Dies ist eine maschinelle Übersetzung; die englische Fassung ist das Original. Original lesen
In jeder Gruppe der Daten fällt der Trend. In der Gesamtheit steigt er.
Niemand hat einen Fehler gemacht, nichts fehlt, und die Stichprobe ist nicht zu klein. Zwei korrekte Berechnungen auf identischen Daten weisen in entgegengesetzte Richtungen.
Öffnen Sie die Causality Sandbox und wählen Sie die Voreinstellung Simpson. Das Panel meldet eine Korrelation zwischen X und Y von 0,1702 und eine angepasste Steigung von 0,0928. Positiv: Wenn X steigt, steigt auch Y.
Direkt darunter passt dasselbe Panel dieselben Punkte erneut an, nachdem sie nach einer dritten Spalte, G, aufgeteilt wurden. Steigung innerhalb von G = 0: −0,5842. Steigung innerhalb von G = 1: −0,6109.
Jede Gruppe fällt. Die Gesamtheit steigt. Zwischen diesen beiden Berechnungen wurden keine Zeilen hinzugefügt, entfernt, gewichtet oder transformiert, sondern lediglich gruppiert.
Wie beides wahr sein kann
Nichts davon hängt von der Stichprobengröße oder der statistischen Signifikanz ab.
Die dritte Spalte erfüllt zwei Aufgaben zugleich. Das Panel gibt eine Korrelation zwischen X und dieser Variablen von 0,8061 aus, und zwischen Y und ihr von 0,6884. Die Gruppen liegen im Streudiagramm also nicht übereinander: Die eine nimmt den Bereich mit niedrigen X- und niedrigen Y-Werten ein, die andere den Bereich mit hohen X- und hohen Y-Werten. Jede Gruppe bildet eine in sich nach unten abfallende Punktwolke, und die beiden Wolken sind entlang einer ansteigenden Diagonale angeordnet.
Zieht man eine einzige Gerade durch beide Punktwolken, wird sie vom Versatz zwischen ihnen dominiert, da dieser Versatz einen weitaus größeren Bereich überspannt als die Breite jeder einzelnen Wolke. Die gepoolte Gerade misst den Abstand zwischen den Gruppen. Die Geraden innerhalb der Gruppen messen den Zusammenhang in ihrem Inneren. Sie weichen voneinander ab, weil sie verschiedene Dinge messen, und die Arithmetik ist in beiden Fällen einwandfrei.
Das erklärt auch, warum sich der Effekt nicht durch mehr Daten beheben lässt. Erhebt man zehnmal so viele Punkte, werden beide Schätzungen präziser – um ihre bestehenden, entgegengesetzten Werte herum. Das Simpson-Paradoxon ist kein Stichprobenrauschen und kein Versagen der Regression. Es entsteht, wenn man über eine Variable aggregiert, auf die es ankommt.
Der Fall, der es berühmt machte
Die Zulassungen zum Graduiertenstudium in Berkeley im Herbst 1973. Rund 44% der männlichen Bewerber wurden zugelassen gegenüber 35% der Frauen – ein Unterschied von neun Prozentpunkten bei mehr als zwölftausend Bewerbungen, viel zu groß, um Zufall zu sein.
Bickel, Hammel und O'Connell führten daraufhin die Aufteilung durch, Fachbereich für Fachbereich. Nur wenige Fachbereiche wichen in die eine oder andere Richtung signifikant von den Erwartungswerten ab, und etwa ebenso viele schienen Frauen wie Männer zu bevorzugen; was nach sachgerechtem Zusammenfassen übrig blieb, war eine geringe Verzerrung zugunsten von Frauen. Der Unterschied von neun Prozentpunkten entstand fast ausschließlich dadurch, an welchen Fachbereichen sich die Personen bewarben. Frauen bewarben sich in größerer Zahl an Fachbereichen mit allgemein niedrigen Zulassungsquoten; Männer bewarben sich an Fachbereichen, die fast die Hälfte aller Bewerber aufnahmen. Der Fachbereich spielte exakt dieselbe Rolle, die G in der Voreinstellung spielt: korreliert mit der Eingangsgröße und mit dem Ergebnis.
Was die Berkeley-Studie lesenswert macht, ist die Sorgfalt ihrer Schlussfolgerung. Die Autoren verkündeten nicht, dass es keine Verzerrung gebe. Sie wiesen darauf hin, dass sich die Verzerrung verlagert hatte: Was auch immer die Bewerber in überlaufene, stark umkämpfte Fachbereiche lenkte, war den Zulassungsausschüssen vorgelagert, und ihre Daten konnten dies nicht erfassen. Die Disaggregation zeigte ihnen, wo sie nicht suchen sollten – was ein echtes und zugleich bescheidenes Ergebnis ist.
Welche Zahl sollten Sie verwenden?
Die naheliegende Lehre – immer aufzuschlüsseln – ist falsch.
Betrachten Sie eine Medikamentenstudie, bei der die Zuweisung der Behandlung mit der Schwere der Erkrankung korreliert: Schwerer erkrankte Patienten erhielten das neue Medikament häufiger. Gepoolt wirkt das Medikament schädlich. Nach Schweregrad aufgeteilt, hilft es in jedem Stratum. Hier ist die Aufteilung gewünscht, denn der Schweregrad beeinflusste sowohl, wer das Medikament erhielt, als auch das Ergebnis. Er ist ein Confounder, und die Adjustierung für ihn beseitigt eine Verzerrung.
Betrachten Sie nun eine Studie, in der das Medikament durch eine Senkung des Blutdrucks wirkt, und Sie teilen nach dem nach der Behandlung gemessenen Blutdruck auf. Innerhalb jedes Stratums scheint das Medikament wirkungslos zu sein: Sie haben nach seinem eigenen Wirkmechanismus gruppiert. Hier ist die gepoolte Zahl die richtige, und das Adjustieren zerstört den Effekt, den Sie messen wollten. Der Blutdruck ist hier ein Mediator, und die Sandbox enthält eine Voreinstellung für sein Spiegelbild: einen Collider, eine Variable, auf die sowohl X als auch Y zeigen. Gruppieren Sie nach einem Mediator, löschen Sie einen realen Effekt aus; gruppieren Sie nach einem Collider, erzeugen Sie einen, der nie existiert hat.
Diese beiden Fälle können identische Zahlentabellen hervorbringen. Nichts innerhalb der Daten unterscheidet sie. Die Entscheidung zwischen gepoolt und aufgeteilt ist eine Annahme darüber, welche Variable zuerst da war – über die Kausalstruktur –, und die Kausalstruktur steht nicht in den Spalten. Deshalb ist das Paradoxon ein ständiger Begleiter von Beobachtungsstudien und kein Rätsel, das man ein für alle Mal löst: Die Statistik grenzt die Möglichkeiten ein, und etwas außerhalb der Statistik muss die Entscheidung treffen.
Simpson selbst wies 1951 in einer Arbeit darauf hin, die vorsichtiger formuliert war, als ihr Ruf vermuten lässt. Er konstruierte die Umkehrung in einer Kontingenztafel und argumentierte anschließend, dass die „vernünftige Interpretation“ von der Bedeutung der Kategorien abhängt, nicht von der Tabelle. Die Arithmetik ist nicht mehrdeutig. Die Fragestellung ist es.
Was dagegen zu tun ist
Daraus folgen drei Gewohnheiten, und sie kosten wenig.
Visualisieren Sie die Daten vor der Regression. Eine gepoolte Steigung durch zwei versetzte Punktwolken ist in einem Streudiagramm sofort erkennbar und in einem Korrelationskoeffizienten unsichtbar. Das Regressions-Tool zeigt die Residuen neben der Anpassung an, und gestaffelte Gruppen hinterlassen dort eine unverkennbare Signatur: Residuen, die groß, strukturiert und gruppiert sind, statt rein gestreut.
Notieren Sie vor der Berechnung, was Ihrer Ansicht nach was verursacht hat. Wenn Sie nicht begründen können, warum eine Variable in das Modell gehört, können Sie auch nicht sagen, ob die Adjustierung für sie einen Confounder behebt oder einen Mechanismus zerstört – und Sie werden jede der beiden Entscheidungen im Nachhinein rechtfertigen können, was die eigentliche Gefahr ist.
Seien Sie misstrauisch gegenüber einer einzelnen Schlagzeilenzahl, die über heterogene Gruppen hinweg berechnet wurde. Nationale Durchschnitte, unternehmensweite Kennzahlen, aggregierte Trends: Jedes davon ist eine gepoolte Steigung über Punktwolken, die sich möglicherweise in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Die Umkehrung in der Voreinstellung benötigte lediglich zwei Gruppen und eine korrelierte Variable. Reale Daten bieten Dutzende von beidem.