Explorador del teorema del límite central

Esto ocurre porque promediar es esencialmente una convolución repetida, y convolucionar una distribución consigo misma suficientes veces suaviza sus particularidades — la asimetría y los picos múltiples decaen más rápido que la dispersión, así que lo que queda se parece cada vez más a una gaussiana sin importar el punto de partida. El único requisito real es una varianza finita; una fuente uniforme, una exponencial y una bimodal de dos picos son todas atraídas hacia la misma curva de campana al promediar suficientes extracciones, solo que a velocidades distintas — por eso n=30 se convirtió en la regla empírica informal de la estadística en lugar de un umbral exacto.

A medida que sigues extrayendo, el histograma de las medias no solo se suaviza: se estrecha. Su dispersión es el error estándar σ/√n, así que la precisión mejora solo con la raíz cuadrada del tamaño muestral: para reducir el ancho a la mitad debes cuadruplicar n. Ese es el corazón práctico del teorema: muestras mayores fijan la media con más exactitud, pero con rendimientos cada vez menores.

El teorema supone en silencio una varianza finita, y un forajido famoso la viola: la distribución de Cauchy, el cociente de dos normales estándar. Promedia un millón de extracciones de Cauchy y el resultado sigue exactamente la misma curva de Cauchy que una sola — la campana nunca aparece y más datos no sirven de nada. Sus colas son tan pesadas que un único valor monstruoso puede dominar cualquier promedio, por grande que sea.