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Der Satz von Pick: Flächeninhalt durch Punktezählen

Setze die Ecken eines Polygons auf die Punkte eines quadratischen Gitters, durch Klicken oder die Wahl einer Vorlage. Die Seite zählt die Gitterpunkte in seinem Inneren sowie auf seinen Kanten, berechnet den Flächeninhalt sowohl aus diesen Zahlen als auch aus den Koordinaten der Ecken und zeigt, dass beide übereinstimmen. Die Tabelle unter der Zeichnung übernimmt das Zählen und Rechnen.

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Lektion

Die Theorie — Der Satz von Pick: Flächeninhalt durch Punktezählen

Ein Gitterpolygon ist ein einfaches Polygon, dessen Ecken Punkte des quadratischen Gitters mit ganzzahligen Koordinaten sind. Der Satz von Pick besagt, dass sein Flächeninhalt A = I + B ÷ 2 − 1 beträgt. Dabei ist I die Anzahl der Gitterpunkte streng im Inneren und B die Anzahl auf seinen Kanten, Ecken eingeschlossen. Eine Kante von einem Gitterpunkt zu einem anderen durchläuft gcd(|Δx|, |Δy|) Gitterschritte, sodass B die Summe davon über alle Kanten ist. Ein Polygon mit h Löchern hat A = I + B ÷ 2 + h − 1, wobei die Lochkanten in B mitgezählt werden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

I
die Gitterpunkte streng im Inneren des Polygons
B
die Gitterpunkte auf seinen Kanten, Ecken eingeschlossen. Jede Kante trägt ggT(|Δx|, |Δy|) bei
A
der Flächeninhalt, in Gitterquadraten. Immer ein Vielfaches von ½
h
die Anzahl der Löcher. Jedes addiert eins zur Formel

Zähle die Punkte und du hast den Flächeninhalt 🖖

Klick auf Vierzackiger Stern. Das Polygon hat 53 Gitterpunkte im Inneren und 8 auf seinen Kanten, und sein Flächeninhalt beträgt 53 + 8 ÷ 2 − 1 = 56. Die Gaußsche Flächenformel, die mit den Koordinaten der Ecken arbeitet und gar nichts zählt, liefert ebenfalls 56. Das ist der Satz von Pick, veröffentlicht von Georg Pick im Jahr 1899: Für jedes einfache Polygon, also mit einem Rand ohne Kreuzungen und ohne Löcher, dessen Ecken auf Gitterpunkten liegen, beträgt der Flächeninhalt I + B ÷ 2 − 1. Dabei zählt I die Punkte im Inneren und B die Punkte auf dem Rand. Zieh an einer Ecke, und beide Zahlen verändern sich gemeinsam. Kein Lineal, keine Subtraktion von Dreiecken, keine Näherung: Der Flächeninhalt eines solchen Polygons ist durch zwei ganze Zahlen fest bestimmt.

Jedes leere Dreieck hat den Flächeninhalt ein Halb 🖖

Klick auf Schmales Dreieck. Es misst 13 Einheiten in der Breite und sieht fast aus wie eine Linie, und abgesehen von seinen drei Ecken berührt es überhaupt keinen Gitterpunkt. Sein Flächeninhalt ist genau ½. Jedes Gitterdreieck ohne weitere Gitterpunkte in seinem Inneren oder auf seinem Rand hat diesen Flächeninhalt, wie lang oder schmal es auch sein mag. Darauf beruht der Satz: Jedes einfache Gitterpolygon kann in solche Dreiecke zerschnitten werden, in 2I + B − 2 davon, und zwei weitere für jedes Loch. Klick auf Vierzackiger Stern, schalte Elementardreiecke zeigen ein und zähle sie: 112 Dreiecke von jeweils ½, insgesamt also 56.

In drei Dimensionen reichen die zwei Zählungen nicht aus 🖖

Klick auf Reeve, r = 5. Seine vier Ecken sind Gitterpunkte, und kein weiterer Gitterpunkt liegt in ihm oder auf ihm, völlig unabhängig von seiner Höhe. Sein Volumen ist die Höhe geteilt durch 6: 5 ÷ 6 bei einer Höhe von 5. Die Tabelle listet die Höhen 1 bis 10 auf, mit zehn verschiedenen Volumina neben denselben Zählungen, null Punkten im Inneren und vier auf dem Rand. Eine Formel, die diese beiden Zählungen in ein Volumen verwandelt, müsste aus einer einzigen Eingabe zehn verschiedene Antworten liefern. John Reeve fand diesen Körper im Jahr 1957, und er ist der Grund dafür, dass der Satz von Pick keine dreidimensionale Version der gleichen Art besitzt.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Der Flächeninhalt eines Quadrats durch Punktezählen 5 Schritte

    Ein Quadrat hat Ecken bei (2, 2), (6, 2), (6, 6) und (2, 6). Bestimme seinen Flächeninhalt durch das Zählen von Gitterpunkten mit dem Satz von Pick, überprüfe ihn mit der Gaußschen Flächenformel und überlege, was aus den Zählungen wird, wenn das Quadrat verdoppelt wird. Klick zur Kontrolle auf Quadrat.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Jede Kante verläuft über 4 Einheiten entlang einer Gitterlinie, sie hat also ggT(4, 0) = 4 Schritte, und die Randpunktezahl lautet:

    2. Die Punkte streng im Inneren bilden einen 3 mal 3 großen Block:

    3. Satz von Pick:

    4. Die Gaußsche Flächenformel aus den Ecken, zum Vergleich:

    5. Verdoppelt ist das Quadrat 8 mal 8 groß, mit 7 mal 7 Punkten im Inneren und 32 auf den Kanten:

    Antwort

    Der Flächeninhalt beträgt 16 durch Zählung und 16 durch Koordinaten. Verdoppelt lauten die Zählungen 49 innen und 32 auf den Kanten, und der Flächeninhalt ist 64, also viermal so groß. Die Randpunktezahl hat sich lediglich verdoppelt; damit der Flächeninhalt auf das Vierfache anwächst, musste die innere Anzahl schneller wachsen, von 9 auf 49: Ein verdoppeltes Polygon hat im Inneren stets 4I + B − 3 Punkte.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.