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BAYES — EIN POSITIVES ERGEBNIS IST NICHT DASSELBE WIE KRANK ZU SEIN
Drei Zahlen entscheiden, was ein positiver Test bedeutet: wie häufig die Erkrankung ist, wie zuverlässig der Test sie findet und wie oft er falschen Alarm schlägt. Sensitivität und Spezifität beschreiben den Test, die Prävalenz beschreibt die Bevölkerung — und meist richtet die Prävalenz den Schaden an. Rechne in natürlichen Häufigkeiten statt in Prozent, und die Antwort hört auf, widersinnig zu sein: 1000 Menschen, richtig Positive zählen, falsch Positive zählen, vergleichen.
01
Was du weißt: Prävalenz 0,1 %, Sensitivität 99 %, Spezifität 99 %. Besser werden Tests kaum; die Erkrankung ist wirklich selten.
Ergebnis: PPV ≈ 9%
Rechenbeispiel: Von 10 000 Menschen: 10 haben sie, etwa 10 werden positiv getestet; 9990 haben sie nicht, 100 davon werden trotzdem positiv → PPW = 10/110 ≈ 9 %
Diesen Fall öffnen: seltene Erkrankung, präziser Test
02
Was du weißt: Prävalenz 10 %, Sensitivität 95 %, Spezifität 90 %. Ein deutlich schlechterer Test, dort eingesetzt, wo die Erkrankung wirklich häufig ist.
Ergebnis: PPV ≈ 51%
Rechenbeispiel: Von 1000 Menschen: 100 haben sie, 95 testen positiv; 900 haben sie nicht, 90 testen positiv → PPW = 95/185 ≈ 51 %
Diesen Fall öffnen: häufigere Erkrankung
03
Was du weißt: Prävalenz 5 %, Sensitivität 85 %, Spezifität 97 % — die Kennzahlen eines Antigen-Schnelltests während eines Ausbruchs.
Ergebnis: PPV ≈ 60%, NPV ≈ 99%
Rechenbeispiel: Von 1000: 50 infiziert, 43 erkannt und 7 übersehen; 950 frei, 29 fälschlich markiert → PPW = 43/72 ≈ 60 %, NPW = 922/929 ≈ 99 %
Diesen Fall öffnen: Covid-ähnlich
04
Was du weißt: Prävalenz 2 %, Sensitivität 99 %, Spezifität 95 %. Fast niemand, der konsumiert, wird übersehen, aber jeder zwanzigste Gesunde wird beschuldigt.
Ergebnis: PPV ≈ 29%
Rechenbeispiel: Von 1000: 20 Konsumierende, 20 erkannt; 980 Nichtkonsumierende, 49 trotzdem markiert → PPW = 20/69 ≈ 29 %, sieben von zehn Positiven sind also unschuldig
Diesen Fall öffnen: Drogen-Screening
Ein zweites positives Ergebnis. Dies entspricht einer Prävalenz von 0,1% bei einer Sensitivität von 99% und einer Spezifität von 99% – eine seltene Erkrankung und ein hervorragender Test, bei dem ein einzelnes positives Ergebnis bekanntlich ein schwacher Nachweis ist. Ermitteln Sie, was ein zweites, unabhängiges positives Ergebnis wert ist.
Odds, nicht die Wahrscheinlichkeit, ist die Form, in der sich Evidenz multipliziert. Eine von tausend Personen hat die Erkrankung, sodass die Ausgangslage 1 gegen 999 beträgt – und es ist diese 999, nicht einer der beiden Regler, die den Ausschlag gibt.
Der Likelihood-Quotient vergleicht, wie häufig ein positives Ergebnis in jeder Gruppe auftritt. Beide Zahlen stammen von den Reglern: 99% der Erkrankten testen positiv, und eine Spezifität von 99% führt dazu, dass auch 1% aller übrigen Personen positiv testet.
Die Multiplikation der Prior-Odds mit dem Likelihood-Quotienten macht in dieser Form das gesamte Theorem von Bayes aus, und Odds von a gegen b werden als a/(a+b) zurückgerechnet. Ein Faktor von 99 stellt eine enorme Evidenz dar, und dennoch unterliegt er, weil er mit 999 im Rückstand an den Start ging.
Ein zweiter Test beginnt dort, wo der erste aufhörte – der Posterior-Wert eines Ergebnisses wird zum Prior-Wert des nächsten. Am Test selbst hat sich nichts geändert, sodass derselbe Faktor von 99 gilt, diesmal für Odds, die keineswegs mehr aussichtslos sind.
Dieser Schritt setzte voraus, dass die beiden positiven Ergebnisse unabhängig sind – genau das liefert die Wiederholung desselben Tests jedoch nicht. Wenn dasjenige, das beim ersten Mal eine gesunde Person als positiv markiert hat – ein kreuzreagierendes Protein, eine falsch beschriftete Probe –, sie in der Hälfte der Fälle erneut als positiv markiert, verringern sich die falsch-positiven Ergebnisse kaum.
Antwort
Das Werkzeug gibt 9,0% für ein einzelnes positives Ergebnis aus, aus einer Einsetzung, die 0,090164 ergibt – dieselben 99/1098. Zwei unabhängige positive Ergebnisse ergeben 90,75% und drei ergeben 99,90%, da der Faktor 99 jedes Mal angerechnet wird, während die Prior-Odds von 999 zu 1 nur ein einziges Mal gezahlt werden müssen. Das ist die Arithmetik hinter Bestätigungstests, und Schritt 5 ist das Kleingedruckte dazu: Eine korrelierte Wiederholung landet bei 16,4%, kaum überzeugender als das einzelne Ergebnis, das sie bestätigen sollte. Der zweite Test muss daher auf andere Weise fehlschlagen als der erste – ein anderes Zielmolekül, ein anderes Labor, ein anderer Mechanismus –, andernfalls ist die Multiplikation Fiktion. Die Zahl, die man sich merken sollte, ist 99: Sensitivität dividiert durch die Falsch-Positiv-Rate ist das gesamte Evidenzgewicht eines Tests, und sie ist ein Multiplikator für Odds statt einer Antwort.
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