Navier-Stokes: Strömung um einen Zylinder

Stell die Reynolds-Zahl ein, und die Seite löst die Navier-Stokes-Gleichungen für die Strömung um einen Zylinder, während du zuschaust – eingefärbt danach, in welche Richtung sich das Fluid dreht. Die Kurve unter dem Bild zeigt die Quergeschwindigkeit drei Durchmesser flussabwärts. Sie verrät dir, was das Bild nahe dem Schwellenwert nicht zeigen kann: ob sich der Nachlauf beruhigt, abklingt oder dauerhaft schwingt.

Rechenbeispiel — Navier-Stokes: Strömung um einen Zylinder

Relaxationszeit τ	0,5300
Schwingung, bei der sich der Nachlauf einpendelt	0,636 U
Strouhal-Zahl, aus der Schwingungsdauer	0,1690
Widerstandsbeiwert, zeitliches Mittel	1,489
Davon Druck	1,157
Anteil des Widerstands durch Oberflächenreibung	22%
Strouhal-Zahl in Roshkos Windkanal	0,1671
Schwellenwert aus der Landau-Anpassung	47,5

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Navier-Stokes: Strömung um einen Zylinder

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind das zweite Newtonsche Gesetz für ein Fluid: Jedes kleine Volumenelement beschleunigt durch den Druck, der darauf lastet, und die zähe Reibung seiner Nachbarn. Für ein Fluid, das nicht komprimiert werden kann, lauten sie ∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p/ρ + ν∇²u und ∇·u = 0, wobei u die Geschwindigkeit ist, p der Druck, ρ die Dichte und ν die kinematische Viskosität.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Re: die Reynolds-Zahl UD/ν, aus der Strömungsgeschwindigkeit U, dem Zylinderdurchmesser D und der kinematischen Viskosität ν. Schritt 1 zeigt, dass sie die einzige verbleibende Konstante in den Gleichungen ist
St: die Strouhal-Zahl fD/U, die Ablösefrequenz f in Einheiten von U/D
C_D: der Widerstandsbeiwert: der Widerstand pro Längeneinheit des Zylinders geteilt durch ½ρU²D
A: die Amplitude der Schwingung: die halbe Spitze-Tal-Quergeschwindigkeit drei Durchmesser hinter dem Zylinder, als Bruchteil von U
ω: die Vortizität ∂v/∂x − ∂u/∂y, die doppelte Rotationsgeschwindigkeit eines Fluidteilchens. Sie bestimmt die Farbe im Bild

Woher die Formel kommt

Warum ein einziger Schieberegler ausreicht. Miss Längen in Durchmessern, Geschwindigkeiten in Einheiten von U und die Zeit in Einheiten von D/U: Setze u = U u′, x = D x′, t = (D/U) t′ und p = ρU² p′. Jeder Term auf der linken Seite der Impulsgleichung trägt dann einen Faktor U²/D, und der Druckterm ebenfalls; der Viskositätsterm trägt νU/D². Teilt man die ganze Gleichung durch U²/D, sieht sie genauso aus wie vorher, ausgedrückt in den gestrichenen Größen, nur dass aus ν ν/(UD) = 1/Re geworden ist. Zwei Strömungen mit demselben Re sind dieselbe Strömung in unterschiedlicher Größe und Geschwindigkeit. Deshalb braucht die Seite nur einen Regler und nicht vier.
Wie die Seite Einpendeln von Abklingen unterscheidet. Nennen wir die Schwingungsamplitude A. Solange sie klein ist, wächst oder schrumpft sie exponentiell, dA/dt = σA. Dabei ist σ oberhalb des Schwellenwerts positiv und unterhalb negativ, und nahe dem Schwellenwert ist σ proportional zu Re − Re_c. Das Wachstum kann nicht endlos weitergehen. Der erste Term, der es aufhalten kann – für eine Schwingung, die vertikal gespiegelt gleich aussieht – ist kubisch: dA/dt = σA − ℓA³, die Landau-Gleichung. Teilt man sie durch A, erhält man eine Gerade in A², d ln A/dt = σ − ℓA². Die Seite passt diese Gerade an die Zyklen jedes Durchlaufs an und liest σ ab. So erkennt sie bei Re 48, dass sich eine schrumpfende Schwingung einpendelt und nicht abklingt. Setzt man dA/dt = 0, erhält man die Schwingung, bei der sich der Nachlauf einpendelt, A∞² = σ/ℓ: eine Gerade aufgetragen über Re, die bei Re_c null erreicht. Das ist die Linie im zweiten Diagramm.
Null Widerstand ohne Viskosität. Ohne Viskosität lautet die Strömung um einen Zylinder mit Radius R ψ = U(r − R²/r) sin θ, und direkt auf der Oberfläche ist ihre Geschwindigkeit 2U sin θ: null vorne und hinten, doppelt so schnell wie die freie Anströmung an den Seiten. Die Bernoulli-Gleichung, p + ½ρv² konstant entlang der Strömung, wandelt das in einen Druck um, C_p = (p − p∞)/(½ρU²) = 1 − 4 sin²θ. Der Widerstand ist dieser Druck, der auf die Oberfläche drückt, einmal komplett rundherum aufsummiert: C_D = ∫₀^π C_p cos θ dθ = ∫₀^π cos θ dθ − 4∫₀^π sin²θ cos θ dθ = 0 − [4 sin³θ/3]₀^π = 0. Die vordere und die hintere Hälfte heben sich exakt auf. Die Seite integriert den eigenen Druck des Lösers auf dieselbe Weise und gibt ihn als Druckanteil des Widerstands aus.
Die Frequenz. Skaliert wie in Schritt 1, wird die Ablösefrequenz f zu St = fD/U, und wie alles andere in den skalierten Gleichungen kann sie nur von Re abhängen und von nichts sonst. Sobald St für eine Reynolds-Zahl bekannt ist, gilt f = St·U/D für jedes Fluid, jede Geschwindigkeit und jeden Durchmesser, die dieses Re teilen. Roshko passte St = 0,212(1 − 21,2/Re) an seine Windkanalmessungen zwischen Re 50 und 150 an; die St dieses Lösers liegt bei Re 55 um 4 % darüber und nähert sich bei Re 100 auf 1 % an.

Setzt voraus: Zwei Dimensionen: ein unendlich langer Zylinder, an dem sich in Längsrichtung nichts verändert. Ein inkompressibles Fluid, was der Löser annähert, indem er mit etwa einem Sechstel seiner eigenen Schallgeschwindigkeit rechnet. Ein zwanzig Durchmesser breiter Kanal, dessen Oberseite mit seiner Unterseite verbunden ist. Der Zylinder hat also in zwanzig Durchmessern Entfernung Nachbarn, was den Widerstand und die Frequenz um ein paar Prozent erhöht.
Versagt, wenn: Oberhalb von Re 188,5 bilden sich im echten Nachlauf Wellen entlang des Zylinders (Barkley und Henderson, 1996), und die 2D-Lösung beschreibt ihn nicht mehr. Nahe dem Schwellenwert wird alles langsamer: Bei Re 47 klingt die Schwingung nach 300 D/U immer noch ab und bräuchte über 2.000 D/U mehr, um ganz zu verschwinden. Deshalb liest die Seite den Trend mit der Landau-Gleichung ab, anstatt zu warten.

Unterhalb von etwa Re 47 kommt der Nachlauf zur Ruhe; darüber schwingen dieselben Gleichungen ewig 🖖

Klick auf Re 44 und dann auf Re 48. Der Zylinder ist symmetrisch, die ankommende Strömung ist symmetrisch, und bei beiden Reynolds-Zahlen haben die Gleichungen eine symmetrische Lösung: zwei spiegelbildliche Wirbel, die stillstehen. Bei 44 kehrt der angestoßene Nachlauf dorthin zurück. Bei 48 tut er das nie. Die symmetrische Lösung existiert zwar noch, ist aber instabil geworden, und die Strömung verlässt sie beim kleinsten Anlass. Hier liefert die Seite den Anlass selbst: ein kleiner seitlicher Schubs in der Einströmung nach jeder Änderung, und ein Zylinder, der um ein Drittel einer Zelle neben der Mittellinie des Gitters platziert ist. In einem Wasserkanal reicht jede noch so kleine Vibration. Camichels Gruppe in Toulouse hat den Schwellenwert bei 47 gemessen. Die Wachstumsrate dieses Lösers wechselt das Vorzeichen zwischen 47 und 48, bei etwa 47,4, und die Anpassung im zweiten Diagramm ergibt 47,5.

Ohne Viskosität spürt ein Zylinder keinen Widerstand 🖖

Streiche die Viskosität aus den Gleichungen, und die Strömung um einen Zylinder lässt sich mit dem Bleistift berechnen (Schritt 3 unten). Der Druck auf der hinteren Hälfte ergibt sich als Spiegelbild des Drucks auf der vorderen; Schub und Zug heben sich auf, und der Widerstand ist exakt null. Das hat d'Alembert 1752 veröffentlicht, und es wird seitdem als Paradoxon bezeichnet, weil jeder reale Körper einen Widerstand spürt. Das erste Diagramm zeigt, woran es scheitert. Bei Re 100 klettert der reibungsfreie Druck auf der Rückseite des Zylinders wieder auf +1; der des Lösers stoppt bei −0,94, weil die Strömung sich von der Oberfläche löst, bevor sich der Druck erholen kann. Dieser fehlende Druck macht mehr als drei Viertel des Widerstands aus. Der Rest ist die Haftung des Fluids an der Oberfläche: 22 % des Widerstands bei Re 100, 40 % bei Re 20.

Der Ton, den ein Draht singt, ist keine feste Zahl 🖖

St = fD/U ist die Ablösefrequenz in Einheiten der Zeit, die die Strömung für einen Durchmesser braucht. Sie wird oft auf 0,2 gerundet. Auf dieser Seite klettert sie von 0,128 bei Re 50 auf 0,169 bei 100 und 0,192 bei 180, und Roshkos Windkanal-Anpassung, die grüne Linie, steigt mit ihr: 0,167 bei Re 100. Die 0,2 gehört zu schnelleren Strömungen. Roshkos Anpassung für Re 300 bis 2.000 ergibt 0,203 bis 0,211, und dort ist der Nachlauf dreidimensional, was ein 2D-Löser nicht abbilden kann. Ein echter Nachlauf wird bei Re 188,5 dreidimensional; deshalb stoppt der Regler bei 180.

Aufgabe vollständig gelöst

Welchen Ton singt ein Draht im Wind? 4 Schritte
Ein straffer, 3 mm dicker Draht steht in einem Wind von 8 m/s. Wirbel lösen sich abwechselnd auf jeder Seite ab, und der Draht summt mit der Ablösefrequenz. Mit welcher Frequenz? Luft bei 20 °C hat eine Viskosität von 1,813×10⁻⁵ Pa·s und eine Dichte von 1,204 kg/m³.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Zuerst die Reynolds-Zahl, aus der kinematischen Viskosität ν = η/ρ:
  
  $ν = \frac{η}{ρ} = \frac{1 . 813 \times 1 0 ^{- 5} Pa s}{1 . 204 kg/ m ^{3}} = 1.506 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s, Re = \frac{U D}{ν} = \frac{8 m/s \times 0 . 003 m}{1 . 506 \times 1 0 ^{- 5} m ^{2} /s} = 1, 594$
2. Das liegt weit jenseits von 188,5, wo ein echter Nachlauf dreidimensional wird. Der Löser dieser Seite kann das also nicht beantworten. Roshko hat die Ablösefrequenz genau in diesem Bereich gemessen und folgende Anpassung gefunden:
  
  $St = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{Re}) = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{1 , 594}) = 0.2103 (300 < Re < 2, 000)$
3. Dann folgt f aus der Definition von St:
  
  $f = \frac{St U}{D} = \frac{0 . 2103 \times 8 m/s}{0 . 003 m} = 561 Hz$
4. Der Löser verdient seinen Platz unterhalb von Re 150, wo man ihn direkt mit genau diesem Windkanal vergleichen kann. Klick auf Re 100 und lies beide Werte aus der Ergebnistabelle ab:
  
  $Re = 100 : St_{solver} = 0.1690, St_{Roshko} = 0.212 (1 - \frac{21 . 2}{100}) = 0.1671$
Antwort

Der Draht singt bei etwa 561 Hz. Halbiert man seine Dicke, steigt die Frequenz auf 1.113 Hz: etwas weniger als das Doppelte, da sich auch Re halbiert und St von 0,2103 auf 0,2086 fällt.

$f \approx 561 Hz; D = 1.5 mm : Re = 797, St = 0.2086, f = 1, 113 Hz$

Quellen (5)

Wind-tunnel shedding frequencies behind circular cylinders from Re 40 to 10,000, and the two fits this page plots and the worked problem uses: S = 0.212(1 − 21.2/R) for 50 < R < 150 and S = 0.212(1 − 12.7/R) for 300 < R < 2,000: A. Roshko, "On the Development of Turbulent Wakes from Vortex Streets", NACA Report 1191, National Advisory Committee for Aeronautics, 1954.
Where a two-dimensional solver stops describing a real wake: the periodic 2D wake becomes unstable to three-dimensional disturbances at Re = 188.5 ± 1.0, which is where this page's slider stops: D. Barkley and R. D. Henderson, "Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder", Journal of Fluid Mechanics 322, 215–241 (1996).
The history of the instability: Bénard's experiments, the threshold Re_c = 47 that Camichel's group in Toulouse measured with circular cylinders, and Mathis, Provansal and Boyer's 1984 measurement that the oscillation's amplitude grows as (Re − Re_c)^½, the Landau law this page fits: J. E. Wesfreid, "Henri Bénard: Thermal convection and vortex shedding", Comptes Rendus Mécanique 345, 446–466 (2017).
The method this page solves the equations with: a lattice-Boltzmann fluid with a curved wall placed on the true circle by interpolating along each lattice link, and the drag from the momentum each link exchanges with the wall: M. Bouzidi, M. Firdaouss and P. Lallemand, "Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries", Physics of Fluids 13, 3452–3459 (2001).
Steady flow past a cylinder computed up to Re 100, with the drag, the surface pressure and the separation bubble, which first appears just below Re 7: S. C. R. Dennis and G.-Z. Chang, "Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100", Journal of Fluid Mechanics 42, 471–489 (1970).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.