Laboratorio de Pitágoras

Fija los dos catetos. Lee el teorema como áreas, mira cómo la altura lo demuestra y después dobla la superficie en la que vive para verlo fallar.

Ejemplo resuelto — Laboratorio de Pitágoras

a² + b²	25
c²	25
Terna pitagórica	1

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La demostración es la herramienta de al lado 🖖

Baja la perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. Cae en un punto que parte c en dos trozos, p y q, y crea dos triángulos más pequeños, cada uno con los mismos tres ángulos que el original y por tanto semejante a él. Los triángulos semejantes tienen lados proporcionales, y esa proporción da a² = c·p para un trozo y b² = c·q para el otro. Súmalos: a² + b² = c(p + q) = c². Todo el teorema es una recta perpendicular y el hecho de que la forma son los ángulos.

Es una afirmación sobre la planitud, no sobre los triángulos 🖖

Arrastra el control de curvatura y observa cómo a² + b² = c² deja de cumplirse. En una esfera, el tercer lado resulta más corto; en una superficie hiperbólica, más largo. Las superficies no se comportan de un modo extraño: el ángulo recto sigue siendo recto y los catetos siguen midiendo 3 y 4. Lo que ha cambiado es el espacio.

Las leyes que sustituyen al teorema, cos(c/R) = cos(a/R)·cos(b/R) y cosh(c/R) = cosh(a/R)·cosh(b/R), se reducen a c² = a² + b² cuando R crece, porque el primer término no nulo de cada desarrollo es el término cuadrático. Por eso el teorema equivale lógicamente al postulado de las paralelas de Euclides: si supones uno, puedes demostrar el otro. Quien mide un terreno puede pasar esto por alto. Quien trabaja a la escala de la Tierra o del espacio-tiempo, no.

Los ángulos forman parte del mismo fenómeno. La diferencia entre su suma y 180° es exactamente el producto de la curvatura por el área, como establece el teorema de Gauss–Bonnet. La herramienta no mide el área del triángulo curvo: la obtiene a partir de sus tres ángulos.

Los cuadrados son accesorios, y los recortes se pueden cuadrar 🖖

Nada en el teorema exige cuadrados. Levanta cualquier figura sobre los tres lados, con tal de que las tres sean semejantes entre sí, y las dos de los catetos seguirán sumando la de la hipotenusa: eso es Euclides, Elementos VI.31, y funciona por la misma razón que todo lo demás aquí, porque el área crece con el cuadrado de la longitud. Usa semicírculos y sale algo asombroso. El semicírculo de la hipotenusa pasa justo por el ángulo recto, y las dos lúnulas que quedan fuera tienen, juntas, exactamente el área del triángulo. Hipócrates de Quíos lo encontró hacia 440 a. C., y fue la primera vez que alguien demostró que una región de bordes curvos tenía exactamente el área de una de lados rectos.

Más viejo que su nombre, y el nombre probablemente está mal 🖖

Pitágoras de Samos no dejó nada escrito, y la atribución aparece siglos después de su muerte. La relación es mucho más antigua y surge de forma independiente en varios sitios. La tablilla babilónica Plimpton 322, de hacia 1800 a. C., enumera números que la cumplen, aunque la reevaluación de Eleanor Robson sostiene que la tablilla es un ejercicio docente sobre pares de recíprocos y no una tabla de ternas por sí mismas. El Baudhāyana Śulbasūtra, un manual para trazar altares de sacrificio, enuncia la regla de la diagonal varios siglos antes que Euclides, pero no demuestra nada. En China la regla gōugǔ aparece en el Zhōubì Suànjīng, y el diagrama de disección suele atribuirse al comentario de Zhao Shuang, del siglo III d. C. Lo que aporta Euclides, hacia 300 a. C. en Elementos I.47, es la primera demostración conservada, y esa es la parte que nadie más había puesto por escrito. Elisha Loomis reunió después 370 demostraciones distintas en un solo volumen.

Cada terna es un punto racional de una circunferencia 🖖

Divide a² + b² = c² entre c² y obtendrás x² + y² = 1, con x e y racionales. Así, las ternas pitagóricas tampoco tratan en esencia de triángulos: son los puntos racionales de la circunferencia unidad, y existe un método sencillo para encontrarlos todos. Traza desde (−1, 0) una recta de pendiente racional. Volverá a cortar la circunferencia en un punto racional, y cada punto racional de ella, salvo el propio (−1, 0), se obtiene una sola vez de este modo. De ahí salen los parámetros m y n de Euclides, y por eso la herramienta puede recuperarlos a partir de a, b y c. El método funciona porque una circunferencia que contiene un punto racional es una curva de género 0. Si pruebas lo mismo con x³ + y³ = 1, el procedimiento falla. Esa curva tiene género 1, y una recta que pasa por uno de sus puntos racionales la corta en otros dos, no en uno; el truco pierde así su punto de apoyo. El género 1 no garantiza ningún resultado: una curva elíptica puede tener infinitos puntos racionales, pero esta solo tiene (1, 0) y (0, 1). Es el último teorema de Fermat para los cubos, cuya demostración se debe a Euler. Entre Pitágoras y Fermat media ese único número.

Problemas resueltos al detalle

Demostración de que la hipotenusa de 1,4142 es un número inexpresable como fracción 5 pasos
Demuestre que la hipotenusa que la herramienta muestra como 1,4142 es un número que ninguna fracción puede expresar. Esta es la vista La demostración con ambos catetos fijados en 1, por lo que el teorema da c² = 2 y no interviene nada más.
1. Dos catetos de 1 hacen que c² = 2, y 2 no es un cuadrado perfecto, por lo que c no es un número entero. Esa parte es sencilla. La afirmación difícil es que tampoco es una fracción, y una fracción es lo que ha sido toda medición realizada jamás.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 ⟹ c = 2 = 1.4142 \dots$
2. Supongamos que lo es y escribámosla en su forma irreducible —toda fracción tiene esa forma, por lo que suponerlo no cuesta nada—. Elevar al cuadrado y eliminar el denominador convierte una afirmación sobre una longitud en una afirmación sobre dos números enteros, que es el único paso de la demostración que hizo falta inventar.
  
  $2 = \frac{p}{q}, g cd (p, q) = 1 ⟹ p^{2} = 2 q^{2}$
3. El cuadrado de un número impar es impar, por lo que el hecho de que p² sea par obliga a que p sea par. Sustituir p = 2m y simplificar coloca a q exactamente en la posición en la que acaba de estar p, y ahora ambos son pares, lo cual contradice la forma irreducible elegida libremente. La premisa es lo único en el argumento que puede ser erróneo.
  
  $2 ∣ p^{2} \Rightarrow 2 ∣ p; p = 2 m : 4 m^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 m^{2} \Rightarrow 2 ∣ q ⟹ g cd (p, q) \geq 2$
4. Por lo tanto, p² = 2q² no tiene solución alguna en números enteros. Si se desplaza el objetivo en una unidad, existen infinitas: pareja tras pareja satisface p² − 2q² = ±1, y 1 es la menor diferencia no nula que puede haber entre enteros. Las aproximaciones casi exactas se vuelven arbitrariamente buenas en términos relativos y la brecha nunca se cierra.
  
  $p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), (41, 29), (99, 70), 9 9^{2} - 2 \cdot 7 0^{2} = 9801 - 9800 = 1$
5. Factorizar la diferencia convierte esa aproximación cercana en un error. El numerador es el ±1 de la línea anterior, por lo que todo el error es uno dividido por algo de un tamaño aproximado de 2√2 q²; la precisión de una buena aproximación a √2 proviene de que q sea grande, no de ningún ingenio respecto a p.
  
  $\frac{99}{70} - 2 = \frac{9 9 ^{2} - 2 \cdot 7 0 ^{2}}{70 ( 99 + 70 2 )} = \frac{1}{13 859.65} = 7.2152 \times 1 0^{- 5}$
Respuesta

Cada número que la herramienta muestra para este triángulo es un redondeo: 1,4142 para c, y 0,7071 para la altura y para los dos segmentos en que esta divide la hipotenusa, siendo los tres iguales a c/2. Cuatro decimales no es una limitación de la pantalla: ninguna pantalla, por ancha que fuera, terminaría jamás, y el paso 3 es la razón. Una consecuencia se deduce de inmediato: ninguna terna pitagórica cumple a = b, porque ello requeriría números enteros con p² = 2q², de modo que, de los infinitos triángulos rectángulos con tres lados enteros, ni uno solo es isósceles. La otra es que 1,4142 es inalcanzable de una manera precisa y no vaga: 99/70 se desvía por 7,2 × 10⁻⁵, 239/169 lo hace aún mejor, y la diferencia se mantiene en ±1 para cada pareja subsiguiente. Los griegos conocían estas parejas como números de lado y diagonal y construyeron con ellos durante siglos, lo que constituye la respuesta práctica a una imposibilidad: no se puede tener √2, pero se pueden tener tantas de sus cifras como se esté dispuesto a pagar.

$p^{2} = 2 q^{2} ⟹ g cd (p, q) \geq 2 p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), \dots$
La receta que produjo la terna de números enteros 5, 12 y 13 6 pasos
El primer problema mostró que la diagonal del cuadrado unidad es irracional. Aquí 5, 12 y 13 son todos enteros, y el panel hasta nombra el par (m, n) = (3, 2) que los produjo. Hazte la pregunta difícil: ¿esa receta atrapa todas las ternas — y qué tienen todas en común en secreto?
1. Empieza por el panel. 25 y 144 suman 169, y 169 es exactamente 13²: eso es lo que hace que este triángulo merezca un nombre.
  
  $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$
2. La receta de Euclides toma dos enteros cualesquiera y devuelve una terna. Desarrolla los cuadrados y los términos cruzados se cancelan: la identidad vale para todo m y n, así que nunca puede fallar.
  
  $a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2} ⟹ a^{2} + b^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2} = c^{2}$
3. El par del panel es (3, 2), y de ahí sale 5-12-13. Dale (2, 1) y sale 3-4-5.
  
  $(m, n) = (3, 2) : (9 - 4, 12, 9 + 4) = (5, 12, 13); (m, n) = (2, 1) : (3, 4, 5)$
4. ¿Pero las atrapa todas? Divide el teorema por c² y la pregunta cambia de forma: ¿qué puntos de coordenadas racionales están en la circunferencia unidad? A cada uno llega una recta de pendiente racional que pasa por (−1, 0), y t = n/m es justamente esa pendiente. La lista es completa: ninguna terna puede esconderse.
  
  $(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1 ⟹ \frac{a}{c} = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, \frac{b}{c} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, t = \frac{n}{m} \in Q$
5. Y ahora el secreto, que sale de lo poco que puede ser un cuadrado. Módulo 3 un cuadrado es 0 o 1, nunca 2. Módulo 5 es 0, 1 o 4. Módulo 8 también 0, 1 o 4. Pasa a² + b² = c² por ahí y las posibilidades se derrumban.
  
  $x^{2} \equiv 0, 1 (mod 3); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 5); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 8)$
6. En vez de fiarte del argumento, cuenta. Hay dieciséis ternas primitivas con hipotenusa menor que 100.
  
  $c < 100 : 16 ⟶ 3 ∣ ab : 16/16, 4 ∣ ab : 16/16, 5 ∣ ab c : 16/16$
Respuesta

Toda terna primitiva tiene un cateto divisible por 3, un cateto divisible por 4 y un lado divisible por 5, así que el producto de los tres lados es siempre múltiplo de 60. Comprobado en las dieciséis con hipotenusa bajo 100: dieciséis de dieciséis en cada caso. En 3-4-5 parece casualidad, porque allí los tres divisores caen en tres lados distintos. En 5-12-13 el único cateto 12 lleva a la vez el 3 y el 4, y el 5 se ha mudado de la hipotenusa a un cateto. La herramienta dibuja un triángulo cada vez, y este patrón solo existe mirándolos todos a la vez.

$3 ∣ ab, 4 ∣ ab, 5 ∣ ab c ⟹ 60 ∣ ab c$

Ruta de aprendizaje

Las reglas del triángulo y de dónde salen

Lleva a Resolver cualquier triángulo a² + b² = c², y la restricción que lo acompaña: es un enunciado solo sobre triángulos rectángulos.

Referencias (5)

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

Todas las lecciones de Matemáticas →

Problemas de ejemplo

3-4-5 - Los cuadrados de los catetos contienen 9 y 16, y el de la hipotenusa contiene 25. Es una terna pitagórica, generada por m = 2 y n = 1.
5-12-13 - 25 + 144 = 169, así que c = 13 exactamente. Una segunda terna, de m = 3 y n = 2: prueba de que 3-4-5 es un caso de una regla y no un truco de magia.
El que rompió una escuela - Dos catetos de 1 dan c = 1,4142…, y ninguna fracción de números enteros vale eso. La vista de la demostración muestra la altura cayendo justo en el medio, la simetría que hace de este el caso más fácil de discutir.
Sobre una esfera - Los mismos catetos 3 y 4 sobre una esfera de radio 3,6199. La hipotenusa sale 4,5698 en lugar de 5: la superficie se curva sobre sí misma, así que al tercer lado le queda menos distancia que recorrer.
Hiperbólica - Los mismos catetos 3 y 4 sobre una superficie hiperbólica del mismo radio. Ahora la hipotenusa mide 5,3118, más de 5. Entre ambas está el caso plano, y solo allí c vale exactamente 5.