Kernbindungsenergie und Massendefekt

Wähle einen Atomkern. Die Seite bestimmt zunächst die getrennten Massen seiner Protonen und Neutronen, dann die Masse des Atoms und rechnet die fehlende Masse mit E = mc² in Energie um. Wählst du eine Reaktion, ergibt dieselbe Rechnung für beide Seiten die frei werdende Energie. Alle Massenwerte stammen aus der Atomic Mass Evaluation von 2020.

Rechenbeispiel — Kernbindungsenergie und Massendefekt

Neutronen	30
Masse der getrennt gewogenen Bestandteile	56,463398 u
Masse des Atoms	55,934936 u
Massendefekt	0,528463 u
Bindungsenergie	492,260 MeV
Bindungsenergie pro Nukleon	8,7904 MeV
Masse des Kerns pro Nukleon	0,998583 u
Eingangsmasse: n + U-235	236,052593 u

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Kernbindungsenergie und Massendefekt

Ein Atomkern wiegt weniger als die Protonen und Neutronen, aus denen er besteht. Die Differenz heißt Massendefekt. Mit c² multipliziert ergibt sie die Bindungsenergie B, also die Energie, die nötig wäre, um den Kern vollständig zu zerlegen. Teilt man B durch die Nukleonenzahl A, erhält man B/A und damit die mittlere Bindung jedes Nukleons. Die Kurve von B/A über A zeigt, welche Reaktionen Energie freisetzen: Sind dieselben Protonen und Neutronen nach der Reaktion stärker gebunden, wird der Gewinn an Bindungsenergie frei. Das gilt sowohl beim Verbinden leichter Kerne durch Fusion als auch beim Spalten eines schweren Kerns. Die frei werdende Energie einer Reaktion ist ihr Q-Wert: die Differenz aus Eingangs- und Ausgangsmasse, multipliziert mit c².

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Z: die Zahl der Protonen; sie legt das Element fest
N: die Zahl der Neutronen, A − Z
Δm: der Massendefekt: die getrennte Masse von Z Wasserstoffatomen und N Neutronen abzüglich der Atommasse. Angegeben in u, wobei 1 u einer Energie von 931,494 MeV entspricht
B: die Bindungsenergie Δm c². Die Kurve zeigt B/A
Q: die bei einer Reaktion frei werdende Energie, also die verlorene Masse mal c². Ein positiver Wert bedeutet, dass Energie frei wird. Er sagt weder, wie schnell die Reaktion abläuft, noch, ob sie überhaupt stattfindet

Setzt voraus: Verwendet werden die in der Auswertung tabellierten Atommassen. Dadurch sind die Elektronen auf beiden Seiten mitgezählt und heben sich auf. Ihre eigene Bindungsenergie wird nicht gesondert abgezogen; so definiert auch die Auswertung B. Selbst bei Uran beträgt sie weniger als ein MeV und damit nur wenige Zehntausendstel der Energie des Kerns. Für die Masse pro Nukleon werden Z Elektronenmassen abgezogen, damit nur der Kern übrig bleibt. Die nicht abgezogene Bindungsenergie der Elektronen würde den Wert bei Eisen und Nickel um weniger als 0,000001 u verschieben, viel weniger als den Abstand zwischen beiden. Q umfasst die gesamte frei werdende Energie einschließlich des Anteils, den Neutrinos davontragen. In der Sonne sind das etwa 2 %, die nie als Wärme ankommen. Berücksichtigt werden nur Grundzustände; die Kerne gelten als ruhend und nicht angeregt.
Versagt, wenn: Die Rechnung selbst kann nicht versagen, denn sie besteht nur aus der Subtraktion gemessener Massen. Sie verrät dir allerdings nicht, wie schnell eine Reaktion abläuft. Ein positives Q bedeutet, dass eine Reaktion Energie freisetzen kann, nicht dass sie tatsächlich stattfindet. Uran-238 hat für die Spaltung in zwei Teile ein positives Q und zerfällt dennoch fast nie auf diese Weise. Deuterium und Tritium müssen auf rund hundert Millionen Kelvin erhitzt werden, bevor sie mit brauchbarer Rate fusionieren. Außerdem zeigt die Spaltungszeile nur ein einziges Fragmentpaar. In einem echten Reaktor entsteht eine ganze Verteilung von Spaltprodukten mit jeweils eigenem Q.

Nickel-62 bindet seine Nukleonen stärker als Eisen-56 🖖

Klick auf Eisen-56 und danach auf Nickel-62. Eisen-56 erreicht 8,7904 MeV Bindungsenergie pro Nukleon, Nickel-62 dagegen 8,7946; dazwischen liegt Eisen-58 mit 8,7923. Nickel-62 steht nicht nur auf dieser Seite an erster Stelle, sondern auch unter allen gemessenen oder abgeschätzten Kernen der Atomic Mass Evaluation von 2020. Eisen-56 beantwortet eine andere Frage. Teilt man die Masse eines Kerns durch seine Nukleonenzahl, ist Eisen-56 mit 0,998583 u leichter als Nickel-62 mit 0,998597 u. Das liegt daran, dass ein Proton leichter ist als ein Neutron und Eisen-56 zu 46,4 % aus Protonen besteht, Nickel-62 hingegen zu 45,2 %. In der jeweils anderen Rangfolge belegen beide Platz drei; die zweite Grafik zeigt beide Wertungen. M. P. Fewell stellte die Daten 1995 in einer schlicht The atomic nuclide with the highest mean binding energy betitelten Arbeit zusammen. Er vermutete, die verbreitete Annahme zugunsten von Eisen-56 gehe auf Untersuchungen zur Entstehung der Elemente in Sternen zurück.

Beryllium-8 ist schwächer gebunden als die beiden Heliumkerne, aus denen es besteht 🖖

Klick auf Beryllium-8. Seine Bindungsenergie beträgt 56,499 MeV, während zwei Helium-4-Kerne zusammen auf 2 × 28,296 = 56,591 MeV kommen. Acht Nukleonen sind in einem einzigen Kern also schwächer gebunden als in zwei Alphateilchen. Beryllium-8 braucht deshalb keinen Anstoß: Es zerfällt von selbst, wobei die Differenz von 91,84 keV frei wird. Helium-4 ist für seine Größe außerordentlich stark gebunden. Mit 7,0739 MeV pro Nukleon übertrifft es jeden Kern bis Kohlenstoff-12. Daher ist kein Kern mit der Massenzahl 5 oder 8 stabil. In den ersten Minuten nach dem Urknall verhinderte diese Lücke den Aufbau schwererer Kerne; übrig blieben neben Helium nur Spuren von Deuterium, Helium-3 und Lithium-7. Sterne überwinden die Lücke, indem sie drei Heliumkerne zu Kohlenstoff-12 verbinden. Die Reaktionstabelle gibt dafür 7,275 MeV an.

Spaltung liefert mehr Energie pro Reaktion, Fusion mehr pro Kilogramm 🖖

Klick auf Uran-235, Spaltung. Ein Neutron und ein Uran-235-Kern werden zu Barium-141, Krypton-92 und drei Neutronen. Dabei beträgt Q 173,278 MeV, fast das Zehnfache der 17,589 MeV aus der Deuterium-Tritium-Fusion. Schau nun auf die Spalte mit dem Massenanteil. Bei der Spaltung werden 0,07881 % der Masse in Energie umgewandelt, bei der D–T-Fusion 0,3754 % und beim Wasserstoffbrennen in der Sonne 0,7119 %. Pro Kilogramm Brennstoff ergeben sich 7,08×10¹³ J aus der Spaltung, 3,37×10¹⁴ J aus der D–T-Fusion, also fast fünfmal so viel, und 6,40×10¹⁴ J aus der Umwandlung von Wasserstoff in Helium. Die Kurve zeigt den Grund. Bei der Spaltung gelangen 236 Nukleonen vom flachen rechten Abhang in die Mitte und gewinnen jeweils 734,23 keV Bindungsenergie. Bei der Fusion steigt eine kleine Zahl von Nukleonen den steilen linken Teil hinauf; bei D–T sind es 3,518 MeV pro Nukleon. Die Spaltprodukte sind radioaktiv. Ihre späteren Zerfälle setzen zusätzliche Energie frei, die in diesem Q nicht enthalten ist.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie viel Wasserstoff verbrennt die Sonne pro Sekunde? 5 Schritte
Die Sonne strahlt 3,828×10²⁶ W ab. Das ist die von der Internationalen Astronomischen Union 2015 festgelegte nominelle Sonnenleuchtkraft. Wie viel Masse verliert die Sonne pro Sekunde, und wie viel Wasserstoff wandelt sie dabei in Helium um? Klick für die ersten beiden Schritte auf Helium-4, Sonne.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Vier Wasserstoffatome wiegen 4 × 1,007825 u, ein Helium-4-Atom wiegt 4,002603 u. Die Differenz ergibt nach der Multiplikation mit c² die Energie einer vollständig abgelaufenen Reaktionskette:
  
  $Q = (4 \times 1.007825 - 4.002603) u \times 931.494 MeV/u = 0.028697 \times 931.494 = 26.731 MeV$
2. Als Anteil der Eingangsmasse, den die Seite ebenfalls angibt:
  
  $\frac{Q}{\sum M c ^{2}} = \frac{0 . 028697}{4 . 031300} = 0 . 7119%$
3. Mit dem Licht verlässt Masse die Sonne. Teile die Leistung durch c²:
  
  $\frac{Δ m}{Δ t} = \frac{L _{⊙}}{c ^{2}} = \frac{3 . 828 \times 1 0 ^{26} W}{( 2 . 998 \times 1 0 ^{8} m/s ) ^{2}} = 4.259 \times 1 0^{9} kg/s$
4. Jedes Kilogramm Wasserstoff gibt 0,7119 % seiner Masse als Energie ab. Die dafür zu verbrennende Wasserstoffmasse erhältst du, indem du den Massenverlust durch diesen Anteil teilst:
  
  $\frac{4 . 259 \times 1 0 ^{9} kg/s}{0 . 007119} = 5.983 \times 1 0^{11} kg/s$
5. Der verbleibende Teil wird zu Helium:
  
  $5.983 \times 1 0^{11} - 4.259 \times 1 0^{9} = 5.941 \times 1 0^{11} kg/s$
Antwort

Die Sonne verliert 4,259×10⁹ kg pro Sekunde, etwas mehr als vier Millionen Tonnen. Dafür wandelt sie 5,983×10¹¹ kg Wasserstoff, etwa 600 Millionen Tonnen, in 5,941×10¹¹ kg Helium um. In der Leuchtkraft fehlt die Energie der Neutrinos, die etwa 2 % der Energie jeder Reaktionskette davontragen. Tatsächlich wird daher etwa 2 % mehr Wasserstoff verbrannt.

$\overset{m}{˙}_{H} \approx 6 \times 1 0^{11} kg/s \overset{m}{˙}_{γ} = 4.26 \times 1 0^{9} kg/s$

Quellen (3)

Every mass on the page: the 2020 Atomic Mass Evaluation's table of mass excesses and binding energies per nucleon, which this page reproduces to under 1 eV for all 98 bound nuclei it carries: M. Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi and S. Naimi, "The AME 2020 atomic mass evaluation (II). Tables, graphs and references." Chinese Physics C 45(3), 2021, 030003. DOI 10.1088/1674-1137/abddaf
The paper that corrected the textbook belief that iron-56 is the most tightly bound nucleus: iron-58 and nickel-62 are both bound more strongly, and nickel-62 most of all. It suggests the belief came from studies of stellar nucleosynthesis: M. P. Fewell, "The atomic nuclide with the highest mean binding energy." American Journal of Physics 63(7), 1995, pp. 653-658. DOI 10.1119/1.17828
The solar luminosity the worked problem starts from, 3.828×10²⁶ W, the nominal value the International Astronomical Union adopted in 2015, rounded from a best estimate of (3.8275 ± 0.0014)×10²⁶ W: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 2016, 41. DOI 10.3847/0004-6256/152/2/41

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.