Die Wellengleichung in einer, zwei und drei Dimensionen

Eine einzelne Erhebung, angeschlagen oder gezupft, in einer Linie, auf einer Fläche und im Raum. Beobachte, wie sie sich ausbreitet, und lies ab, was ein Hörer im Abstand r in jeder von ihnen aufzeichnet, lange nachdem die Störung vorbeigezogen ist.

Rechenbeispiel — Die Wellengleichung in einer, zwei und drei Dimensionen

Die Störung erreicht den Hörer, bei ct/a	4
Ihr Ende hat den Hörer passiert, bei ct/a	6
Höchster Wert der Saite	0,5333

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Wellengleichung in einer, zwei und drei Dimensionen

Die Wellengleichung, u_tt = c²∇²u, besagt, dass die zweite Zeitableitung von u an jedem Punkt (seine Beschleunigung, wenn u eine Auslenkung ist) dem c²-Fachen seines Laplace-Operators entspricht. Dieser ist proportional dazu, wie weit der Durchschnitt von u über die unmittelbare Umgebung des Punktes über u selbst liegt. In einer Dimension besteht jede Lösung aus zwei Formen, die mit der Geschwindigkeit c in entgegengesetzte Richtungen wandern (d'Alembert, 1747). In drei Dimensionen erreicht eine auf einen Bereich beschränkte Störung einen entfernten Punkt nur, solange die Kugel mit dem Radius ct um diesen Punkt den Bereich durchquert, und belässt ihn danach in Ruhe. In zwei Dimensionen ist das nicht der Fall: Ein Ausläufer bleibt zurück, der nach einem angeschlagenen Start nur wie 1/t abfällt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

u: der Wert der Welle: die Auslenkung der Saite oder der Fläche, oder im Raum eine Größe wie der Luftüberdruck
c: die Wellengeschwindigkeit
a: der Radius der anfänglichen Erhebung; jede Länge auf der Seite ist in Einheiten von a angegeben, jede Zeit in Einheiten von a/c
g: die Form der anfänglichen Erhebung, (1 − s²)² im Abstand s von ihrer Mitte (in Einheiten von a), null für s ≥ 1

Setzt voraus: Eine Linie, eine Fläche oder ein Raum ohne Enden oder Wände, sodass nichts zum Hörer zurückreflektiert wird. Kleine Auslenkungen, damit die Gleichung linear ist: Eine doppelt so stark angeschlagene Erhebung verdoppelt jede Zahl auf der Seite.

Eine angeschlagene Saite kehrt nie in die Ruhelage zurück 🖖

Klick auf Angeschlagen, bei 5a und beobachte die blaugrüne Saite. Der Impuls schickt in jede Richtung eine Flanke aus, und hinter den Flanken bleibt die Saite flach um 0,5333 v₀a/c angehoben. Der Punkt des Hörers klettert, während die Störung vorbeizieht, und verharrt dann dort, bei ct = 20a genauso wie bei 80a. Wechsle zu Gezupft. Dieselbe Erhebung, nach oben gedrückt und losgelassen, teilt sich in zwei Kopien von halber Höhe, die auseinanderlaufen: Der Punkt steigt auf 0,5000 und fällt auf exakt 0 zurück. D'Alembert zeigte 1747, dass jede Bewegung einer Saite aus zwei in entgegengesetzte Richtungen wandernden Formen besteht. Ausgedrückt durch die Anfangsform f und die Anfangsgeschwindigkeit g lautet das: u = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫_x−ct^x+ctg. Eine Form wandert mit den beiden Hälften fort. Eine Geschwindigkeit wird über den Saitenabschnitt im Umkreis ct des Punktes summiert. Sobald dieser Abschnitt angewachsen ist und den gesamten Bereich umfasst, entspricht die Summe dem gesamten Impuls, ½∫g = 8/15. Eine reale Saite hat feste Enden, deren Reflexionen sie zurückziehen. Diese hier hat keine Enden, also kehrt nie etwas zurück.

Auf einer Fläche kommt ein Impuls nie vollständig an 🖖

Klick auf Angeschlagen, bei 5a und beobachte die beiden Flächen. Jede trägt einen Ring nach außen, und beide Ringe haben den Hörer bei ct = 6a passiert. Innerhalb des gepunkteten Kreises, wo das Ende der Welle bereits war, ist der Raum flach: Sein Hörer verzeichnet von da an exakt 0, und die letzte Spalte der Tabelle ist auf allen Nachkommastellen null. Die Fläche innerhalb ihres Kreises ist weiterhin angehoben. Bei ct = 20a verzeichnet ihr Hörer 0,00861, 9,93 % der 0,0867, bei denen sie ihren Höhepunkt hatte. Klick auf Angeschlagen, 5a, bei 80a, und es sind 0,00209 – etwa ein Viertel davon, bei viermal so langer Wartezeit. Der Ausläufer fällt wie 1/t ab und erreicht nie null. Die beiden Lösungsformeln erklären, warum das so ist. Im Raum wird die Antwort an einem Punkt aus dem Durchschnitt des Anfangszustands über die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius ct um diesen Punkt gebildet. Sobald diese Kugel über die Erhebung hinausgewachsen ist, befindet sich nichts mehr auf ihr. Auf einer Fläche ist die Antwort ein Integral über die gesamte Scheibe innerhalb des Kreises mit dem Radius ct, also bleibt die Erhebung für immer darin, gewichtet mit 1/√(c²t² − ρ²). Hadamard nannte diesen Rest in seinen 1923 veröffentlichten Yale-Vorlesungen ein Restintegral und schrieb, dass Zylinderwellen im Gegensatz zu Kugelwellen diffundieren.

Im Raum kommt eine losgelassene Erhebung als Erhebung und Senke an 🖖

Klick auf Gezupft, gehört bei 5a und beobachte die blaue Kurve. Nichts an der Erhebung war je unter null, und doch verzeichnet der Hörer im Raum einen Anstieg auf 0,02862, gefolgt von einem ebenso tiefen Abfall, mit Flächen von 0,01667 und −0,01667, die sich exakt aufheben. Für r > a lautet die Antwort u = (r − ct) g(ct − r)/(2r): die Anfangsform multipliziert mit einer Flanke, die genau dann durch null geht, wenn die Mitte der Erhebung ankommt. Schalldruck gehorcht dieser Gleichung. Daher erreicht ein ruhend losgelassener Ball aus komprimierter Luft einen Hörer als Kompression, gefolgt von einer gleich großen Verdünnung, ohne dass ein Netto-Schub übrig bleibt. Die Saite überträgt dasselbe Loslassen, ohne dessen Vorzeichen zu ändern. Die Fläche verzeichnet eine Erhebung, dann einen Ausläufer unter null, der wie 1/t² abfällt. Genau dieses Vorzeichen hat Hadamard für ein Residuum in zwei Dimensionen berechnet.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie lange hallt ein Klatschen in einer flachen Welt nach? 4 Schritte
Auf der angeschlagenen Fläche verzeichnet ein Hörer im Abstand 5a einen Höchstwert von 0,0867 v₀a/c. Wie lange dauert es, bis der Ausläufer auf 1 % davon abgefallen ist? Klick auf Angeschlagen, bei 5a: Die Seite druckt den Höchstwert und neben dem Ausläufer-Gesetz den Wert bei ct = 20a.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Lange nachdem die Welle vorbeigezogen ist, folgt der Wert der Fläche dem Ausläufer-Gesetz für einen punktförmigen Impuls. Bei ct = 20a stimmen die beiden bereits auf drei Stellen überein:
  
  $\frac{1}{6 2 0 ^{2} - 5 ^{2}} = \frac{1}{6 375} = 0.00861$
2. Ein Prozent des Höchstwerts ist
  
  $0.01 \times 0.0867 = 0.000867$
3. Setze das Ausläufer-Gesetz damit gleich und löse nach ct/a auf:
  
  $(c t / a)^{2} - 25 = \frac{1}{6 \times 0 . 000867} = 192.2 \Rightarrow \frac{c t}{a} = 192 . 2^{2} + 25 = 192.3$
4. Im Raum ist derselbe Hörer ab ct = 6a stumm. Für eine Störung von etwa 10 cm Ausdehnung, a = 0,05 m, und ein Klatschen in der Luft bei c = 343 m/s beträgt die Zeiteinheit a/c
  
  $\frac{a}{c} = \frac{0 . 05 m}{343 m/s} = 0.146 ms, 6 \frac{a}{c} = 0.87 ms, 192.3 \frac{a}{c} = 28 ms$
Antwort

Bei etwa ct = 192a, dem Zweiunddreißigfachen der 6a, bei denen der Raum verstummt. Für ein Klatschen von 10 cm Ausdehnung sind das 28 Millisekunden gegenüber weniger als einer. In einer flachen Welt würde jedes Geräusch einen Ausläufer in alles Nachfolgende hineinziehen. Ein Schwellenwert von 2 % würde die Wartezeit in etwa halbieren, weil der Ausläufer wie 1/t abfällt.

$\frac{c t}{a} \approx 192 \approx 32 \times 6$

Lernpfad

Die Wärmeleitungs-, Wellen- und Laplace-Gleichung

Quellen (2)

The vibrating string's equation solved as the sum of two arbitrary functions, y = Ψ(t + s) + Γ(t − s): every motion of the string is two shapes travelling in opposite directions (art. VII), followed by a long continuation working out which shapes satisfy fixed ends: J. le Rond d'Alembert, "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration", Histoire de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin 3 (1747, published 1749), 214–219; "Suite des recherches…", same volume, 220–249.
Huygens' principle in its narrow sense, a disturbance localised at the start stays localised on a thin spherical shell (Book II, §33), and its failure in two dimensions: the 'residual integral' left after the wave has passed, so that 'cylindrical waves, unlike spherical ones, diffuse' (Book III, §111), and the sign of that residual, negative for a positive starting displacement when there are three variables (§112): J. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Yale University Press, New Haven, 1923 (Mrs. Hepsa Ely Silliman Memorial Lectures), Book II §33, pp. 53–55, and Book III §§111–112, pp. 175–178.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.