Explorador de límites

Explora los límites de forma visual. Observa si los valores de la función convergen (o no) a medida que x se acerca a un valor objetivo.

Valores iniciales — Explorador de límites

f(x)	sin(x)/x
x → a	0

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Toda derivada es un 0/0 disfrazado 🖖

Los límites no son un trámite en el camino al cálculo: sin ellos el cálculo no puede ni empezar. La pendiente de una curva en un único punto es (f(x+h) − f(x)) / h con h = 0, y eso da 0/0 para cualquier función. La división no lo resuelve: 0/0 no es un número, y ninguna manipulación algebraica lo convierte en uno. Lo que hace el límite es esquivar la pregunta: pregunta hacia dónde se dirige el cociente mientras h se encoge, no cuánto vale cuando h llega a 0. Ese rodeo es la razón entera de que una recta tangente tenga pendiente.

Hacia dónde va una función, no su valor allí 🖖

Un límite pregunta hacia dónde se dirige una función cuando x se acerca a un punto, no qué ocurre en el punto mismo. Esa diferencia importa: sin(x)/x no está definida en x = 0 (da 0/0), pero desde ambos lados la gráfica apunta justo a 1. Arrastra x hacia el punto objetivo y observa cómo coinciden los valores por la izquierda y por la derecha; cuando lo hacen, el límite existe aunque la curva tenga un hueco.

Cuando la tabla de números miente 🖖

Esta herramienta evalúa f en x = 10⁻ⁿ para n = 1, 2, …, 8. Introduce sin(π/x) cerca de 0 y cada fila da exactamente 0, porque sin(10ⁿπ) = 0 para exponentes enteros — la tabla informa alegremente un límite de 0. Pero entre esos puntos la función oscila sin fin entre −1 y +1, así que el verdadero límite no existe. La convergencia numérica es una pista, nunca una demostración.

TEORÍA DE LÍMITES — QUÉ HACE LA GRÁFICA CUANDO x SE ACERCA A a

¿En qué caso de límite estás?

Un límite pregunta hacia dónde va f cuando x se acerca a a, nunca qué hace f en a. Lee primero los dos límites laterales: si coinciden, el límite existe y solo queda ver si f(a) encaja. Si no coinciden, la forma del desacuerdo nombra el caso — un salto, una explosión o un vaivén interminable.

Hueco evitable — ambos lados coinciden y falta f(a) L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0 que se cancela — factoriza antes de concluir 0/0 → ÷(x − a)

Salto — los dos lados no coinciden L⁻ ≠ L⁺

Infinito — los valores se salen de la escala f → ±∞ at x = a

Oscilación — los valores nunca se asientan ∄L, |f| ≤ 1

Hueco evitable — ambos lados coinciden y falta f(a)

Qué sabes: Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y finitos, pero f(a) no está definida. Sustituir a da 0/0 y ningún factor se cancela.

Prueba: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Ejemplo resuelto: f(x) = sin(x)/x en a = 0 → f(0) da 0/0, pero f(±0,001) = 0,99999983 → límite = 1

Abrir este caso: sinc sin(x)/x

Hueco evitable — ambos lados coinciden y falta f(a). Las dos ramas apuntan a la misma altura; solo se ha perforado el punto. Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y finitos, pero f(a) no está definida. Sustituir a da 0/0 y ningún factor se cancela. — Las dos ramas apuntan a la misma altura; solo se ha perforado el punto.

0/0 que se cancela — factoriza antes de concluir

Qué sabes: Sustituir a da 0/0, y el numerador y el denominador comparten el factor (x − a).

Prueba: 0/0 → ÷(x − a)

Ejemplo resuelto: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → límite = 2

Abrir este caso: L'Hôpital

0/0 que se cancela — factoriza antes de concluir. Tras cancelar, la gráfica es la recta y = x + 1 con un punto quitado. Sustituir a da 0/0, y el numerador y el denominador comparten el factor (x − a). — Tras cancelar, la gráfica es la recta y = x + 1 con un punto quitado.

Salto — los dos lados no coinciden

Qué sabes: Ambos límites laterales son finitos, pero son números distintos. La gráfica pasa de un nivel a otro en a.

Prueba: L⁻ ≠ L⁺

Ejemplo resuelto: f(x) = |x|/x en a = 0 → límite por la izquierda = −1, por la derecha = +1 → el límite no existe

Abrir este caso: Salto |x|/x

Salto — los dos lados no coinciden. Dos ramas planas a distinta altura: los lados discrepan, no hay un único límite. Ambos límites laterales son finitos, pero son números distintos. La gráfica pasa de un nivel a otro en a. — Dos ramas planas a distinta altura: los lados discrepan, no hay un único límite.

Infinito — los valores se salen de la escala

Qué sabes: Al menos un lado crece sin cota. Sustituir a da un número no nulo dividido por cero, así que hay una asíntota vertical en x = a.

Prueba: f → ±∞ at x = a

Ejemplo resuelto: f(x) = 1/x en a = 0 → por la izquierda → −∞ y por la derecha → +∞ → no hay límite finito

Abrir este caso: Infinito 1/x

Infinito — los valores se salen de la escala. Las dos ramas huyen a lo largo de la asíntota vertical x = a. Al menos un lado crece sin cota. Sustituir a da un número no nulo dividido por cero, así que hay una asíntota vertical en x = a. — Las dos ramas huyen a lo largo de la asíntota vertical x = a.

Oscilación — los valores nunca se asientan

Qué sabes: La función sigue acotada, pero recorre el mismo rango infinitas veces por cerca de a que mires.

Prueba: ∄L, |f| ≤ 1

Ejemplo resuelto: f(x) = sin(1/x) en a = 0 → entre x = 0,001 y x = 0,002 la gráfica completa unos 80 ciclos y toca todos los valores de [−1, 1]

Abrir este caso: Oscilación sin(1/x)

Oscilación — los valores nunca se asientan. El vaivén se acelera, no se reduce, cuando x se acerca a 0. La función sigue acotada, pero recorre el mismo rango infinitas veces por cerca de a que mires. — El vaivén se acelera, no se reduce, cuando x se acerca a 0.

Problema resuelto al detalle

Demostrando que sin x / x → 1 con un δ para cada ε 5 pasos
Demuestre que sin x / x → 1 hallando un δ para cada ε, y prediga las dos filas útiles de la tabla antes de leerlas. Se trata de f(x) = sin(x)/x con x → 0.
1. Dividir la serie del seno por x es lícito para todo x ≠ 0, que es el único lugar al que atiende un límite. Lo que resulta no contiene más que potencias pares de x, y esa es la razón por la que las columnas izquierda y derecha de la tabla llevan dígitos idénticos en cada fila.
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. Aquí dos términos son suficientes: el término en x⁴ ya ha bajado a 8,33 × 10⁻⁷, demasiado pequeño para alterar el sexto decimal.
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. Al acercarse por un factor de diez, la diferencia respecto a 1 se reduce por un factor de cien. La aproximación es cuadrática en x, lo cual es una afirmación mucho más fuerte que “el límite es 1”, y las dos filas de la propia tabla bastan para establecerlo.
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. Una evidencia no es una demostración, por lo que se debe acotar todo el resto a la vez. Para |x| ≤ 1 la serie alterna con términos decrecientes, de modo que todo lo que sigue al 1 es menor en magnitud que el primer término omitido, y ese término es x²/6. Invertir la desigualdad convierte a δ en una fórmula en lugar de una búsqueda.
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. Veamos lo que cuesta la raíz cuadrada. Estrechar ε en un factor de un millón solo permite ganar un factor de mil en x.
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
Respuesta

La tabla muestra 0,998334 para x = 0,1 y 0,999983 para x = 0,01, y ambos se calcularon aquí a partir de cuatro términos de una serie antes de consultar el panel. Lo que aporta δ = √(6ε) es certeza: dada cualquier tolerancia, el x que la satisface está a la distancia de una raíz cuadrada, de modo que ningún aumento adicional en el zoom podrá deparar una sorpresa. También explica por qué la tabla se queda sin nada más que ofrecer. Sus filas reducen x dividiendo por diez mientras la diferencia disminuye dividiendo por cien, de modo que en la tercera fila esa diferencia es 1,6667 × 10⁻⁷ —menos de media unidad en el sexto decimal— y esa fila y las cinco siguientes muestran todas 1,000000, aunque el valor en x = 0,001 es 0,99999983. En lugar de descartar la diferencia, conservémosla: divida el 1,665834 × 10⁻³ de la primera fila por 0,01 y obtendrá 0,16658, que es 1/6. Un segundo límite yace bajo el famoso límite, y la serie lo identificó de antemano.

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Lleva a La derivada el significado de tender a cuando el valor en el punto no existe.

Referencias (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

sinc sin(x)/x - Ambos lados llegan a 1.000000 ya en ε = 0.001, así que el límite existe y la página lo llama continuo
Salto |x|/x - L⁻ = −1 frente a L⁺ = +1 en cada ε — un salto, y el límite bilateral no existe
Infinito 1/x - −∞ y +∞: en ε = 10⁻⁶ los lados marcan −1000000 y 1000000, creciendo sin cota
Oscilación sin(1/x) - Ningún lado se asienta — la columna izquierda da 0.544021, luego 0.506366, luego −0.826880 —, así que ambos límites laterales salen como indefinidos
L'Hôpital - 0/0 en x = 1 y aun así ambos lados tienden a 2.000000: evitable, y f(1) sigue indefinida