(3), 2021, 030003. DOI 10.1088/1674-1137/abddaf
The paper that corrected the textbook belief that iron-56 is the most tightly bound nucleus: iron-58 and nickel-62 are both bound more strongly, and nickel-62 most of all. It suggests the belief came from studies of stellar nucleosynthesis: M. P. Fewell, "The atomic nuclide with the highest mean binding energy." American Journal of Physics 63(7), 1995, pp. 653-658. DOI 10.1119/1.17828
The solar luminosity the worked problem starts from, 3.828×10²⁶ W, the nominal value the International Astronomical Union adopted in 2015, rounded from a best estimate of (3.8275 ± 0.0014)×10²⁶ W: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 2016, 41. DOI 10.3847/0004-6256/152/2/41

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.