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Polynomdivisions-Trainer

Gib die Koeffizienten beginnend beim höchsten Grad ein, durch Kommas getrennt.

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Die Division durch x − r braucht überhaupt kein x 🖖

Ist der Divisor x − r, schrumpft das ganze Schema der Polynomdivision auf eine einzige Zeile Arithmetik mit den Koeffizienten: einen herunterholen, mit r multiplizieren, addieren, wiederholen. Das ist das Horner-Schema, und es ist dasselbe Verfahren wie die Horner-Methode zum Auswerten eines Polynoms — weshalb die letzte Zahl, die du schreibst, gleichzeitig der Rest und der Funktionswert an der Stelle r ist. Die Effizienz ist echt und nicht kosmetisch: ein Polynom vom Grad 10 braucht so 10 Multiplikationen gegenüber 19, wenn man jede Potenz einzeln berechnet. Genau so werten numerische Bibliotheken Polynome tatsächlich aus, denn weniger Operationen bedeuten auch weniger angesammelten Rundungsfehler.

Der Rest ist ein versteckter Wert 🖖

Die Polynomdivision funktioniert genau wie die schriftliche Division ganzer Zahlen, die du schon kennst: Term für Term abziehen. Der Clou zeigt sich beim Teilen durch einen einfachen Faktor wie (x - c) — der übrig bleibende Rest ist genau p(c), das an der Stelle c ausgewertete Polynom. Ein Rest von null bedeutet also, dass c eine Nullstelle ist — ganz ohne Einsetzen.

Damit werden deine Dateien geprüft 🖖

Jede CRC-Prüfsumme — die Fehlerkontrolle einer gespeicherten Datei, eines ZIP-Archivs oder eines Ethernet-Pakets — ist versteckte Polynomdivision. Die Datenbits werden zu Koeffizienten eines riesigen Polynoms über dem Körper GF(2), wo modulo 2 gerechnet wird und die Addition einfach ein XOR ist. Dieses Polynom wird durch ein festes Generatorpolynom geteilt, und der Rest ist die Prüfsumme. Derselbe Algorithmus, den dieser Trainer von Hand durchgeht, läuft milliardenfach pro Sekunde in Netzwerkhardware.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Division von 2x³ − 3x² + 4x − 5 durch x − 2 5 Schritte

    Die Division von 2x³ − 3x² + 4x − 5 durch x − 2 ergibt den Rest 7. Gelangen Sie mittels Horner-Schema dorthin und bestimmen Sie dieselbe 7 anschließend ganz ohne Division.

    1. Das Horner-Schema ist eine schriftliche Division ohne den sonstigen Schreibaufwand. Nur die Koeffizienten sind von Bedeutung, und die Division durch x − r bedeutet, dass der Multiplikator r lautet.

    2. Übernehmen Sie die 2 nach unten, multiplizieren Sie mit 2 und addieren Sie −3, um 1 zu erhalten, multiplizieren Sie mit 2 und addieren Sie 4, um 6 zu erhalten, multiplizieren Sie mit 2 und addieren Sie −5, um 7 zu erhalten. Die ersten drei Zahlen bilden den Quotienten; die letzte ist der Rest.

    3. Ausgeschrieben ist dies der Divisionsalgorithmus für Polynome — und die Identität gilt für jedes x, nicht nur für bequeme Werte.

    4. Setzen Sie also x = 2 ein. Der Faktor (x − 2) löscht den gesamten Quotienten aus, was auch immer er sein mag, und die Identität reduziert sich auf P(2) = Rest.

    5. Die direkte Auswertung von P(2) ergibt 7 und stimmt mit der Division überein, ohne dass tatsächlich dividiert wurde.

    Antwort

    Das Werkzeug gibt einen Quotienten von 2x² + x + 6 und einen Rest von 7 aus. Der Restsatz ist das, was Schritt 4 beweist, und er ist wertvoller als die Abkürzung, die er bietet: Weil der Rest P(r) ist, ist die Frage, ob (x − r) ein Polynom teilt, dieselbe wie die Frage, ob P(r) = 0 ist. Hier ist er 7, also teilt er es nicht. Diese Äquivalenz verwandelt die Faktorsuche in eine Auswertung — probieren Sie Teilerwerte aus, bis der Rest 0 lautet, und Sie haben in ein und demselben Schritt eine Nullstelle gefunden und das Polynom faktorisiert.

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Führt zu Gebrochenrationale Funktionen den Faktorsatz in beide Richtungen.

Quellen (1)

· Aktualisiert

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