Declive e Proporção

Dois painéis, uma série. O da esquerda começa o seu eixo no zero; o da direita ajusta-se aos dados. Arraste a altura e observe ambos os ângulos moverem-se enquanto os números permanecem exatamente onde estavam.

Exemplo resolvido — Declive e Proporção

Ângulo médio, a partir do zero	6,1°
Ângulo médio, ajustado	27,4°
Altura que ajusta a 45°	469 px para 351 px de largura

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Um conjunto de números, duas imagens diferentes 🖖

Ambos os painéis desenham os mesmos doze números. O da esquerda começa o seu eixo no zero, o da direita ajusta-se aos dados, e os dois ângulos impressos sobre eles não se assemelham. Arraste o controlo deslizante de altura e observe-os moverem-se juntos enquanto os números por baixo nunca mudam. Esta é toda a premissa: a inclinação não está nos dados. Ela é definida pelo intervalo do eixo y e pela forma da caixa, e ambos foram escolhidos por quem desenhou o gráfico. Portanto, quando alguém diz que um gráfico mostra uma subida acentuada, está a descrever um eixo. O problema resolvido abaixo fixa a questão com valores exatos numa caixa de 600 × 300 estabelecida, onde a mesma linha resulta em 20,1° ou em 3,1° dependendo apenas de onde o eixo começa.

Duas alavancas, e anulam-se exatamente 🖖

O ângulo obedece a uma fórmula: tan θ = declive × (píxeis por unidade y) ÷ (píxeis por unidade x). Isso deixa ao autor duas alavancas, e ambas compensam-se com precisão. Reduza o intervalo y a metade e reduza a altura da caixa a metade, e a linha resulta num ângulo idêntico até nove casas decimais. O que significa que não existe algo como um gráfico sem escala. Todos os gráficos de linhas alguma vez desenhados fizeram esta escolha; a maioria simplesmente não o revelou.

Existe uma resposta defensável, e parece errada 🖖

Como o olho julga ângulos em vez de declives, ele distingue melhor uma inclinação de outra quando os segmentos se situam perto de 45°. Escolher a proporção para colocar aí o segmento típico chama-se ajuste a 45°, e trata-se de aritmética em vez de gosto. Prima o botão e a ferramenta calcula a altura para o seu painel, e imprime a largura utilizada — uma altura ajustada não significa nada por si só, porque o que está a ser escolhido é um rácio. Numa largura de 600 píxeis, esta série requer 818 píxeis de altura. Mais alta do que larga, algo que ninguém desenharia por instinto, e a forma honesta para esses dados. Ser capaz de calcular o número é o que transforma "escolha uma proporção sensata" em algo que se pode verificar.

Problemas resolvidos na íntegra

Ângulo de uma reta que sobe 2 unidades por passo ao longo de 12 pontos 7 passos
Um gráfico tem 600 px de largura e 300 px de altura, o seu eixo y vai de 95 a 125, e a linha sobe 2 unidades por passo ao longo de 12 pontos. Em que ângulo é a mesma efetivamente desenhada?
1. Trabalhe em píxeis por unidade. Doze pontos fazem onze espaços ao longo de 600 píxeis, e o eixo de 30 unidades está distribuído por 300 píxeis.
  
  $\frac{600}{11} = 54.55 \frac{300}{30} = 10$
2. Um passo de 2 unidades de dados é, portanto, 20 píxeis para cima, contra 54,5 píxeis de largura.
  
  $tan θ = \frac{2 \times 10}{54.55} = \frac{20}{54.55} = 0.3667$
3. Esse é o ângulo. Agora abra o eixo para 0–200 e não mude mais nada. A escala vertical desce para 1,5 píxeis por unidade, logo o mesmo passo é de 3 píxeis em vez de 20.
  
  $θ = arctan 0.3667 = 20. 1^{\circ}$
4. De 20,1° para 3,1°, com os idênticos doze números. Qualquer pessoa que descreva a primeira como uma subida acentuada e a segunda como plana está, na verdade, a descrever o eixo.
  
  $\frac{300}{200} = 1.5 \Rightarrow tan θ = \frac{3}{54.55} \Rightarrow θ = 3. 1^{\circ}$
5. Agora a verificação que mostra que as duas alavancas são uma só. Reduza o intervalo a metade para 15 unidades e reduza a altura a metade para 150 píxeis: os píxeis por unidade não mudam, portanto o ângulo também não o fará.
  
  $\frac{150}{15} = 10 = \frac{300}{30}$
6. O ajuste levanta a questão inversa. Que altura coloca o segmento típico a 45°, onde tan θ = 1 e o olho compara melhor os declives? Iguale a subida em píxeis ao avanço em píxeis e resolva para a altura.
  
  $tan θ = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{H}{30} = 54.55$
7. 818 píxeis de altura contra 600 de largura. Essa é a forma que estes dados pedem, e não se trata de uma forma que alguém desenhe por instinto — razão pela qual devemos calculá-la em vez de a estimar a olho.
  
  $H = \frac{54.55 \times 30}{2} = 818$
Resposta

20,1°, e poderia com a mesma honestidade ter sido 3,1°. O ângulo é fixado pelo intervalo do eixo e pela caixa, e ambos anulam-se exatamente, logo nenhum gráfico existe sem escala. O ajuste a 45° dá uma resposta defensável para esta série: 818 píxeis de altura numa largura de 600 píxeis.
Uma subida e uma descida na razão de 3 para 1, e a forma que a mostra 7 passos
Carregue em Sobe lento, desce rápido. A série sobe ao longo de seis passos e volta a cair em dois, e com a forma predefinida os dois troços parecem-se muito. Encontre a altura que os torna o mais distintos possível e decida depois se o botão Ajustar o painel direito a 45° da própria ferramenta lha dá.

Abrir este problema na ferramenta
1. Leia os números antes de olhar para a figura. Dezassete pontos, dezasseis passos e apenas dois valores distintos em toda a série: uma subida de 5 doze vezes e uma descida de 15 quatro vezes. Nestes dados não há mais nada.
  
  $100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 115, 100, \dots \Rightarrow + 5 (\times 12), - 15 (\times 4)$
2. Portanto, o passo mediano é 5 e a razão entre os dois troços é exatamente 3. Essa razão é uma propriedade dos números e nenhuma proporção do painel lhe toca, e é precisamente por isso que a figura tem liberdade para mentir a seu respeito.
  
  $median ∣ slope ∣ = 5, \frac{∣ - 15∣}{5} = 3 at every aspect ratio$
3. Atribua ao segmento mediano um declive em píxeis e chame-lhe s. O troço íngreme fica então em 3s, e os ângulos que efetivamente vê são os seus arcos-tangentes. Toda a questão está em escolher s.
  
  $θ_{↑} = arctan s, θ_{↓} = arctan 3 s (s = median pixel slope)$
4. Ajustar a 45° escolhe s = 1, que é o que o botão faz: dimensiona a altura até o segmento mediano assentar nos 45°. O troço de subida fica em 45,000° e o de descida em 71,565°, uma separação de 26,565°.
  
  $s = 1 : 45.00 0^{\circ} and 71.56 5^{\circ}, Δ θ = 26.56 5^{\circ}$
5. Mas a separação nunca foi o que o ajuste maximizava, por isso peça-a diretamente. Derive a diferença entre os dois ângulos e iguale-a a zero. O 3s e o s puxam em sentidos contrários, a álgebra reduz-se a uma única equação do segundo grau e a resposta é 1/√3.
  
  $\frac{d}{d s} (arctan 3 s - arctan s) = \frac{3}{1 + 9 s ^{2}} - \frac{1}{1 + s ^{2}} = 0 ⟹ s^{*} = \frac{1}{3}$
6. Com essa forma, os dois troços saem a 30° e 60°, e a separação é de 30,000°: três graus e meio mais do que dá a forma ajustada, numa caixa com pouco mais de metade da altura.
  
  $s^{*} = 0.5774 : 30.00 0^{\circ} and 60.00 0^{\circ}, Δ θ = 30.00 0^{\circ}$
7. Os dois ângulos são complementares, e isso não é um acaso do número 3. O par mais distinguível fica sempre simétrico em relação aos 45°, ou seja, o que pertence aos 45° é a média geométrica dos dois declives. A regra de Cleveland é essa mesma afirmação para uma série cujos declives têm todos a mesma grandeza.
  
  $arctan \frac{1}{r} + arctan r = 9 0^{\circ}, s^{*} \cdot 3 s^{*} = 1$
Resposta

30° e 60°, a 0,577 da altura ajustada. Seja qual for o número que o cartão Ajustar o painel direito a 45° dê para o seu painel, multiplique-o por 0,577 e a assimetria desta série ficará tão visível quanto é possível.

O ajuste continua a ser a predefinição certa e isto não é um argumento contra ele. Maximiza a capacidade do olho para distinguir um declive de outro num conjunto inteiro deles, usando a mediana como representante do caso típico, e numa série com muitos declives diferentes é isso que se deve fazer. Esta série tem dois. Quando um conjunto de dados contém um número reduzido de declives distintos e a pergunta é se eles diferem, a mediana não representa ninguém e a grandeza que importa é a média geométrica: √(5 × 15) em vez de 5.

Vale a pena saber, porque a série que tornou o ajuste famoso tem esta forma. Desenhado alto, o registo das manchas solares parece uma fila de bossas simétricas; desenhado baixo e largo, como Cleveland o desenhou, os ciclos sobem visivelmente mais a pique do que descem. A proporção do painel era toda a diferença. A aritmética acima diz quanto o achatar, e diz que, quando uma série tem dois declives em vez de muitos, a resposta honesta é ainda mais baixa do que a regra que ele escreveu.

$H^{*} = \frac{H _{banked}}{r} : r = 3 \Rightarrow 0.577 H_{banked}$

Referências (2)

Banking to 45 degrees: the aspect ratio the tool computes, and why that angle Cleveland, W. S., McGill, M. E. and McGill, R. (1988). The Shape Parameter of a Two-Variable Graph. Journal of the American Statistical Association, 83(402), 289–300. doi:10.1080/01621459.1988.10478598
Where the perceptual claim underneath it comes from Cleveland, W. S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press. — on judging slope, and on aspect ratio as a parameter of the display rather than of the data.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.