Curvas peraltadas

Ajusta el radio de la curva, el peralte, la adherencia entre los neumáticos y la calzada, la velocidad y la masa. La página descompone las fuerzas, indica hacia dónde debe actuar el rozamiento y si los neumáticos pueden proporcionarlo, y muestra todas las velocidades que admite la curva.

Ejemplo resuelto — Curvas peraltadas

Peralte en notación vial	8,00%
Ángulo de rozamiento	38,66°
Velocidad de diseño, sin rozamiento	45,09 km/h
Velocidad mínima admisible	0,00 km/h
Velocidad máxima admisible	154,59 km/h
Aceleración hacia el centro	3,125 m/s²
Fuerza normal de la calzada	15.037 N
Rozamiento que deben aportar los neumáticos	3500 N cuesta abajo

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Curvas peraltadas

Una curva peraltada es una curva cuya superficie se inclina hacia el centro un ángulo θ. La fuerza que la calzada ejerce sobre el vehículo, siempre perpendicular a la superficie, queda así inclinada hacia dentro y proporciona una parte o la totalidad de la fuerza necesaria para girar. A una velocidad determinada, la velocidad de diseño v₀ = √(r g tan θ), la proporciona por completo y no hace falta rozamiento. Un rozamiento de hasta μ veces la fuerza normal de la calzada amplía esa única velocidad hasta formar un intervalo: r g tan(θ − φ) ≤ v² ≤ r g tan(θ + φ), donde φ = arctan μ es el ángulo de rozamiento. La masa no aparece en ninguna de estas expresiones.

Qué significa cada símbolo

r: radio de la curva, medido horizontalmente desde su centro hasta el vehículo
θ: ángulo de peralte respecto a la horizontal; en ingeniería vial se expresa tan θ como porcentaje
μ: rozamiento máximo que pueden proporcionar los neumáticos, como fracción de la fuerza normal de la calzada
φ: ángulo de rozamiento, arctan μ: la pendiente máxima en la que un vehículo puede permanecer inmóvil
v_0: velocidad de diseño, a la que el peralte proporciona toda la fuerza de giro y el rozamiento es nulo

Supone: El vehículo se trata como un punto que recorre a velocidad constante un círculo horizontal, sobre una curva de radio y peralte constantes. Se toma la gravedad estándar, 9,80665 m/s². Se usa un único coeficiente de rozamiento en todas las direcciones; los valores publicados proceden de mediciones de frenado con un deslizamiento del 17%, y se supone que la adherencia lateral de un neumático en rodadura tiene la misma magnitud. Se prescinde del aire: no hay carga aerodinámica, resistencia ni viento lateral.
Falla cuando: Un vehículo con el centro de masas alto puede volcar antes de deslizarse. En una curva peraltada, ese límite depende también de la anchura de vía; un camión lo alcanza antes. Las carreteras se proyectan con un rozamiento transversal muy inferior a la adherencia medida, tanto por comodidad como para conservar un margen ante el desgaste de los neumáticos. Los alerones de un coche de carreras lo presionan contra el asfalto con una fuerza proporcional al cuadrado de la velocidad, elevando el límite máximo. Además, a una curva real se entra mediante una curva de transición cuyo radio disminuye gradualmente, no con un único radio.

Por debajo de 45,09 km/h, el rozamiento en esta curva empuja hacia fuera 🖖

Pulsa Curva seca, 30 km/h y después Curva seca, 90 km/h. A la velocidad de diseño, 45,09 km/h para un radio de 200 m y un peralte del 8%, el peralte hace todo el trabajo: la calzada empuja perpendicularmente a su superficie, esa fuerza se inclina hacia el centro y su componente horizontal coincide exactamente con la m v²/r que exige la curva. El rozamiento es nulo. Si reduces la velocidad, la fuerza inclinada supera la necesaria para girar; sin rozamiento, el coche se deslizaría peralte abajo, hacia el interior de la curva. Para impedirlo, el rozamiento actúa cuesta arriba: 654 N a 30 km/h. Si aceleras, la fuerza inclinada ya no basta y el rozamiento actúa cuesta abajo: 3.500 N a 90 km/h. En una carretera llana, el rozamiento sí tira del coche hacia el interior de la curva. Aquí no lo hace a ninguna velocidad inferior a 45,09 km/h. Pulsa ahora Camión 40 t, 90 km/h: todas las fuerzas son 26,67 veces mayores que las del coche, pero la adherencia necesaria sigue siendo 0,2327, pues la masa multiplica ambos miembros de todas estas ecuaciones. Un camión no necesita más peralte que un coche. Sí tiene el centro de masas más alto y, en una calzada seca, un camión cargado puede volcar antes de deslizarse; este modelo no contempla ese fenómeno.

Sobre hielo negro mojado, un coche parado en un peralte del 10% se desliza cuesta abajo 🖖

Un peralte tiene una velocidad mínima además de una máxima. Un coche parado necesita un rozamiento mg sin θ cuesta arriba frente a una fuerza mg cos θ, por lo que solo permanece inmóvil si tan θ no supera μ. La revisión publicada en 2001 por Carl-Gustaf Wallman y Henrik Åström para el instituto sueco de investigación vial VTI sitúa la adherencia del hielo negro mojado entre 0,05 y 0,10. Pulsa Parado en hielo al 10%: el coche inmóvil necesita 0,1000 de adherencia, el hielo ofrece 0,05 y el coche se desliza hacia el interior de la curva. A cualquier velocidad inferior a 35,56 km/h ocurre lo mismo; en el segundo panel verás cómo el límite inferior del intervalo se separa de cero. El manual de diseño de carreteras del estado de Washington permite peraltes de hasta el 10%, pero los limita al 6% donde se acumulan nieve y hielo, porque «los vehículos que circulan despacio o están parados en curvas con peraltes superiores al 6% tienden a deslizarse hacia dentro». Ajusta el peralte a 3,434°, equivalente al 6%: el coche permanece inmóvil con cualquier adherencia superior a 0,06, aunque todavía se desliza sobre el peor hielo, con 0,05. En esas condiciones, un coche parado solo se mantiene si el peralte es del 5% o menos.

Por encima de 51,34° en una calzada seca, ninguna velocidad es excesiva 🖖

Al aumentar la velocidad hace falta más rozamiento, pero el coche también presiona con más fuerza contra la calzada; en un peralte pronunciado predomina este segundo efecto. Cuando la velocidad crece sin límite, la adherencia necesaria tiende a 1/tan θ. Por tanto, si 1/tan θ es menor que μ, ninguna velocidad exige más adherencia de la que puede proporcionar la calzada. En seco, con μ = 0,8, esto sucede a 51,34°: en la tabla inferior, la curva de 200 m tiene un límite de 478,30 km/h a 45° y ninguno a 60°. A 90°, la calzada se ha convertido en una pared; el Muro de la muerte es el caso extremo. El rozamiento debe sostener todo el peso, y su máximo es μ multiplicado por la fuerza que ejerce la pared, m v²/r. Existe entonces una velocidad mínima, √(rg/μ), pero ninguna máxima. Un muro de 5 m de radio exige 28,18 km/h. A 40 km/h, quien conduce utiliza 0,3972 de la adherencia y la pared ejerce una fuerza equivalente a 2,518 veces su peso.

Problema resuelto al detalle

¿Qué efecto tiene un viraje inclinado sobre un avión? 6 pasos
Una avioneta realiza un viraje horizontal a 100 nudos, 51,44 m/s, con una inclinación de 60°. Calcula el radio del viraje, el tiempo que tarda en completar una vuelta, la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto, la inclinación máxima que permite su estructura de 3,8 g y lo que ocurre con su velocidad de pérdida de 50 nudos. Pulsa Curva seca, 90 km/h para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. Un avión en un viraje horizontal equivale a la calzada sin rozamiento, con la sustentación del ala en lugar de la fuerza normal. Por eso vuela siempre a su velocidad de diseño: tan θ = v²/(rg). La carretera de 200 m y peralte del 8% que aparece en la página satisface la misma ecuación a 45,09 km/h:
  
  $tan θ = \frac{v _{0}^{2}}{r g} : \frac{( 12 . 53 m/s ) ^{2}}{200 \times 9 . 80665} = 0.0800 = 8 . 00% \Rightarrow v_{0} = 45.09 km/h$
2. Al despejar el radio para 60°:
  
  $r = \frac{v ^{2}}{g tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{51 . 4 4 ^{2}}{9 . 80665 \times 1 . 732} = 155.8 m$
3. Recorrer esa circunferencia a 51,44 m/s requiere
  
  $t = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 155 . 8}{51 . 44} = 19.03 s ω = 18.9 2^{\circ} / s$
4. La componente vertical de la sustentación debe sostener por sí sola todo el peso, de modo que la sustentación es mg/cos θ. Es la misma fuerza que ejerce la calzada a la velocidad de diseño y no depende de la velocidad:
  
  $L cos θ = m g \Rightarrow n = \frac{L}{m g} = \frac{1}{cos 6 0 ^{\circ}} = 2.000$
5. El límite estructural de 3,8 g se alcanza cuando el coseno del ángulo de inclinación vale 1/3,8. La fila de 75° de la tabla muestra 3,864, que ya supera ese límite:
  
  $\frac{1}{cos θ} = 3.8 \Rightarrow θ = arccos \frac{1}{3 . 8} = 74.7 4^{\circ} \frac{1}{cos 7 5 ^{\circ}} = 3.864$
6. Un ala entra en pérdida con un ángulo de ataque fijo, por lo que la velocidad mínima capaz de producir la sustentación necesaria aumenta con la raíz cuadrada del factor de carga:
  
  $v_{s}^{'} = v_{s} n = 50 kn \times 2 = 70.71 kn$
Respuesta

Una circunferencia de 155,8 m recorrida en 19,03 s, con el asiento ejerciendo sobre el piloto una fuerza equivalente al doble de su peso, cualquiera que sea la velocidad aerodinámica. El Airplane Flying Handbook de la FAA da también 2,0 a 60° y 1,41 a 45°, y señala que un viraje horizontal a 75° supera el límite de 3,8 para el que se diseña una avioneta de categoría normal; el ángulo límite exacto es 74,74°. La velocidad de pérdida aumenta de 50 a 70,71 nudos, valor que el manual redondea a 70.

$θ = 6 0^{\circ}, 100 kn : r = 155.8 m, t = 19.03 s, n = 2.000, θ_{m a x} = 74.7 4^{\circ}, v_{s}^{'} = 70.71 kn$

Referencias (3)

Measured tyre-road friction by surface, from Swedish skiddometer surveys: dry bare road 0.8 to 1.0, wet 0.7 to 0.8, packed snow 0.20 to 0.30, wet black ice 0.05 to 0.10, the values behind the page's grip hint and its presets: C.-G. Wallman and H. Åström, "Friction measurement methods and the correlation between road friction and traffic safety. A literature review." VTI meddelande 911A, Swedish National Road and Transport Research Institute, Linköping, 2001, p. 36.
Why roads that see ice are banked gently: the steepest bank allowed is 10%, and where snow and ice accumulate it is limited to 6%, because slow or stopped vehicles on steeper banks slide inward: Washington State Department of Transportation, Design Manual M 22-01.23, Chapter 1250 "Cross Slope and Superelevation", section 1250.03, September 2024.
A banked aircraft's load factor depends on the bank alone, 1.41 at 45° and 2.0 at 60° for any airspeed or aeroplane, a standard-category light aircraft is built for 3.8, and the stall speed rises as the square root of the load: Federal Aviation Administration, Airplane Flying Handbook (FAA-H-8083-3C), Chapter 10 "Performance Maneuvers", section on steep turns.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.